Диссертация (1103157), страница 23
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Ïðåäïîëîæèì, ÷òî A1 , A2 , V ∈ C 2,σ (R2 ) ïðè êîòîðîìdiv,0σ > 2. Ïóñòü f lin îïðåäåëåíî ïî ôîðìóëå (5.31) è ïóñòü ôóíêöèè Adiv,0, Vappr,appr,j±,0±,0linAappr,j , Vappr , j = 1, 2, îïðåäåëåíû ñ èñïîëüçîâàíèåì ôóíêöèè f ïî ôîðìóëàì(5.45), (5.46a), (5.46b), (5.48), (5.49a), (5.49b). Òàêæå ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíê±±divdivöèè Aappr,j, Vappr, Aappr,j, Vappr, j = 1, 2, îïðåäåëåíû ñ èñïîëüçîâàíèåì ôóíêöèèf = f lin ïî ôîðìóëàì (5.53a)(5.55b). Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:134divAdiv,0(x, E) = Aappr,j(x, E),appr,jdiv,0divVappr(x, E) = Vappr(x, E),±A±,0(x, E) = Aappr,j(x, E),appr,j±,0±Vappr(x, E) = Vappr(x, E),(5.56a)(5.56b)ãäå x ∈ R2 , j = 1, 2, E > 0.Ïðåäëîæåíèÿ 5.2 è 5.3 äîêàçûâàþòñÿ â 5.5.5.3Âûâîä íåëèíåàðèçîâàííîãî àëãîðèòìàÂñïîìîãàòåëüíûå óòâåðæäåíèÿÄëÿ âûâîäà àëãîðèòìà èç 5.1 íàì ïîíàäîáÿòñÿ ôóíêöèè ψ è h èç ôîðìóë (3.15),(3.17), à òàêæå ôóíêöèè G è g èç ôîðìóëû (3.16).Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèè ψ(·, k) ÿâëÿþòñÿ ¾ðàñòóùèìè ðåøåíèÿìè¿ óðàâíåíèÿ(3.9) â òåðìèíàõ ðàáîòû [107], ïàðàìåòðèçîâàííûìè âåêòîðàìè k ∈ ΣE \ R2 , ãäåΣE îïðåäåëåíî â ôîðìóëå (5.11).
Êðîìå òîãî, ôóíêöèÿ G íàçûâàåòñÿ â ëèòåðàòóðå ôóíêöèåé ÃðèíàÔàääååâà äëÿ îïåðàòîðà ∆ + k 2 . Âïåðâûå ýòà ôóíêöèÿáûëà îïðåäåëåíà â ðàáîòå [107].Óðàâíåíèå (3.15) äëÿ ψ è ôîðìóëà (3.17) äëÿ h ÿâëÿþòñÿ îáîáùåíèÿìè íàñëó÷àé êîìïëåêñíîãî k óðàâíåíèÿ (3.12) äëÿ ψ + è ôîðìóëû (3.14) äëÿ f .Çàìåòèì, ÷òîk, l ∈ ΣE \ R2 , Im k = Im l =⇒ l = k èëè l = −k.(5.57)Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ h èç ôîðìóëû (3.17) ìîæåò áûòü çàäàíà ïîñðåäñòâîìäâóõ ôóíêöèéa(k) = h(k, k),b(k) = h(k, −k),k ∈ ΣE \ R2 .(5.58)Òàêæå çàìåòèì, ÷òî ïðè êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ (5.2a), (5.2b) ôóíêöèèa è b íå èçìåíÿþòñÿ, à ôóíêöèè ψ è µ = e−ikx ψ ïðåîáðàçóþòñÿ ïî ïðàâèëóψ → e−iϕ ψ,µ → e−iϕ µ.(5.59)135Ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèÿ (5.9) è (5.10).  ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèìè îáîçíà÷åíèÿìè, ôóíêöèè ψ + è f ìîãóò áûòü çàïèñàíû â âèäå (5.14), à êîýôôèöèåíòû A1 , A2 , V óðàâíåíèÿ (3.9) è ôóíêöèè ψ , µ = e−ikx ψ , b èç ôîðìóë (3.15) è(5.58) â âèäåA1 = A1 (z),A2 = A2 (z),V = V (z),ψ = ψ(z, λ, E), µ = µ(z, λ, E), b = b(λ, E), λ ∈ C \ (T ∪ 0),(5.60)ãäå z ∈ C, E > 0.Ìû ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà, êîòîðûìè îáëàäàåò ôóíêöèÿ ψ (èëè µ = e−ikx ψ )ïðè ôèêñèðîâàííûõ z ∈ C è E > 0 (ñì.
[57, ñ. 448]), êîòîðûå ïîíàäîáÿòñÿ íàìâ äàëüíåéøåì. Ôóíêöèÿ µ óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó ∂¯-óðàâíåíèþ:∂1 µ(z, λ, E) = r(λ, z, E)µ z, − , E ,∂λλ √Ezz×r(λ, z, E) = exp −iλz + + λz +2λλπ× sgn λλ − 1 b(λ, E).λ(5.61)ãäå λ ∈ C \ (T ∪ 0). Ôóíêöèÿ µ èìååò ïðåäåëû ïðè λ → ∞ è λ → 0:µ(z, λ, E) = µ−0 (z) + o(1),λ → ∞,µ(z, λ, E) = µ+0 (z) + o(1),λ → 0,(5.62)ãäå ôóíêöèè µ±0 (z) ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè ñëåäóþùèõ çàäà÷: ± ∂ ±i ∂µ±(z)=−iA(z)±iA(z)µ0 (z),120∂x1∂x2 ±µ0 (z) → 1, z → ∞.z ∈ C,(5.63a)(5.63b)Îáîçíà÷èì ÷åðåç ψ± è µ± ñêà÷êè ôóíêöèé ψ è µ íà åäèíè÷íîé îêðóæíîñòè:ψ± (z, λ, E) = ψ(z, λ(1 ∓ 0), E),µ± (z, λ, E) = µ(z, λ(1 ∓ 0), E),(5.64)136ãäå λ ∈ T . Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ ôîðìóëà:ψ± (z, λ, E) = ψ + (z, λ, E) + πiZλ00λh± (λ, λ00 , E)χ ±i 00 −λλ×T(5.65)×ψ + (z, λ00 , E) |dλ00 |ãäå λ ∈ T , ψ + ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (3.9), îïðåäåëÿåìîå àñèìïòîòèêîé (3.10),ôóíêöèè h± îïðåäåëÿþòñÿ êàê ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (5.16), à χ çàäà¼òñÿ ôîðìóëîé (5.17).Áîëåå òî÷íî, ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
Ïóñòü E îïðåäåëåíî âôîðìóëå (4.3), E+ è E− â ôîðìóëå (4.4) ïðè γ = 1 è γ = −1 ñîîòâåòñòâåííî,è ïóñòü k1 , k2 îïðåäåëÿþòñÿ â ñîîòâåñòâèè ñ ôîðìóëîé (5.12a).1. Ïóñòü k = k1 (λ, E), k2 (λ, E) 6∈ E ïðè ôèêñèðîâàííîì λ ∈ C \ (T ∪ 0).Òîãäà ñïðàâåäëèâî (5.61).2. Ïóñòü k = k1 (λ(1 ∓ 0), E), k2 (λ(1 ∓ 0), E)λ ∈ T .
Òîãäà ñïðàâåäëèâî (5.65).6∈ E∓ ïðè ôèêñèðîâàííîì ÷àñòíîñòè, ýòè óñëîâèÿ âûïîëíåíû, åñëè êîýôôèöèåíòû A1 , A2 è V óðàâíåíèÿ(3.9) ìàëû ïðè ôèêñèðîâàííîì E .Âîññòàíîâëåíèå A è V ïî f è bÈñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèÿ (5.5a)(5.5b), (5.6a)(5.6b) è (5.8b) ôóíêöèé ϕ− , ϕ+ èA± , V ± , ó÷èòûâàÿ èíâàðèàíòíîñòü ôóíêöèé f è b ïî îòíîøåíèþ ê êàëèáðîâî÷íûì ïðîáðàçîâàíèÿì (5.2a), (5.2b), à òàêæå ôîðìóëû (5.3) è (5.59), ìîæíîâèäåòü, ÷òîÏðè ïåðåõîäå îò êîýôôèöèåíòîâ A, V ê A+ , V + (ñîîòâ. A− , V − )−â óðàâíåíèè (3.9) ôóíêöèÿ µ+0 (ñîîòâ. µ0 ) èç ôîðìóëû (5.62)(5.66)îáðàùàåòñÿ â òîæäåñòâåííóþ åäèíèöó.Èç ñâîéñòâ (5.61)(5.66) ôóíêöèé µ è ψ âûòåêàåò ñëåäóþùèé ïîäõîä ê ðåøåíèþîáðàòíîé çàäà÷è ðàññåÿíèÿ 3.2 ïî ôóíêöèÿì f è b.
Ïóñòü îïåðàòîðû ∂z è ∂z̄îïðåäåëåíû ïî ôîðìóëå (5.7).Øàã 1. Íàéòè ôóíêöèè µ è ψ , óäîâëåòâîðÿþùèå (5.61)(5.62) è (5.64)(5.65) ñçàðàíåå íåèçâåñòíîé ôóíêöèåé ψ + â óðàâíåíèè (5.65), ñ÷èòàÿ, ÷òî µ−0 ≡1è µ(z, ·, E) ∈ C(C \ T ).137Øàã 2. Íàéòè A− è V − ïî ôîðìóëàì−A−1 (z) − iA2 (z) = 0,−+A−1 (z) + iA2 (z) = 2i∂z̄ ln µ0 (z),V − (z)ψ(z, λ, E) = 4∂z ∂z̄ +−+2i A−(z)+iA(z)∂+Eψ(z, λ, E),z12(5.67a)(5.67b)ãäå z ∈ C, λ ∈ C \ (T ∪ 0).Ýêâèâàëåíòíûì ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùèé àëãîðèòì.Øàã 1'.
Íàéòè ôóíêöèè µ è ψ , óäîâëåòâîðÿþùèå (5.61)(5.62) è (5.64)(5.65) ñçàðàíåå íåèçâåñòíîé ôóíêöèåé ψ + â óðàâíåíèè (5.65), ñ÷èòàÿ, ÷òî µ+0 ≡ 1è µ(z, ·, E) ∈ C(C ∪ ∞ \ T ).Øàã 2'. Íàéòè A+ è V + ïî ôîðìóëàì+−A+1 (z) − iA2 (z) = 2i∂z ln µ0 (z),+A+1 (z) + iA2 (z) = 0,V + (z)ψ(z, λ, E) = 4∂z ∂z̄ +++2i A+(z)−iA(z)∂+Eψ(z, λ, E),z̄12(5.68a)(5.68b)ãäå z ∈ C, λ ∈ C \ (T ∪ 0).Çàìåòèì, ÷òî ôîðìóëà (5.67a) ñëåäóåò èç ôîðìóë (5.63a), (5.63b) ïðè µ−0 ≡ 1,à ôîðìóëà (5.68a) ñëåäóåò èç ôîðìóë (5.63a), (5.63b) ïðè µ+0 ≡ 1.
Ôîðìóëà(5.67b) (ñîîòâ. (5.68b)) ñëåäóåò èç óðàâíåíèÿ (3.9), çàïèñàííîãî äëÿ ôóíêöèè ψ ,ñîîòâåòñòâóþùåé êîýôôèöèåíòàì A− , V − (ñîîòâ. A+ , V + ). Òàêæå çàìåòèì, ÷òî−00ôóíêöèè ψ , µ, µ+0 , îïðåäåë¼ííûå íà øàãàõ 1 è 2, è ôóíêöèè ψ = ψ , µ = µ , µ0 ,îïðåäåë¼ííûå íà øàãàõ 1', 2', ñâÿçàíû ôîðìóëàìè−1ψ 0 (z, λ, E) = µ+(z)ψ(z, λ, E),0−1−1+µ0 (z, λ, E) = µ+µ(z, λ, E), µ−,0 (z) = µ0 (z)0 (z)(5.69)ãäå z ∈ C, λ ∈ C \ (T ∪ 0).Âîññòàíîâèâ ôóíêöèè A− , V − èëè A+ , V + , ìû ìîæåì ïåðåéòè ê äðóãèìêàëèáðîâêàì ïîñðåäñòâîì ôîðìóë (5.2a), (5.2b).
 ÷àñòíîñòè, ìû ìîæåì íàéòèôóíêöèè Adiv è V div èç ôîðìóëû (5.8a).Çàìåòèì, ÷òî ðàçëè÷íûå èäåè èç óêàçàííîãî ïîäõîäà ê îáðàòíîé çàäà÷å ðàññåÿíèÿ âîñõîäÿò ê ðàáîòàì [53, 1, 29, 94, 93, 57, 99].  ÷àñòíîñòè, íàõîæäåíèå138ôóíêöèé ψ è µ íà âûøåóêàçàííûõ øàãàõ 1 èëè 1' â ñëó÷àå b = 0 ïðè ôèêñèðîâàííîì E ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ íåëîêàëüíîé çàäà÷è ÐèìàíàÃèëüáåðòà äëÿãîëîìîðôíûõ ôóíêöèé. Èçó÷åíèå òàêèõ íåëîêàëüíûõ çàäà÷ ÐèìàíàÃèëüáåðòàâîñõîäèò ê ðàáîòàì [53, 29]; ñì. òàêæå [81, 29, 94, 93, 57, 99].Âîññòàíîâëåíèå A è V ïî ôóíêöèè f ïðè b = 0 ñëó÷àå ìàëîñòè êîýôôèöèåíòîâ A è V óðàâíåíèÿ (3.9) ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ôîðìóëû áîðíîâñêîãî ïðèáëèæåíèÿ ïðè ôèêñèðîâàííîì E > 0:b − l) + Vb (k − l),f (k, l) ≈ f lin (k, l) = 2k A(kb Re k) + Vb (2 Re k),b(k) ≈ blin (k) = 2k A(2(k, l) ∈ ME ,(5.70a)k ∈ ΣE \ R2 ,(5.70b)b è Vb îïðåäåëåíû â ôîðìóëå (5.36).
Ôîðìóëà (5.70a) ýêâèâàëåíòíà ôîðãäå Aìóëàì (5.30), (5.31), à ôîðìóëà (5.70b) ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèé (3.15), (3.17) è(5.58). Çàìåòèì, ÷òîk ∈ ΣE \ R2 =⇒ 2 Re k ∈ R2 \ B2√E ,E > 0,(5.71)ãäå Br îïðåäåëÿåòñÿ â ôîðìóëå (5.38).Èç ôîðìóë (5.37), (5.70a), (5.70b) è (5.71) âèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ f lin ïðè ôèêb è Vb â øàðå B √ , à ôóíêöèÿ blinñèðîâàííîì E îïðåäåëÿåòñÿ ïî çíà÷åíèÿì A2 Ebb ïî çíà÷åíèÿì A è V â äîïîëíåíèè ê ýòîìó øàðó. Êðîìå òîãî, êàê âèäíî èç±,0±,0div,0ôîðìóë (5.45)(5.46b) è (5.48)(5.49b), ôóíêöèè Aappr, Vapprè Adiv,0appr , Vappr îïðåäåëÿþòñÿ çíà÷åíèÿìè ôóíêöèè f lin è íå çàâèñÿò îò çíà÷åíèé ôóíêöèè blin ïðèôèêñèðîâàííîì E .divdiv±Ôóíêöèè A±appr , Vappr è Aappr , Vappr èç àëãîðèòìà â 5.1 ìîãóò ðàññìàòðèâàòü±,0±,0div,0ñÿ êàê íåëèíåàðèçîâàííûå àíàëîãè ôóíêöèé Aappr, Vapprè Adiv,0appr , Vappr .
Ôóíêöèè±divdivA±appr , Vappr è Aappr , Vappr ïîëó÷àþòñÿ â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ àëãîðèòìîâ âîññòàíîâëåíèÿ A è V ïî f è b, ïðèâåä¼ííûõ âûøå â 5.3, â ñëó÷àå, êîãäà íà øàãå1 (ñîîòâ. íà øàãå 1') ïîëàãàåòñÿ b = 0. Ïðè ýòîì øàã 1 è øàã 1' ýòèõ àëãîðèòìîââîññòàíîâëåíèÿ ïðèíèìàþò ñëåäóþùèé âèä.√Øàã 1. Íàéòè ôóíêöèþ ψ = exp (i/2) E(λz + z/λ) µ(z, λ, E), z ∈ C, λ ∈ C \(T ∪ 0), óäîâëåòâîðÿþùóþ (5.64), (5.65) ñ çàðàíåå íåèçâåñòíîé ôóíêöèåé139ψ + , è òàêóþ, ÷òî∂µ(z, λ, E) = 0, λ ∈ C \ (T ∪ 0),∂λµ(z, λ, E) → 1, λ → ∞,(5.72)µ(z, ·, E) ∈ C(C \ T ).√Øàã 1'.
Íàéòè ôóíêöèþ ψ = exp (i/2) E(λz + z/λ) µ(z, λ, E), z ∈ C, λ ∈ C \(T ∪ 0), óäîâëåòâîðÿþùóþ (5.64), (5.65) ñ çàðàíåå íåèçâåñòíîé ôóíêöèåéψ + , è òàêóþ, ÷òî∂µ(z, λ, E) = 0, λ ∈ C \ (T ∪ 0),∂λµ(z, λ, E) → 1, λ → 0,(5.73)µ(z, ·, E) ∈ C(C ∪ ∞ \ T ).Íàïîìíèì, ÷òî ôóíêöèè h± èç ôîðìóëû (5.65) ñâÿçàíû ñ ôóíêöèåé f ïîñðåäñòâîì èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (5.16).
Òàêæå ïîä÷åðêí¼ì, ÷òî â òðåáîâàíèè(5.64) ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî ôóíêöèÿ µ(z, ·, E) äîïóñêàåò ïðîäîëæåíèå ïî íåïðåðûâíîñòè íà îêðóæíîñòü T ñ êàæäîé ñòîðîíû. ñèëó ðàññìîòðåíèé èç ðàáîòû [99, Ðàçäåë 2], íàõîæäåíèå ôóíêöèè µ íàøàãå 1 ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äåéñòâèé:(a) Ðåøèòü óðàâíåíèå (5.18) îòíîñèòåëüíî µ+ (z, ·, E) íà T .(b) Íàéòè ôóíêöèþ µ± (z, ·, E) íà T ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (5.21) (òî åñòü ñïîìîùüþ ôîðìóëû (5.65), ïåðåïèñàííîé â òåðìèíàõ µ± è µ+ ).(c) Íàéòè ôóíêöèþ µ(z, ·, E) â C \ T ñ ïîìîùüþ ôîðìóë òèïà Êîøè:Zµ+ (z, ζ, E)dζ, |λ| < 1,ζ −λTZ1µ− (z, ζ, E)µ(z, λ, E) = 1 −dζ, |λ| > 1,2πiζ −λ1µ(z, λ, E) =2πiTz ∈ C, λ ∈ C \ T .(5.74)140Çàìåòèì, ÷òî èç ôîðìóëû (5.74) ñëåäóþò ïðåäñòàâëåíèÿ−1µ(z, λ, E) = 1 + µ−+ O(λ−2 ),1 (z)λ+2µ(z, λ, E) = µ+0 (z) + µ1 (z)λ + O(λ ),λ → ∞,λ → 0,(5.75)±ãäå z ∈ C, à µ+0 è µ1 çàäàþòñÿ ôîðìóëàìèµ+0 (z)1=2πiµ+1 (z) =µ−1 (z) =12πi12πiZTZµ+ (z, ζ, E)dζζµ+ (z, ζ, E)dζ,ζ2(5.76)TZµ− (z, ζ, E) dζ.TÒåïåðü çàìåòèì, ÷òî â ñèëó ôîðìóë (5.69) è (5.76), íàõîæäåíèå ôóíêöèé ψ = ψ 0è µ = µ0 èç øàãà 1' ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ ôóíêöèé ψ è µ èç øàãà 1.Ñäåëàåì îäíî çàìå÷àíèå, êàñàþùåãîñÿ çàäà÷è ÐèìàíàÃèëüáåðòà, ñôîðìóëèðîâàííîé íà øàãàõ 1 è 1' âûøå.
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