Диссертация (1103157), страница 15
Текст из файла (страница 15)
 ýòîì ñëó÷àÿ çàäà÷à (3.1) èìååò ïðèëîæåíèÿ ê àêóñòè÷åñêîéòîìîãðàôèè îêåàíà, ñì. [11].Êðîìå òîãî, ïðè n = 1 óðàâíåíèå (3.2a) âîçíèêàåò êàê óðàâíåíèå Øð¼äèíãåðà ïðè ôèêñèðîâàííîé ýíåðãèè E ñ ìàãíèòíûì ïîòåíöèàëîì A è ýëåêòðè÷åñêèìïîòåíöèàëîì v , ãäåv(x) = V (x) −dXj=1A2j (x)+idX∂Aj (x)j=1∂xj.(3.8) ýòîé ïîñòàíîâêå çàäà÷à 3.1 èìååò ïðèëîæåíèÿ â êâàíòîâîé òåîðèè ðàññåÿíèÿ,ñì., íàïðèìåð, [101, 25, 26].Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ïðè n ≥ 2 óðàâíåíèå (3.2a) âîçíèêàåò â ìàòåìàòè÷åñêîé78ôèçèêå êàê óðàâíåíèå Øð¼äèíãåðà ïðè ôèêñèðîâàííîé ýíåðãèè E äëÿ ÷àñòèöûâî âíåøíåì ïîëå ßíãàÌèëëñà, ñì., íàïðèìåð, ðàáîòû [70, 71, 78, 27].Çàäà÷å 3.1, â ñèëó å¼ ïðàêòè÷åñêîé âàæíîñòè, ïîñâÿùåíî ìíîæåñòâî ðàáîò.Ñëó÷àé A 6≡ 0 ðàññìàòðèâàëñÿ, íàïðèìåð, â ðàáîòàõ [55, 63, 22, 51, 45, 52] ïðèn = 1 è â ðàáîòå [24] ïðè n ≥ 2. Ñëó÷àé d = 2, A ≡ 0, n ≥ 1 áûë ðàññìîòðåí,â ÷àñòíîñòè, â ðàáîòàõ [60, 61].
Èçó÷åíèå íàèáîëåå ïðîñòîãî ñëó÷àÿ n = 1, A =0 âîñõîäèò ê ðàáîòå [18], ãäå èçó÷àëàñü çàäà÷à âîññòàíîâëåíèÿ ïðîâîäèìîñòèìåòàëëè÷åñêîãî òåëà ïî ýëåêòðè÷åñêèì èçìåðåíèÿì íà åãî ãðàíèöå.Ñóùåñòâóåò äâà îñíîâíûõ ïîäõîäà ê ðåøåíèþ çàäà÷è 3.1 â ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ(íàïðèìåð, ïðè n = 1 è A = 0). Ïåðâûé ïîäõîä çàêëþ÷àåòñÿ â ñâåäåíèè çàäà÷è 3.1 ê ïîäõîäÿùåé ýêâèâàëåíòíîé ìíîãîìåðíîé îáðàòíîé çàäà÷å ðàññåÿíèÿïðè ôèêñèðîâàííîé ýíåðãèè. Ïîñëå ýòîãî îáðàòíàÿ çàäà÷à ðàññåÿíèÿ ðåøàåòñÿ ïîäõîäîì, âîñõîäÿùèì ê ðàáîòàì [108, 101, 98, 57].
Ýòîò ïîäõîä ïîçâîëÿåò,â ÷àñòíîñòè, ïîëó÷èòü ÿâíûå ôîðìóëû è èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ A è V .  äèññåðòàöèè ìû èñïîëüçóåì ýòîò ïîäõîä äëÿðåøåíèÿ çàäà÷è 3.1.Âòîðîé îñíîâíîé ïîäõîä ê ðåøåíèþ çàäà÷è 3.1 âîñõîäèò ê ðàáîòå [76]. Âñëó÷àå A = 0, n = 1 îí çàêëþ÷àåòñÿ â èñïîëüçîâàíèè òîæäåñòâà Àëåññàíäðèíè(ñì. [9]), êîòîðîå ñâÿçûâàåò ðåøåíèÿ u1 è u2 çàäà÷ −∆u1 + V1 (x)u1 = Eu1 è−∆u2 + V2 (x)u2 = Eu2 â D ñ îïåðàòîðàìè Λ0,V1 (E) è Λ0,V2 (E):Zu1 |∂DΛ0,V1 (E) − Λ0,V2 (E) u2 |∂D dx =Z(V1 − V2 )u1 u2 dx.D∂DÊàê âèäíî èç ýòîãî ðàâåíñòâà, åñëè Λ0,V1 (E) = Λ0,V2 (E), òî ôóíêöèè u1 è u2îðòîãîíàëüíû ñ âåñîì V1 − V2 . Åñëè V1 , V2 ∈ L2 (D), òî çàäà÷à (3.1) ñâîäèòñÿê äîêàçàòåëüñòâó òîãî, ÷òî ïðîèçâåäåíèÿ u1 u2 ïëîòíû â L2 (D).
Îäíàêî, ýòîòïîäõîä íå ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ÿâíûå ôîðìóëû äëÿ íàõîæäåíèÿ êîýôôèöèåíòîâïî îïåðàòîðó ÄèðèõëåÍåéìàíà. Ìû íå èñïîëüçóåì ýòîò ïîäõîä â äèññåðòàöèè.Äàëåå ìû ñôîðìóëèðóåì ìíîãîìåðíóþ îáðàòíóþ çàäà÷ó ðàññåÿíèÿ, ê êîòîðîé, êàê áóäåò ïîêàçàíî â ãëàâå 4, ñâîäèòñÿ çàäà÷à 3.1.
Äëÿ ýòîãî íàì ïîòðåáóåòñÿ ââåñòè íåñêîëüêî îáîçíà÷åíèé.Ìû ðàññìàòðèâàåì óðàâíåíèåLA,V ψ ≡ −∆ψ − 2idXj=1Aj (x)∂ψ+ V (x)ψ = Eψ,∂xj(3.9)79ãäå x ∈ Rd , à êîýôôèöèåíòû A1 , . . . , Ad , V äîñòàòî÷íî ðåãóëÿðíûå Mn (C)çíà÷íûå ôóíêöèè â Rd , áûñòðî óáûâàþùèå íà áåñêîíå÷íîñòè. Íàñ áóäóò èíòåðåñîâàòü ñïåöèàëüíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (3.9). Äëÿ ïðîñòîòû, ðàññìîòðèìñíà÷àëà ñëó÷àé n = 1 è E > 0. Ìû ðàññìàòðèâàåì ðåøåíèÿ ψ + (x, k) óðàâíåíèÿ (3.9), ïàðàìåòðèçîâàííûå âåêòîðîì k ∈ Rd , k 2 = E , êîòîðûå çàäàþòñÿñëåäóþùåé àñèìïòîòèêîé ïðè ôèêñèðîâàííîì k :ei|k||x|− d+12ψ (x, k) = e + C(d)|k|,fk,|k|ϑ+O|x|A,V|x|(d−1)/2√|x| → ∞, C(d) = −πi( 2πe−iπ/4 )(d−1)/2 ,+ikx(d−3)/2(3.10)ãäå ôóíêöèÿ fA,V îïðåäåëåíà îäíîçíà÷íî è íàçûâàåòñÿ àìïëèòóäîé ðàññåÿíèÿäëÿ óðàâíåíèÿ (3.9) ïðè ôèêñèðîâàííîé ýíåðãèè E .
Ôóíêöèÿ fA,V îïðåäåëåíàíà ìíîæåñòâåME = (k, l) ∈ Rd × Rd | k 2 = l2 = E .(3.11)Êàê è îïåðàòîð ÄèðèõëåÍåéìàíà ΛA,V èç ôîðìóëû (3.4), àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ fA,V èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé âèäà (3.6a),(3.6b), ãäå g(x) = eiϕ(x) , ϕ(x) = O(|x|−(d+1)/2 ) ïðè |x| → ∞.Îáðàòíàÿ çàäà÷à ðàññåÿíèÿ äëÿ óðàâíåíèÿ (3.9) â ñëó÷àå n = 1 è E > 0ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.Çàäà÷à 3.2. Ïóñòü çàäàíà àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ fA,V íà ìíîæåñòâå ME äëÿóðàâíåíèÿ (3.9) ïðè ôèêñèðîâàííîì E (èëè ïðè E èç ôèêñèðîâàííîãî ìíîæåñòâà).
Íàéòè êîýôôèöèåíòû A, V ïî ìîäóëþ êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé(3.6a), (3.6b).Òåïåðü ðàññìîòðèì óðàâíåíèå (3.9), â êîòîðîì n ≥ 1.  ýòîì ñëó÷àå ìûîïðåäåëÿåì ôóíêöèè ψ + è f = fA,V äðóãèì ñïîñîáîì, êîòîðûé ýêâèâàëåíòåíóêàçàííîìó âûøå ñïîñîáó ïðè n = 1. Ôóíêöèÿ ψ + îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿ+ikxψ (x, k) = eZIdn +G+ (x − y, k)×RddX∂+ V (y) ψ + (y, k) dy,× −2iAj (y)∂yjj=1Zeiξx dξ+−dG (x, k) = −(2π),22Rd ξ − k − i0(3.12)(3.13)ãäå x, k ∈ Rd , k 2 = E .
Ìû ðàññìàòðèâàåì óðàâíåíèå (3.12) è åãî ïðîäèôôåðåí-80öèðîâàííûå ïî xj , j = 1, . . . , d, âåðñèè êàê ñèñòåìó ëèíåéíûõ èíòåãðàëüíûõóðàâíåíèé äëÿ ôóíêöèé ψ + , ∂xj ψ + , j = 1, . . . , d.Àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ f = fA,V îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôóíêöèè ψ + ñ ïîìîùüþÿâíîé ôîðìóëû−dZf (k, l) = (2π)e−ilxRddX∂−2iAj (x)+ V (x) ψ + (x, k) dx,∂xjj=1(3.14)ãäå (k, l) ∈ ME .Íàêîíåö, ðàññìîòðèì óðàâíåíèå (3.9) â ñëó÷àå, êîãäà n ≥ 1, E ∈ C \ (0, ∞). ýòîì ñëó÷àå ìû îïðåäåëèì àíàëîãè ψ è h ôóíêöèé ψ + è f .
Ôóíêöèÿ ψ îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿψ(x, k) = eikx Idn +ZG(x − y, k)×RddX∂× −2iAj (y)+ V (y) ψ(y, k) dy,∂yjj=1Zeikx dξikx−dG(x, k) = e g(x, k), g(x, k) = −(2π),2 + 2kξξdR(3.15)(3.16)ãäå x ∈ Rd , k ∈ Cd \ Rd , k 2 = E . Àíàëîãè÷íî óðàâíåíèþ (3.12), ìû ðàññìàòðèâàåì (3.15) è åãî ïðîäèôôåðåíöèðîâàííûå ïî xj , j = 1, .
. . , d, âåðñèè êàêñèñòåìó ëèíåéíûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ ôóíêöèé ψ , ∂xj ψ , j = 1, . . . , d(èëè, áîëåå òî÷íî, äëÿ ôóíêöèé µ, ∂xj µ, j = 1, . . . , d, ãäå ψ = eikx µ).Îáîáù¼ííàÿ àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ h îïðåäåëÿåòñÿ ïî ψ ñ ïîìîùüþ ÿâíîéôîðìóëû, àíàëîãè÷íîé ôîðìóëå (3.14) äëÿ àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ f :h(k, l) = (2π)−dZRde−ilxdX∂+ V (x) ψ(x, k) dx,−2iAj (x)∂xjj=1(3.17)ãäå k , l ∈ Cd \ Rd , Im k = Im l, k 2 = l2 .Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ ψ + (x, k) = ψ(x, k +i0k/|k|),ãäå k ∈ Rd , k 2 = E , è f (k, l) = h(k + i0k/|k|, l + i0l/|l|), ãäå (k, l) ∈ ME .Îòòàëêèâàÿñü îò ýòèõ ôîðìóë, ìû ìîæåì îïðåäåëèòü àíàëîãè ψγ è hγ ôóíêöèéψ è f ñëåäóþùèì îáðàçîì:ψγ (x, k) = ψ(x, k + i0γ),hγ (k, l) = h(k + i0γ, l + i0γ),(3.18)81ãäå x ∈ Rd , (k, l) ∈ ME , γ ∈ S d−1 = {u ∈ Rd | |u| = 1}.Çàìåòèì, ÷òî âïåðâûå ôóíêöèè òèïà ψ , h è ψγ , hγ èñïîëüçîâàëèñü â ðàáîòàõ[107, 108].Ôóíêöèÿ f (k, l) ëèáî ôóíêöèè hγ (k, l), ãäå (k, l) ∈ ME , γ ∈ S d−1 , ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê äàííûå ðàññåÿíèÿ SA,V (E) äëÿ óðàâíåíèÿ (3.9) ïðè ôèêñèðîâàííîéýíåðãèè E > 0.
Ôóíêöèÿ h(k, l), ãäå k , l ∈ Cd \ Rd , Im k = Im l, k 2 = l2 = E ,ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê äàííûå ðàññåÿíèÿ SA,V (E) äëÿ óðàâíåíèÿ (3.9) ïðè ôèêñèðîâàííîé ýíåðãèè E ∈ C \ (0, +∞).Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äàííûå ðàññåÿíèÿ SA,V (E) èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíîêàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé (3.6a), (3.6b), ãäå g äîñòàòî÷íî ðåãóëÿðíàÿGLn (C)-çíà÷íàÿ ôóíêöèÿ, áûñòðî óáûâàþùàÿ íà áåñêîíå÷íîñòè.
Îáðàòíàÿ çàäà÷à ðàññåÿíèÿ äëÿ óðàâíåíèÿ (3.9) â îáùåì ñëó÷àå ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèìîáðàçîì.Çàäà÷à 3.3. Ïóñòü çàäàíû äàííûå ðàññåÿíèÿ SA,V (E) ïðè ôèêñèðîâàííîì E(èëè ïðè E èç íåêîòîðîãî ôèêñèðîâàííîãî ìíîæåñòâà). Íàéòè A, V ïî ìîäóëþ êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé (3.6a), (3.6b).Çàäà÷å 3.3 ïîñâÿùåíî ìíîæåñòâî ðàáîò. Òàê, çàäà÷à 3.3 áåç ïðåäïîëîæåíèÿA ≡ 0 èçó÷àëàñü â ñòàòüÿõ [74, 40, 25, 26, 10, 56, 62, 7] è [57, ñ.
457] ïðè n = 1è â ðàáîòàõ [102, 27, 24, 80] ïðè n ≥ 2. Ñëó÷àé A ≡ 0, n ≥ 1 ðàññìàòðèâàëñÿ,íàïðèìåð, â ðàáîòå [61]. Êàñàòåëüíî ðåçóëüòàòîâ äëÿ ñëó÷àÿ n = 1, A ≡ 0, ñì.[100] è ññûëêè â ýòîé ðàáîòå.3.2Ïðèëîæåíèÿ ê àêóñòè÷åñêîé òîìîãðàôèè ýòîì ïàðàãðàôå ìû ðàññìàòðèâàåì ìîäåëüíîå óðàâíåíèå äëÿ ãàðìîíè÷åñêîãîïî âðåìåíè (e−iωt ) àêóñòè÷åñêîãî äàâëåíèÿ ψ â äâèæóùåéñÿ æèäêîñòè ñî ñêîðîñüþ çâóêà c = c(x), ñêîðîñòüþ òå÷åíèÿ v = v(x), ïëîòíîñòüþ ρ = ρ(x) èêîýôôèöèåíòîì ïîãëîùåíèÿ çâóêà α = α(x, ω) ïðè ÷àñòîòå ω :Lω ψ = 0,Lω = −∆ − 2iAω (x)∇ − Uω (x),x ∈ D,(3.19)82ãäå D ⊂ Rd îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü, çàíèìàåìàÿ æèäêîñòüþ,ωv(x) i ∇ρ(x)+,c2 (x)2 ρ(x)α(x, ω)ω2+ 2iω,Uω (x) = 2c (x)c(x)Aω (x) =(3.20)α(x, ω) = ω ζ(x) α0 (x).Èç ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé âûòåêàþò ñëåäóþùèå òðåáîâàíèÿ:c ≥ cmin > 0, ρ ≥ ρmin > 0, α0 ≥ 0, v = v , ζ = ζäëÿ íåêîòîðûõ êîíñòàíò cmin è ρmin .(3.21)Äëÿ ïðîñòîòû ìû òàêæå ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ω 6∈ σ(Lz ), ãäåσ(Lz ) ñîñòîèò èç òåõ z ∈ C, ïðè êîòîðûõ 0 ÿâëÿåòñÿñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì Äèðèõëå äëÿ îïåðàòîðà Lz â D.(3.22)Ìîäåëüíîå óðàâíåíèå (3.19) â ðàçíûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ èçó÷àëîñü, â ÷àñòíîñòè, â ðàáîòàõ [7, 11, 97, 40, 66, 105, 67].Çàìåòèì, ÷òî Lω = LA,V , ãäå A = Aω , V = −Uω , à îïåðàòîð LA,V îïðåäåë¼íâ ôîðìóëå (3.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
