Диссертация (1103157), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è (4.65) ñëåäóåò èçòîãî, ÷òî E íå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ îïåðàòîðàLA,V â D.Îáîçíà÷èì ÷åðåç ψ 0 åäèíñòâåííîå ðåøåíèå çàäà÷è (4.67), ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîãî äîêàçàíî â ëåììå 4.5. Èç ëåììû 4.4 ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿçàäà÷è (4.65) ñ òðåáóåìûìè ñâîéñòâàìè.Óòâåæäåíèå 3 ñëåäóåò èç ôîðìóë (4.68) è (4.70).Êîìïàêòíîñòü èíòåãðàëüíûõ îïåðàòîðîâÏåðåïèøåì óðàâíåíèå (4.27) ñëåäóþùèì îáðàçîì:ψ = ψ 0 + R0 (k) Λ(E) − ΛV 0 (E) ψ,(4.71)ãäå R0 (k) èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð ñ ÿäðîì (â ñìûñëå Øâàðöà) R0 (x, y, k),x, y ∈ ∂D. Ìû ñ÷èòàåì, ÷òî k ∈ Cd \ (Rd ∪ EV 0 ) çàôèêñèðîâàíî. Ìû ïîêàæåì, ÷òî îïåðàòîð R0 (k) Λ(E) − ΛV 0 (E) ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì â ïðîñòðàíñòâåC 1,β (∂D, Mn (C)) äëÿ ëþáîãî β ∈ (0, 1).
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîæíî ïîêàçàòü,÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå èíòåãðàëüíûå îïåðàòîðû èç ôîðìóë (4.30) è (4.33) ÿâëÿþòñÿ êîìïàêòíûìè.Íàì äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî îïåðàòîð R0 (k) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì, à îïåðàòîð Λ(E) − ΛV 0 (E) êîìïàêòíûì.Íà÷í¼ì ñ íåïðåðûâíîñòè îïåðàòîðà R0 (k). Èç òåîðåì [21, Theorem 2.12,Theorem 2.17] ñëåäóåò, ÷òî èíòåãðàëüíûé îïåðàòîð ñ ÿäðîì (â ñìûñëå Øâàðöà) G(x − y, k), x, y ∈ ∂D, ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì â C 1,β (∂D, Mn (C)). Èç ôîðìóë (4.22) è (4.23) ñëåäóåò (åñëè ó÷åñòü, ÷òî íîñèòåëü V 0 ñîäåðæèòñÿ â D), ÷òî114ïðîèçâîäíûå ∂xi r0 (x, y, k), ∂xi ∂xj r0 (x, y, k), i, j = 1, . . .
, d, ãäå ∂xk = ∂/∂xk ,ñóùåñòâóþò è íåïðåðûâíû ïðè x è y ïðèíàäëåæàùèõ íåêîòîðîé îêðåñòíîñòèìíîæåñòâà ∂D. Ñëåäîâàòåëüíî, îïåðàòîð ñ ÿäðîì eik(x−y) r0 (x, y, k), x, y ∈ ∂D,íåïðåðûâåí â ïðîñòðàíñòâå C 1,β (∂D, Mn (C)). Îòñþäà è èç ôîðìóëû (4.21) ñëåäóåò, ÷òî R0 (k) íåïðåðûâåí â C 1,β (∂D, Mn (C)).Òåïåðü ïîêàæåì, ÷òî îïåðàòîð Λ(E) − ΛV 0 (E) êîìïàêòåí â ïðîñòðàíñòâåC 1,β (∂D, Mn (C)).
Ïóñòü îïåðàòîðû S è SV 0 îïðåäåëÿþòñÿ, êàê â óòâåðæäåíèè3 ëåììû 4.3, ñ èñïîëüçîâàíèåì êîýôôèöèåíòîâ A, V è A0 = 0, V 0 â óðàâíåíèè(4.66) ñîîòâåòñòâåííî. Èç óòâåæäåíèÿ 3 ëåììû 4.3 ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîðû S èSV 0 ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè îïåðàòîðàìè èç ïðîñòðàíñòâà C 1,β (∂D, Mn (C)) âïðîñòðàíñòâî C 1 (D, Mn (C)).Ó÷èòûâàÿ óðàâíåíèå (4.66), ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ôîðìóëó:Λ(E) − ΛV 0 (E) = N S − NV 0 SV 0 ,(4.72)ãäå N è NV 0 îáîçíà÷àþò ëèíåéíûå íåïðåðûâíûå îïåðàòîðû, äåéñòâóþùèå èçC 1 (D, Mn (C)) â C 2 (∂D, Mn (C)) è îïðåäåëÿåìûå ñëåäóþùèì îáðàçîì:dX∂Γ∂(N ψ)(x) =(x, y, E) −2iAj (y)+ V (y) ψ(y) dy,∂νx∂yjj=1DZ∂Γ(NV 0 ψ)(x) =(x, y, E)V 0 (y)ψ(y) dy,∂νxZDãäå Γ îáîçíà÷àåò ôóíêöèþ Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ îïåðàòîðà ∆ + E â îáëàñòè D, à νx îáîçíà÷àåò åäèíè÷íóþ âíåøíþþ íîðìàëü ê ∂D â òî÷êå x ∈∂D.
Ó÷èòûâàÿ êîìïàêòíîñòü âëîæåíèÿ C 2 (∂D, Mn (C)) ,→ C 1,β (∂D, Mn (C)),ìû ïîëó÷àåì, ÷òî îïåðàòîðû N è NV 0 êîìïàêòíî îòîáðàæàþò C 1 (D, Mn (C)) âC 1,β (∂D, Mn (C)). Èç íåïðåðûâíîñòè îïåðàòîðîâ S è SV 0 , èç êîìïàêòíîñòè îïåðàòîðîâ N è NV 0 è èç ôîðìóëû (4.72) ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîð Λ(E) − ΛV 0 (E)ÿâëÿåòñÿ êîìïàêòíûì îïåðàòîðîì â ïðîñòðàíñòâå C 1,β (∂D, Mn (C)).Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîêàçàëè, ÷òî îïåðàòîð R0 (k) Λ(E) − ΛV 0 (E) ÿâëÿåòñÿêîìïàêòíûì â ïðîñòðàíñòâå C 1,β (∂D, Mn (C)). Òàêèì æå ñïîñîáîì ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå èíòåãðàëüíûå îïåðàòîðû â óðàâíåíèÿõ (4.30) è (4.33)ÿâëÿþòñÿ êîìïàêòíûìè.115Îäíîçíà÷íàÿ ðàçðåøèìîñòü óðàâíåíèéÈòàê, ìû ïîêàçàëè ÷òî óðàâíåíèÿ (4.27), (4.30) è (4.33) ÿâëÿþòñÿ óðàâíåíèÿìè Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà â ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðîñòðàíñòâàõ. Òåïåðü ìûäîêàæåì óòâåðæäåíèå îá îäíîçíà÷íîé ðàçðåøèìîñòè óðàâíåíèÿ (4.27).
Äîêàçàòåëüñòâî óòâåðæäåíèé îá îäíîçíà÷íîé ðàçðåøèìîñòè óðàâíåíèé (4.30) è (4.33)ìîæåò áûòü ïðîâåäåíî àíàëîãè÷íûì ñïîñîáîì.Ìû äîêàæåì ñëåäóþùóþ ëåììó.Ëåììà 4.6. Ïóñòü k ∈ Cd \ (Rd ∪ EV 0 ), k 2 = E , è β ∈ (0, 1) çàôèêñèðîâàíû.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 4.3. Òîãäà óðàâíåíèå (4.27)îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî ψ ∈ C 1,β (∂D, Mn (C)) òîãäà è òîëüêîòîãäà, êîãäà óðàâíåíèå (4.53) îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî ψ(x, k) =eikx µ(x, k) ñ µ ∈ W 1,∞ (Rd , Mn (C)).Çàìåòèì, ÷òî èç ëåììû 4.6 âûòåêàåò óòâåðæäåíèå îá îäíîçíà÷íîé ðàçðåøèìîñòè óðàâíåíèÿ (4.27), òàê êàê óðàâíåíèå (4.53) ïðè ôèêñèðîâàííîì k ∈Cd \ (Rd ∪ EV 0 ) îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî ψ(x, k) = eikx µ(x, k) ñµ ∈ W 1,∞ (Rd , Mn (C)) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà k 6∈ E .Ïåðåä òåì êàê ïåðåéòè ê äîêàçàòåëüñòâó ëåììû 4.6, íàïîìíèì, ÷òî ôóíêöèÿ0ψ (x, k) èç ôîðìóëû (4.27) îïðåäåëåíà êàê ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.15) ñ êîýôôèöèåíòàìè A0 = 0, V 0 , òàêîå, ÷òî ψ 0 (x, k) = eikx µ0 (x, k), ãäå µ0 ∈ W 1,∞ (Rd , Mn (C)).Ðàññóæäàÿ êàê ïðè äîêàçàòåëüñòâå óòâåðæäåíèé 1 è 2 ëåììû 4.4, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ ψ 0 (x, k) ïðèíàäëåæèò C 2 (Rd , Mn (C)) è óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ− ∆ψ 0 + V 0 (x)ψ 0 = Eψ 0 , x ∈ Rd .(4.73)Ìû äîêàæåì ëåììó 4.6 â äâà øàãà.Øàã 1.
Ïðîäîëæåíèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (4.27) äî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (4.53).Îáîçíà÷èì ÷åðåç ϕ ðåøåíèå êëàññà C 1,β (∂D, Mn (C)), β ∈ (0, 1), óðàâíåíèÿ(4.27). Ìû ïîêàæåì, ÷òî ϕ ñîîòâåòñâóåò ðåøåíèå ψ(x, k) = eikx µ(x, k), µ ∈W 1,∞ (Rd , Mn (C)), óðàâíåíèÿ (4.53).Îáîçíà÷èì ÷åðåç ϕ+ ∈ C 2 (D, Mn (C)) ∩ C 1 (D, Mn (C)) åäèíñòâåííîå ðåøåíèåñèñòåìû (4.65) ñ f = ϕ, ñóùåñòâîâàíèå êîòîðîãî óòâåðæäàåòñÿ â ëåììå 4.3.Îïðåäåëèì ϕ− ôîðìóëîé−0Zϕ (x) = ψ (x, k) +A(x, y, k)ϕ(y) dy,∂Dx ∈ Rd \ D.(4.74)116Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (4.28) è (4.35), ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ôîðìóëó:ZDdX∂0R (x, y, k) −2iAj (y)+ V (y) − V (y) ϕ+ (y) dy∂yjj=1Z= A(x, y, k)ϕ(y) dy,0(4.75)∂Dãäå x ∈ Rd \D. Èç ôîðìóë (4.21) è (4.23) ñëåäóåò, ÷òî ôîðìóëà (4.75) ñïðàâåäëèâà ïðè x ∈ Rd \ D.
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (4.74) è (4.75), ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùååñîîòíîøåíèå:ϕ− (x) = ψ 0 (x, k) +ZR0 (x, y, k)×DdX∂0+ V (y) − V (y) ϕ+ (y) dy,× −2iAj (y)∂yjj=1(4.76)ãäå x ∈ Rd \ D. Èç ôîðìóë (4.21), (4.22), (4.23) è (4.76) ñëåäóåò, ÷òî ϕ− ∈C 1 (Rd \ D, Mn (C)).Çàìåòèì, ÷òî ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ ôîðìóëà:dX∂R0 (x, y, k) −2iAj (y)+ V (y) − V 0 (y) ϕ+ (y) dy∂yjj=1DZZ +0∂ϕ(y)∂R= δx (y)ϕ+ (y) dy +R0 (x, y, k)−(x, y, k)ϕ(y) dy,∂νy∂νyZD∂D(4.77)117ãäå x 6∈ ∂D. Ôîðìóëà (4.77) âûòåêàåò èç ñëåäóþùåé öåïî÷êè ðàâåíñòâ:ZDdX∂0R (x, y, k) −2iAj (y)+ V (y) − V (y) ϕ+ (y) dy∂yjj=1Z(4.65)R0 (x, y, k) ∆y + E − V 0 (y) ϕ+ (y) dy==0D(4.40)Z==∆y + E − V 0 (y) R0 (x, y, k)ϕ+ (y) dyDZ +0∂ϕ∂R+R0 (x, y, k)(y) −(x, y, k)ϕ(y) dy∂νy∂νy∂DZ Z+0∂ϕ∂R(4.60)R0 (x, y, k)δx (y)ϕ+ (y) dy +(y) −(x, y, k)ϕ(y) dy.==∂νy∂νyD∂DÈñïîëüçóÿ ôîðìóëû (4.76) è (4.77), ìû ïîëó÷àåì ôîðìóëóZ ∂ϕ+∂R00ϕ (x) = ψ (x, k) +R (x, y, k)(y) −(x, y, k)ϕ(y) dy,∂νy∂νy−0(4.78)∂Dãäå x ∈ Rd \ D.Èç ôîðìóë (4.18), (4.21), (4.23) è èç ñâîéñòâ ïîòåíöèàëîâ ïðîñòîãî è äâîéíîãî ñëî¼â âûòåêàþò ñëåäóþùèå ôîðìóëû:∂ϕ+(y) dy,R (x − 0νx , y, k)∂νy∂D∂DZZ0∂R∂R0(x + 0νx , y, k)ϕ(y) dy = −ϕ(x) +(x − 0νx , y, k)ϕ(y) dy,∂νy∂νyZ∂D∂ϕ+(y) dy =R (x + 0νx , y, k)∂νy0Z0(4.79)∂Dãäå νx îáîçíà÷àåò åäèíè÷íóþ âíåøíþþ íîðìàëü ê ∂D â òî÷êå x ∈ ∂D, à îáîçíà÷åíèå x + 0νx (ñîîòâ.
x − 0νx ) ïîäðàçóìåâàåò âû÷èñëåíèå ôóíêöèè â òî÷êåx + ενx (ñîîòâ. x − ενx ), ε > 0, è ïåðåõîä ê ïðåäåëó ïðè ε → +0.Òàêæå çàìåòèì, ÷òî èç îïðåäåëåíèÿ ϕ+ è èç ôîðìóë (4.60), (4.77) ñëåäóåò118ñîîòíîøåíèå∆x − V 0 (x) + EZR0 (x, y, k)∂ϕ+(y) dy∂νy∂D0Z∂R(x, y, k)ϕ(y) dy∂νy−(4.80)= 0,∂Dãäå x ∈ D. Èç ôîðìóë (4.73) è (4.80) ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ â ïðàâîé ÷àñòèóðàâíåíèÿ (4.78) ëåæèò â ÿäðå îïåðàòîðà ∆ − V 0 + E â îáëàñòè D. Êðîìå òîãî,èç ôîðìóë (4.78), (4.79) è èç ñâîéñòâà ϕ− |∂D = ϕ ñëåäóåò, ÷òîZ +0∂ϕ∂Rψ 0 (x, k) +R0 (x − 0νx , y, k)(y) −(x − 0νx , y, k)ϕ(y) dy∂νy∂νy∂DZ 0+∂R∂ϕ(4.79)(y) −(x + 0νx , y, k)ϕ(y) dy − ϕ(x)== ψ 0 (x, k) +R0 (x + 0νx , y, k)∂νy∂νy∂D(4.78)== ϕ− (x) − ϕ(x) = 0,äëÿ âñåõ x ∈ ∂D.Ñëåäîâàòåëüíî, ñ ó÷¼òîì òîãî, ÷òî E íå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåìçàäà÷è Äèðèõëå äëÿ îïåðàòîðà L0,V 0 â îáëàñòè D, ñïðàâåäëèâà ôîðìóëàZ ∂ϕ+∂R00ψ (x, k) +R (x, y, k)(y) −(x, y, k)ϕ(y) dy = 0,∂νy∂νy0(4.81)∂Dãäå x ∈ D.
Îïðåäåëèìψ(x) =−dϕ (x), x ∈ R \ D,ϕ(x),x ∈ ∂D, +ϕ (x), x ∈ D.(4.82)Èç ôîðìóë (4.76), (4.77) è (4.81) ñëåäóåò, ÷òî ψ óäîâëåòâîðÿåò (4.53) â Rd .Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (4.18), (4.21), (4.23) è (4.53), ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ψ ∈1C (Rd , Mn (C)).Èç ôîðìóë (4.22) è (4.23) ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèè r0 (x, y, k), ∂xj r0 (x, y, k),j = 1, . . . , d, ðàâíîìåðíî îãðàíè÷åíû ïðè y ∈ D, x 6∈ D, dist(x, ∂D) > 1.Îòñþäà, ñ ó÷¼òîì ïðåäñòàâëåíèÿ ψ 0 (x, k) = eikx µ0 (x, k), µ0 ∈ W 1,∞ (Rd , Mn (C)),è ôîðìóëû (4.53), ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ψ(x, k) = eikx µ(x, k), ãäå µ ïðèíàäëåæèò119W 1,∞ (Rd , Mn (C)).Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîêàçàëè, ÷òî åñëè óðàâíåíèå (4.27) èìååò ðåøåíèå ϕêëàññà C 1,β (∂D, Mn (C)), òî óðàâíåíèå (4.53) èìååò ðåøåíèå âèäà ψ(x, k) =eikx µ(x, k), ãäå µ ∈ W 1,∞ (Rd , Mn (C)) è ψ|∂D = ϕ.
Êðîìå òîãî, èç ñâîéñòâàψ|∂D = ϕ ñëåäóåò, ÷òî ðàçíûì ðåøåíèÿì (4.27) ñîîòâåòñòâóþò ðàçíûå ðåøåíèÿóðàâíåíèÿ (4.53).Øàã 2. Îãðàíè÷åíèå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (4.53) äî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (4.27).Ïóñòü ψ(x, k) = eikx µ(x, k), µ ∈ W 1,∞ (Rd , Mn (C)), ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (4.53). Èç âëîæåíèÿ W 1,∞ (Rd , Mn (C)) ⊂ C(Rd , Mn (C)) ñëåäóåò, ÷òî ϕ =ψ|∂D íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ íà ∂D.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
