Диссертация (1103157), страница 16
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Ìû èñïîëüçóåì îáîçíà÷åíèå Lω äëÿ îïåðàòîðà LA,V , ÷òîáûïîä÷åðêíóòü çàâèñèìîñòü îò ÷àñòîòû ω . Ìû òàêæå ïîëàãàåì Λω = ΛA,V (0), ãäåîïåðàòîð ΛA,V (E) îïðåäåë¼í â ôîðìóëå (3.4). Íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü ñëåäóþùàÿ ìîäèôèêàöèÿ çàäà÷è 3.1:Çàäà÷à 3.4. Ïóñòü çàäàí îïåðàòîð Λω ïðè îäíîé èëè íåñêîëüêèõ ÷àñòîòàõω . Íàéòè ïàðàìåòðû æèäêîñòè c, v , ρ è α.Çàìåòèì, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå åñòü ïðåïÿòñòâèå äëÿ îäíîçíà÷íîé ðàçðåøèìîñòè çàäà÷è 3.4, çàêëþ÷àþùååñÿ â èíâàðèàíòíîñòè îïåðàòîðà Λω îòíîñèòåëüíîïðåîáðàçîâàíèé (3.6a), (3.6b).Ìû íà÷í¼ì ðàññìîòðåíèå çàäà÷è 3.4 ñî ñëó÷àÿ, êîãäà çàðàíåå èçâåñòíî, ÷òîïëîòíîñòü æèäêîñòè ïîñòîÿííà (ò.å. ρ = const), à ïîãëîùåíèå îòñóòñòâóåò (ò.å.α = 0).
 ýòîì ñëó÷àå çàäà÷à 3.4 ýêâèâàëåíòíà çàäà÷å 3.1 ñ A = Aω , V = −Uωïðè ôèêñèðîâàííîé ÷àñòîòå ω è ñ äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèåì, ÷òî A = A èV = V , ãäå ÷åðòà îáîçíà÷àåò êîìïëåêñíîå ñîïðÿæåíèå. Ìû ïîêàæåì, ÷òî âýòîì ñëó÷àå çàäà÷à 3.1 èìååò íå áîëåå îäíîãî ðåøåíèÿ.83Çàìåòèì, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå, åñëè ãðàíèöà ∂D äîñòàòî÷íî ãëàäêàÿ, à êîýôôèöèåíòû A è V îïåðàòîðà LA,V èç ôîðìóëû (3.1) äîñòàòî÷íî ðåãóëÿðíû, òîîïåðàòîð ΛA,V èç ôîðìóëû (3.4) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò 1-ôîðìó dA è ôóíêöèþq â îáëàñòè D, à òàêæå êàñàòåëüíóþ êîìïîíåíòó ïîëÿ A íà ∂D, ãäådA =X ∂Al ∂Ak −dxk ∧ dxl ,∂xk∂xl(3.23)1≤k<l≤dq = V + i∇ · A − A · A,(3.24)è èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå A = (A1 , .
. . , Ad ) (â íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå è â ïàðàãðàôàõ 3.3, 3.4 ìû áóäåì ïèñàòü èíäåêñû ó êîìïîíåíò ïîëÿ A ñâåðõó, ÷òîáûèçáåæàòü ãðîìîçäêèõ îáîçíà÷åíèé). ÷àñòíîñòè, â ðàáîòå [52] ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïðè d ≥ 3 îòîáðàæåíèþ ΛA,Vñîîòâåòñòâóþò åäèíñòâåííûå dA è q , åñëè ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî A ∈ L∞ (D, Cd )è V ∈ L∞ (D, C). Èç ðåçóëüòàòîâ ñòàòüè [36] ñëåäóåò, ÷òî â ðàçìåðíîñòè d = 2îïåðàòîð ΛA,V îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò dA è q , åñëè ∂D ∈ C ∞ è èçâåñòíî, ÷òîA ∈ W 2,p (D, Rd ) è V ∈ W 1,p (D, C), p > 2.Êðîìå òîãî, â ðàáîòå [17] ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè ∂D ∈ C 1 (d ≥ 3) èëè∂D ∈ C 1,α , α ∈ (0, 1) (d = 2) è åñëè A ∈ C(D, Cd ), V ∈ L∞ (D, C), òî ΛA,Vîäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò A−ν(A·ν) íà ∂D, ãäå ν îáîçíà÷àåò åäèíè÷íóþ âíåøíþþíîðìàëü ê ∂D.Ìû âîñïîëüçóåìñÿ ýòèìè ðåçóëüòàòàìè â äîêàçàòåëüñòâå ñëåäóþùèõ òåîðåì.Ìû íà÷í¼ì ñî ñëåäóþùèõ ðåçóëüòàòîâ åäèíñòâåííîñòè äëÿ çàäà÷è 3.1.Òåîðåìà 3.1.
Ïóñòü D ⊂ Rd (d ≥ 3) îãðàíè÷åííàÿ îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü ñëèíåéíî ñâÿçíîé ãðàíèöåé ∂D ∈ C 1 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî A(1) , A(2) ∈ W 1,∞ (D, Rd )è V (1) , V (2) ∈ L∞ (D, R). Ïóñòü 0 íå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì Äèðèõëå äëÿ îïåðàòîðîâ LA(1) ,V (1) è LA(2) ,V (2) â D. Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ èç ðàâåíñòâàΛA(1) ,V (1) = ΛA(2) ,V (2) ñëåäóåò, ÷òî A(1) = A(2) è V (1) = V (2) .Òåîðåìà 3.2. Ïóñòü D ⊂ R2 îãðàíè÷åííàÿ îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü ñ ëèíåéíî ñâÿçíîé ãðàíèöåé ∂D ∈ C ∞ . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî A(1) , A(2) ∈ W 2,p (D, R2 ) èV (1) , V (2) ∈ W 1,p (D, R), ãäå p > 2. Ïóñòü 0 íå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì Äèðèõëå äëÿ îïåðàòîðîâ LA(1) ,V (1) è LA(2) ,V (2) â D.
Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ èçðàâåíñòâà ΛA(1) ,V (1) = ΛA(2) ,V (2) ñëåäóåò, ÷òî A(1) = A(2) è V (1) = V (2) .Äëÿ ôîðìóëèðîâêè ñëåäóþùèõ ðåçóëüòàòîâ íàì óäîáíî îòäåëüíî âûïèñàòü84òðåáîâàíèÿ ê êîýôôèöèåíòàì. Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî:c ∈ W 1,∞ (D, R), ρ ∈ C(D̄) ∪ C 2 (D), v ∈ W 1,∞ (D, Rd ),α0 ∈ C(D̄), ζ ∈ C(D̄), ζ 6= 0,ãäå d ≥ 3,c ∈ W 2,p (D, R), ρ ∈ W 3,p (D, R), v ∈ W 2,p (D, Rd ),α0 ∈ W 1,p (D, R), ζ ∈ C(D̄), ζ 6= 0,ãäå p > 2, d = 2.(3.25)(3.26)Òåïåðü ìû ïåðåéä¼ì ê óñëîâèÿì åäèíñòâåííîñòè â çàäà÷å 3.4. Íà÷í¼ì ñî ñëó÷àÿ íåïîãëîùàþùåé æèäêîñòè ïîñòîÿííîé ïëîòíîñòè.
Ñëåäóþùåå ïðåäëîæåíèåÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì òåîðåì 3.1 è 3.2.Ïðåäëîæåíèå 3.1. Ïóñòü D ⊂ Rd (d ≥ 2) îãðàíè÷åííàÿ îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü ñ ëèíåéíî ñâÿçíîé ãðàíèöåé ∂D, ãäå ∂D ∈ C ∞ (d = 2) èëè ∂D ∈ C 1(j)(j)(d ≥ 3). Ïóñòü îïåðàòîðû Lω è Λω ñîîòâåòñòâóþò êîýôôèöèåíòàì c(j) ,ρ(j) , v (j) , α(j) , ãäå c(j) è v (j) óäîâëåòâîðÿþò (3.21) è (3.25)(3.26), à ρj = const >(1)(2)0 è α(j) = 0, j = 1, 2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ω ∈ R \ (σ(Lω ) ∪ σ(Lω )) çàôèêñè(1)(2)ðîâàíî.
Òîãäà èç ðàâåíñòâà îïåðàòîðîâ Λω = Λω ñëåäóåò, ÷òî c(1) = c(2) èv (1) = v (2) .Ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ íåïîãëîùàþùåé æèäêîñòè ïåðåìåííîé ïëîòíîñòè.Òåîðåìà 3.3. Ïóñòü D ⊂ Rd (d ≥ 2) îãðàíè÷åííàÿ îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü ñëèíåéíî ñâÿçíîé ãðàíèöåé ∂D, ãäå ∂D ∈ C ∞ (d = 2) èëè ∂D ∈ C 1 (d ≥ 3).(j)(j)Ïóñòü îïåðàòîðû Lω è Λω ñîîòâåòñòâóþò êîýôôèöèåíòàì c(j) , ρ(j) , v (j) ,α(j) , ãäå c(j) , ρ(j) , v (j) óäîâëåòâîðÿþò (3.21) è (3.25)(3.26), à α(j) = 0, j = 1,(1)(2)2.
Ïóñòü ω1 , ω2 ∈ (0, +∞) \ (σ(Lω ) ∪ σ(Lω )), ω1 6= ω2 . Òîãäà èç ðàâåíñòâà(1)(2)îïåðàòîðîâ Λω = Λω ïðè ω ∈ {ω1 , ω2 } ñëåäóåò, ÷òî c(1) = c(2) è ρ(1) = Cρ(2) ,v (1) = v (2) , ãäå C = const > 0. ñëåäóþùåé òåîðåìå ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé ïîãëîùàþùèõ æèäêîñòåé ïåðåìåííîé ïëîòíîñòè.Òåîðåìà 3.4. Ïóñòü D ⊂ Rd (d ≥ 2) îãðàíè÷åííàÿ îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü ñëèíåéíî ñâÿçíîé ãðàíèöåé ∂D, ãäå ∂D ∈ C ∞ (d = 2) èëè ∂D ∈ C 1 (d ≥ 3).(j)(j)Ïóñòü îïåðàòîðû Lω è Λω ñîîòâåòñòâóþò êîýôôèöèåíòàì c(j) , ρ(j) , v (j) ,(j)α0 è ζ (j) , óäîâëåòâîðÿþùèì (3.21) è (3.25)(3.26), j = 1, 2. Ïðåäïîëîæèì,(1)(2)÷òî ω1 , ω2 , ω3 ∈ (0, +∞) \ (σ(Lω ) ∪ σ(Lω )) òðè ïîïàðíî ðàçëè÷íûå ÷àñòî(1)(2)òû. Òîãäà èç ðàâåíñòâà îïåðàòîðîâ Λω = Λω ïðè ω ∈ {ω1 , ω2 , ω3 } ñëåäóåò,85÷òî c(1) = c(2) , ρ(1) = Cρ(2) , v (1) = v (2) è α(1) = α(2) , ãäå C = const > 0 è(j)(j)α(j) (x, ω) = ω ζ (x) α0 (x).Íèæå ìû ïðèâåä¼ì ïðèìåð äâóõ íàáîðîâ ïàðàìåòðîâ c(j) , v (j) , ρ(j) , α(j) , j = 1,(1)(2)2, îáëàäàþùèõ òåì ñâîéñòâîì, ÷òî ïðè âñåõ ω ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî Λω = Λω . ýòîì ïðèìåðå ïîãëîùåíèå æèäêîñòåé íå çàâèñèò îò ÷àñòîòû.
Äëÿ ôîðìóëèðîâêè ïðèìåðà íàì ïîòðåáóåòñÿ ââåñòè ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ. Ïðåäïîëîæèì,÷òîh ∈ C 2 (D, R), supp h ⊂ D è |∇h| < 1 â D,(3.27)ãäå D ⊂ Rd îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü. Îïðåäåëèì êîýôôèöèåíòû c(1) , ρ(1) , v (1) è(1)α0 ôîðìóëîéc(1) = const > 0,v (1) = 0,ρ(1) = const > 0,(3.28)(1)α0 = const > − 21 min ∆h,x∈D(2)à êîýôôèöèåíòû c(2) , ρ(2) , v (2) è α0 ôîðìóëîéc(2) = c(1) (1 − |∇h|2 )−1/2 ,ρ(2) ≡ const > 0,v (2) = c(1) (1 − |∇h|2 )−1 ∇h,(2)(3.29)(1)α0 = (1 − |∇h|2 )−1/2 (α0 + 21 ∆h).(j)Çàìåòèì, ÷òî íàáîðû êîýôôèöèåíòîâ c(j) , v (j) , ρ(j) , α0ñòâàì (3.21) è (3.25)(3.26) ïðè j = 1, 2.óäîâëåòâîðÿþò ñâîé-Òåîðåìà 3.5.
Ïóñòü D ⊂ Rd (d ≥ 2) îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü ñ ãðàíèöåé∂D ∈ C ∞ . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî h óäîâëåòâîðÿåò (3.27), h 6≡ 0, à ôóíêöèèc(j) , ρ(j) , v (j) , α(j) , j = 1, 2, îïðåäåëåíû â ôîðìóëàõ (3.28) è (3.29). Ïóñòü(j)(j)(j)îïåðàòîðû Lω è Λω ñîîòâåòñòâóþò êîýôôèöèåíòàì c(j) , ρ(j) , v (j) , α0 ñζ (j) = 0. Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ äëÿ ëþáîãî ω ∈ C \ σ ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî(1)(2)(1)(2)îïåðàòîðîâ Λω = Λω , ãäå σ = σ(Lz ) = σ(Lz ).3.3Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì 3.1, 3.2 è 3.5Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì 3.1 è 3.2.
Ìû äîêàæåì òåîðåìû 3.1 è 3.2 îäíîâðåìåííî. Ïóñòü îáëàñòü D è êîýôôèöèåíòû A(1) , A(2) è V (1) , V (2) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì òåîðåìû 3.1 (ñîîòâ. òåîðåìû 3.2) è ïðåäïîëîæèì, ÷òî ΛA(1) ,V (1) = ΛA(2) ,V (2) .86Èñïîëüçóÿ [17, Theorem 1.1], ìû ïîëó÷àåì ðàâåíñòâîA(1) − ν(A(1) · ν) |∂D = A(2) − ν(A(2) · ν) |∂D ,(3.30)ãäå ν îáîçíà÷àåò åäèíè÷íóþ âíåøíþþ íîðìàëü ê ∂D. Èñïîëüçóÿ [52, Theorem1.1] (ñîîòâ.
[36, Theorem 1.1]), ìû ïîëó÷àåì ðàâåíñòâàdA(1) = dA(2) â îáëàñòè D,(3.31)q (1) = q (2) â îáëàñòè D,(3.32)ãäå èñïîëüçóþòñÿ îáîçíà÷åíèÿdA(j)=X ∂A(j),l ∂A(j),k −dxk ∧ dxl ,∂xk∂xl1≤k<l≤dq (j) = V (j) + i∇ · A(j) − A(j) · A(j) ,è A(j) = (A(j),1 , . . . , A(j),d ), j = 1, 2.Òàê êàê îáëàñòü D îäíîñâÿçíà, òî èç ðàâåíñòâà (3.31) ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ ôóíêöèÿ ϕ ∈ W 2,∞ (D, R), ÷òîA(1) − A(2) = ∇ϕ â îáëàñòè D.(3.33)Èç ôîðìóë (3.30), (3.33) è èç ëèíåéíîé ñâÿçíîñòè ∂D ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ ϕïîñòîÿííà íà ãðàíèöå ∂D.Ïîëüçóÿñü ôîðìóëàìè (3.32) è (3.33), ìû ïîëó÷àåì ðàâåíñòâîV (1) − V (2) = −i∆ϕ − (∇ϕ)2 + 2A(1) ∇ϕ â îáëàñòè D.(3.34)Áåðÿ ìíèìóþ ÷àñòü îò ýòîãî ðàâåíñòâà, ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ∆ϕ = 0 â îáëàñòè D.
Èç ýòîãî óðàâíåíèÿ, â ñèëó òîãî, ÷òî ϕ = const íà ∂D è ϕ ∈ W 2,∞ (D),ñëåäóåò, ÷òî ϕ = const â çàìêíóòîé îáëàñòè D. Èç ôîðìóë (3.33) è (3.34) âûòåêàþò ðàâåíñòâà A(1) = A(2) è V (1) = V (2) . Òåîðåìû 3.1 è 3.2 äîêàçàíû.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3.5. Ïîëîæèìµ=ωh.c(1)87Ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òîiµ(2)(2)e−iµ L(1)ω e = −∆ − 2iAω ∇ − Uω ,(3.35)ãäå èñïîëüçóþòñÿ îáîçíà÷åíèÿω∇h,c(1)2iω (1)ω2= (1) 2 (1 − |∇h|2 ) + (1) (α0 + 21 ∆h),(c )cA(2)ω =Uω(2)à e±iµ îáîçíà÷àþò îïåðàòîðû óìíîæåíèÿ íà ôóíêöèè e±iµ . Èç ôîðìóëû (3.35)ñëåäóåò, ÷òî−iµ (1) iµL(2)Lω e .(3.36)ω =eÊðîìå òîãî, èç ïðåäïîëîæåíèé íàñòîÿùåé òåîðåìû âûòåêàåò, ÷òîe±iµ − 1 èìååò íîñèòåëü â îáëàñòè D.(3.37)Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (3.36) è (3.37), ìû ïîëó÷àåì, ÷òî(2)σ(L(1)z ) = σ(Lz ),(2)Λ(1)ω = Λω ïðè âñåõ ω ∈ C \ σ ,(1)(2)ãäå ââåäåíî îáîçíà÷åíèå σ = σ(Lz ) = σ(Lz ).
Ýòèì çàâåðøàåòñÿ äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3.5.3.4Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåì 3.3 è 3.4Ìû íà÷í¼ì ýòîò ïàðàãðàô ñ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 3.3, ïîñëåäîâàòåëüíî ðàññìîòðåâ ñëó÷àè d ≥ 3 è d = 2.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3.3. Ñëó÷àé d ≥ 3. Çàìåòèì, ÷òî ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå2d X1 ∂(j)(j),kLω =+ Aω+ qω(j) ,(3.38)i ∂xkk=188ãäåqω(j)ωv (j)i ∇ρ(j)(j),1(j),dA(j)=(A,...,A)=+,ωωω(c(j) )2 2 ρ(j)(j)ω2i∇ρω2ω(j)= − (j) 2 + i∇ ·v+−(v (j) )2(j)2(j)(j)42 ρ(c )(c )(c )iωv (j) ∇ρ(j)1+ (ρ(j) )−2 (∇ρ(j) )2 − (j) 2 (j) ,4(c ) ρ(3.39)à îïåðàòîð ∇· îáîçíà÷àåò äèâåðãåíöèþ.(1)(2)Èç [17, Theorem 1.1] ñëåäóåò, ÷òî êàñàòåëüíûå êîìïîíåíòû ïîëåé Aω è Aωíà ãðàíèöå ∂D ðàâíû.
Ñëåäîâàòåëüíî,∇ρ(1) ∇ρ(2)è (2) íà ∂D ðàâíû,ρ(1)ρv (1)v (2)êàñàòåëüíûå êîìïîíåíòû ïîëåé (1) 2 è (2) 2 íà ∂D ðàâíû.(c )(c )êàñàòåëüíûå êîìïîíåíòû ïîëåé(3.40)(3.41)Èç ôîðìóëû (3.40) è èç ëèíåéíîé ñâÿçíîñòè ãðàíèöû ∂D ñëåäóåò, ÷òîln ρ(2) − ln ρ(1) = ln Cρ(2) |∂D = Cρ(1) |∂D ,íà ∂D,ãäå C = const > 0.(3.42)Ïîëüçóÿñü [52, Theorem 1.1] è îäíîñâÿçíîñòüþ D, ìû ïîëó÷àåì ðàâåíñòâàqω(2) − qω(1) = 0 â îáëàñòè D(1)A(2)ω − Aω = ∇ϕωâ îáëàñòè D,(3.43)(3.44)ãäå ϕω ∈ W 2,∞ (D, C) è ω ∈ {ω1 , ω2 }.Ðàçäåëÿÿ âåùåñòâåííóþ è ìíèìóþ ÷àñòè â ðàâåíñòâå (3.43), ìû ïîëó÷àåìôîðìóëó(1) 2(2) 2(v)(v)ω2−+− (2) 4(c(1) )2 (c(2) )2 (c(1) )4(c )"#22(2)(1)(2)(1)∇ρ∇ρ∇ρ∇ρ+−−∇·+∇·= 0,2ρ(2)2ρ(1)2ρ(2)2∇ρ(1)11(3.45)89ãäå ω ∈ {ω1 , ω2 }, è ôîðìóëó∇·v (2)v (1)−(c(1) )2 (c(2) )2∇ρ(1) v (1)∇ρ(2) v (2)− (1) (1) 2 + (2) (2) 2 = 0.ρ(c )ρ(c )(3.46)Èç ôîðìóëû (3.45) è èç ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî ω1 , ω2 > 0 è ω1 6= ω2 , ñëåäóþòðàâåíñòâà∇ρ(2)2ρ(2)22 (2) (1) ∇ρ(1)∇ρ∇ρ−−∇·+∇·= 0,2ρ(1)2ρ(2)2ρ(1)1(v (1) )2 (v (2) )21−+− (2) 4 = 0.(c(1) )2 (c(2) )2 (c(1) )4(c )(3.47)(3.48)Ïîëîæèì ïî îïðåäåëåíèþu(j) = 21 ln ρ(j) ,j = 1, 2.(3.49)Èç ôîðìóë (3.42), (3.47) è (3.49) ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèè u(1) è u(2) óäîâëåòâîðÿþòñëåäóþùåé çàäà÷å:∆u(2) − (∇u(2) )2 = ∆u(1) − (∇u(1) )2 â D,u(2) = u(1) + 1 ln C íà ∂D.(3.50)2Èç ýòîé ñèñòåìû, ñ ó÷¼òîì òîãî, ÷òî u(1) , u(2) ∈ C(D) ∩ C 2 (D), à òàêæå èç [33,Theorem 10.1] âûòåêàåò ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèåu(2) = u(1) + 21 ln Câ îáëàñòè D. ñèëó ôîðìóëû (3.49) ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîρ(2) = Cρ(1) â îáëàñòè D.(3.51)Òåïåðü âîçüì¼ì äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü îò ðàâåíñòâà (3.44) è âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé (3.41).
Ìû ïîëó÷èì ðàâåíñòâîv (2)v (1)−= ∇βω(c(2) )2 (c(1) )2â îáëàñòè D,(3.52)90â êîòîðîìβω = const íà ∂D,(3.53)ãäå ôóíêöèÿ βω îïðåäåëåíà ïî ôîðìóëå(3.54)βω = Re ϕω .Ó÷èòûâàÿ ôîðìóëó (3.51), ìû ïîëàãàåì ïî îïðåäåëåíèþ∇ρ(1)∇ρ(2)a := (1) = (2) .ρρ(3.55)Èç ôîðìóë (3.46), (3.52), (3.53), (3.54) è (3.55) ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ βω óäîâëåòâîðÿåò çàäà÷å−∆β + a∇β = 0 â îáëàñòè D,ωωβω = const íà ∂D.(3.56)Îòñþäà, èñïîëüçóÿ [33, Theorem 8.1], ìû ïîëó÷àåì, ÷òî βω = const â îáëàñòè D.Ïîýòîìó, ñ ó÷¼òîì ôîðìóëû (3.52), ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâîv (1)v (2)= (2) 2(c(1) )2(c )â îáëàñòè D.(3.57)Íàêîíåö, ïîëüçóÿñü ôîðìóëàìè (3.48) è (3.57), ìû ïîëó÷àåì, ÷òîc(2) = c(1) è v (2) = v (1) â îáëàñòè D.(3.58)Ýòî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3.3 â ñëó÷àå d ≥ 3.Ñëó÷àé d = 2.
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