Диссертация (1103157), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Òåì æå ñïîñîáîì, êàêèì áûëà äîêàçàíà ëåììà 4.1, ìîæíî(Rd , Mn (C)) è V 0 óäîâëåòâîðÿåò ëèáî (4.16),ïîêàçàòü, ÷òî åñëè V 0 ∈ L∞compëèáî (4.17), òî ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ôîðìóëû:V 0 (x)ψγ0 (x, k) = ψγ0 (x, k)V 0 (x),(4.45)V 0 (x)Rγ0 (x, y, k) = Rγ0 (x, y, k)V 0 (x),(4.46)0Rγ0 (x, y, k) = R−γ(y, x, −k),(4.47)ãäå γ ∈ S d−1 , x, y ∈ Rd , x 6= y , k ∈ Rd \ (0 ∪ EV 0 ,γ );V 0 (x)ψ +,0 (x, k) = ψ +,0 (x, k)V 0 (x),(4.48)V 0 (x)R+,0 (x, y, k) = R+,0 (x, y, k)V 0 (x),(4.49)R+,0 (x, y, k) = R+,0 (y, x, −k),(4.50)ãäå x, y ∈ Rd , x 6= y , k ∈ Rd \ (0 ∪ EV+0 ).Ëåììà 4.2.
Ïóñòü V 0 ∈ L∞ (Rd , Mn (C)). Òîãäà:comp(A) Åñëè k, l ∈ Cd \ Rd , k 2 = l2 , Im k = Im l, k 6∈ EV 0 , òî l 6∈ EV 0 è ñïðàâåäëèâîñîîòíîøåíèåR0 (x, y, k) = R0 (x, y, l),(4.51)106ãäå x, y ∈ Rd , x 6= y .(B) Åñëè k , l ∈ Rd \0, k 2 = l2 , k 6∈ EV+0 , òî l 6∈ EV+0 è ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèåR+,0 (x, y, k) = R+,0 (x, y, l),(4.52)ãäå x, y ∈ Rd , x 6= y .Äîêàçàòåëüñòâî. Óòâåðæäåíèå (A) ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ (4.18) è èç ñëåäóþùåé ôîðìóëû èç ðàáîòû [101]:G(x, k) = G(x, l),x ∈ Rd \ 0, k, l ∈ Cd \ Rd , k 2 = l2 , Im k = Im l.Óòâåæäåíèå (B) ñëåäóåò èç ôîðìóë (4.18), (4.20) è èç òîæäåñòâàG+ (x, k) = G+ (x, l),x ∈ Rd \ 0, k, l ∈ Rd \ 0, k 2 = l2 ,êîòîðîå âûòåêàåò èç ñëåäóþùèõ ÿâíûõ ôîðìóë:i (1)G+ (x, k) = − H0 (|k||x|), d = 2,4ei|k||x|+G (x, k) = −, d = 3,4π|x|(1)ãäå H0 ôóíêöèÿ Õàíêåëÿ ïåðâîãî ðîäà.Ó÷¼ò ôîíîâûõ êîýôôèöèåíòîâ â óðàâíåíèÿõ è ôîðìóëàõÌû ñîáèðàåìñÿ ïåðåôîðìóëèðîâàòü óðàâíåíèÿ (3.12), (3.15) è ôîðìóëû (3.14),(3.17) â òåðìèíàõ ôîíîâûõ êîýôôèöèåíòîâ.Âû÷èòàÿ óðàâíåíèå (3.15), çàïèñàííîå äëÿ ôóíêöèè ψ , èç óðàâíåíèÿ (3.15),çàïèñàííîãî äëÿ ôóíêöèè ψ 0 , ìû ïîëó÷àåì ôîðìóëó0Zψ(x, k) − ψ (x, k) −G(x − y, k)V 0 (y)(ψ(y, k) − ψ 0 (y, k)) dyDZ=DdX∂Aj (y)+ V (y) − V 0 (y) ψ(y, k) dy,G(x − y, k) −2i∂yjj=1ãäå x ∈ Rd , k ∈ Cd \ (Rd ∪ E ∪ EV 0 ).
Ñðàâíèâàÿ ýòó ôîðìóëó ñ óðàâíåíèåì (4.18),107ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå:Z0ψ(x, k) = ψ (x, k) +R0 (x, y, k)×DdX∂× −2iAj (y)+ V (y) − V 0 (y) ψ(y, k) dy,∂yjj=1(4.53)ãäå x ∈ Rd , k ∈ Cd \ (Rd ∪ E ∪ EV 0 ).Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ:ψγ (x, k) =ψγ0 (x, k)Z+Rγ0 (x, y, k)×DdX∂Aj (y)× −2i+ V (y) − V 0 (y) ψγ (y, k) dy,∂yjj=1(4.54)ãäå γ ∈ S d−1 , x ∈ Rd , k ∈ Rd \ (0 ∪ Eγ ∪ EV 0 ,γ );ψ + (x, k) = ψ +,0 (x, k) +ZR+,0 (x, y, k)×DdX∂+ V (y) − V 0 (y) ψ + (y, k) dy,× −2iAj (y)∂yjj=1(4.55)ãäå x ∈ Rd , k ∈ Rd \ (0 ∪ E + ∪ EV+0 ).Èç ôîðìóëû (4.53) ñ A1 = 0, . . . , Ad = 0, V = 0 è èç ôîðìóë (4.40), (4.41),(4.51) ñëåäóåò ñîîòíîøåíèåe−ilx Idn = ψ 0 (x, −l) −Ze−ily V 0 (y)R0 (y, x, k) dy,Dãäå x ∈ Rd , k , l ∈ Cd \ Rd , k 2 = l2 , Im k = Im l, k 6∈ EV 0 .(4.56)108Êðîìå òîãî, ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ öåïî÷êà ðàâåíñòâ:(3.17)dZe−ilx V 0 (x)ψ(x, k) dx(2π) h(k, l) ==DdX∂−ilx0+e−2iAj (x)+ V (x) − V (x) ψ(x, k) dx∂xjDj=1ZZ(4.56)−ilx 0==e V (x)ψ(x, k) dx +ψ 0 (x, −l)×ZDDdX∂+ V (x) − V 0 (x) ψ(x, k) dx× −2iAj (x)∂xjj=1ZZ−e−ily V 0 (y)R0 (y, x, k)×DDdX∂Aj (x)× −2i+ V (x) − V 0 (x) ψ(x, k) dx dy,∂xjj=1ãäå k , l ∈ Cd \ Rd , k 2 = l2 , Im k = Im l, k 6∈ E ∪ EV 0 .Èç ýòîé öåïî÷êè ðàâåíñòâ è èç ôîðìóëû (4.53) ñëåäóåò ôîðìóëà0−dZh(k, l) = h (k, l) + (2π)ψ 0 (x, −l)×DdX∂× −2iAj (x)+ V (x) − V 0 (x) ψ(x, k) dx,∂xjj=1(4.57)ãäå k , l ∈ Cd \ Rd , k 2 = l2 , Im k = Im l, k 6∈ E ∪ EV 0 .Òåì æå ñïîñîáîì, êàêèì áûëà äîêàçàíà ôîðìóëà (4.57), íî ñ èñïîëüçîâàíèåìôîðìóë (4.49), (4.50), (4.52), (4.55) âìåñòî ôîðìóë (4.40), (4.41), (4.51), (4.53),ìû ïîëó÷àåì ôîðìóëóf (k, l) = f 0 (k, l) + (2π)−dZψ +,0 (x, −l)×DdX∂× −2iAj (x)+ V (x) − V 0 (x) ψ + (x, k) dx,∂xjj=1ãäå k , l ∈ Rd \ 0, k 2 = l2 , k 6∈ E + ∪ EV+0 .(4.58)109Îêîí÷àíèå äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 4.3Èç ôîðìóë (4.39) è (4.48) ñëåäóåò, ÷òî ìû ìîæåì âîñïîëüçîâàòüñÿ òîæäåñòâîì(4.35) â ôîðìóëàõ (4.57) è (4.58).
Ïðèìåíåíÿÿ òîæäåñòâî (4.35) ê èíòåãðàëàì âôîðìóëàõ (4.57) è (4.58), ìû ïîëó÷àåì ôîðìóëû (4.26) è (4.32), ñîîòâåòñòâåííî.Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ G(x, k) óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó óðàâíåíèþ ïðèôèêñèðîâàííîì k ∈ Cd \ Rd (ñì., íàïðèìåð, [107]):∆x G(x, k) + k 2 G(x, k) = δ(x).(4.59)Èç ôîðìóë (4.18), (4.21), (4.24), (4.59) ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ R0 (x, y, k) ïðèôèêñèðîâàííîì k ∈ Cd \ (Rd ∪ EV 0 ) óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì óðàâíåíèÿì:(∆x − V 0 (x) + k 2 )R(x, y, k) = δy (x)Idn ,ïðè ôèêñ.
y ∈ Rd ,(∆y − V 0 (y) + k 2 )R(x, y, k) = δx (y)Idn ,ïðè ôèêñ. x ∈ Rd .(4.60)Ïóñòü x 6∈ D. Ïðèìåíèì òîæäåñòâî (4.35) ê èíòåãðàëó â ôîðìóëå (4.53), ó÷èòûâàÿ ôîðìóëû (4.40), (4.60), è óñòðåìèì x ê òî÷êå íà ∂D. Ìû ïîëó÷èì ôîðìóëó(4.27). Ôîðìóëû (4.30) è (4.33) ïîëó÷àþòñÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì, ñ èñïîëüçîâàíèåì óðàâíåíèé (4.54) è (4.55) âìåñòî óðàâíåíèÿ (4.53).Ìû äîêàæåì ôîðìóëó (4.29), èñïîëüçóÿ èäåè èç ðàáîòû [59]. Çàìåòèì, ÷òîôîðìóëà (4.25) ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíà â âèäåilxe Idn −ψeγ0 (x, k, l)Z−Gγ (x − y, k)V 0 (y) eily − ψeγ0 (y, k, l) dyZ D=−G(x − y, k)V 0 (y)eily dy.(4.61)DÈç ôîðìóë (4.12), (4.18) è (4.19) ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ Rγ0 (·, y, k) êîððåêòíîîïðåäåëåíà ïðè ôèêñèðîâàííûõ y ∈ Rd , k ∈ Rd \ (0 ∪ EV 0 ,γ ) è óäîâëåòâîðÿåòóðàâíåíèþRγ0 (x, y, k)Z= Gγ (x − y, k) +Gγ (x − z, k)V 0 (z)Rγ0 (z, y, k) dz,Rdãäå x, y ∈ Rd , γ ∈ S d−1 , k ∈ Rd \ (0 ∪ EV 0 ,γ ).(4.62)110Ñðàâíèâàÿ ôîðìóëû (4.61) è (4.62), ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ôîðìóëó:eilx Idn = ψeγ0 (x, k, l) −ZRγ0 (x, y, k)V 0 (y)eily dy,(4.63)Dãäå x ∈ Rd , k ∈ Rd \ (0 ∪ EV 0 ,γ ), l ∈ Rd , k 2 = l2 , γ ∈ S d−1 .Çàìåíÿÿ k , l, γ íà −k , −l, −γ â ôîðìóëå (4.63) è èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (4.46)è (4.47), ìû ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî−ilxeIdn =0ψe−γ(x, −k, −l)Z−e−ily V 0 (y)Rγ0 (y, x, k) dy,(4.64)Dãäå x ∈ Rd , k , l ∈ Rd \ 0, k 2 = l2 , k 6∈ EV 0 ,γ , γ ∈ S d−1 .Äîêàçàòåëüñòâî ôîðìóëû (4.29) ïîâòîðÿåò äîêàçàòåëüñòâî ôîðìóëû (4.26),åñëè âìåñòî ôîðìóëû (4.56) èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (4.64).
Òåîðåìà 4.3 äîêàçàíà.4.4Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4.4Âñïîìîãàòåëüíûå ðåçóëüòàòûÏóñòü f çàäàííàÿ ôóíêöèÿ íà ∂D. Ìû ðàññìàòðèâàåì ñëåäóþùóþ çàäà÷óÄèðèõëå:d L ψ ≡ −∆ψ − 2i P A (x) ∂ψ + V (x)ψ = Eψ,A,Vj∂xjj=1 ψ| = f.∂Dx ∈ D,(4.65)Ìû äîêàæåì ñëåäóþùóþ ëåììó.Ëåììà 4.3. Ïóñòü A1 , . . . , Ad , V ∈ C 0,α (D, Mn (C)) ïðè íåêîòîðîì α ∈comp(0, 1]. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî E íå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì Äèðèõëåäëÿ îïåðàòîðîâ LA,V è −∆ â îáëàñòè D. Òîãäà:1.
Äëÿ ëþáîãî f ∈ C 1,β (∂D, Mn (C)), 0 < β < 1, ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîåðåøåíèå ψ êëàññà C 2 (D, Mn (C)) ∩ C 1 (D, Mn (C)) çàäà÷è (4.65).2. ψ ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì êëàññà C 1 (D, Mn (C)) óðàâíåíèÿψ(x) = ψ 0 (x) +ZDdX∂Γ(x, y, E) −2iAj (y)+ V (y) ψ(y) dy,∂yjj=1(4.66)111ãäå Γ(x, y, E) ôóíêöèÿ Ãðèíà çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ îïåðàòîðà ∆+E â îáëàñòè D, à ψ 0 åäèíñòâåííîå ðåøåíèå êëàññà C 2 (D, Mn (C))∩C 1 (D, Mn (C))çàäà÷è Äèðèõëå(∆ψ 0 + Eψ 0 = 0 â îáëàñòè D,ψ 0 |∂D = f.(4.67)3. Ëèíåéíûé îïåðàòîð S : C 1,β (∂D, Mn (C)) → C 1 (D, Mn (C)), S(f ) = ψ , ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíûì.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 4.3 íàì ïîòðåáóþòñÿ äâà âñïîìîãàòåëüíûõ óòâåðæäåíèÿ.Ëåììà 4.4.
Ïóñòü A1 , . . . , Ad , V ∈ C 0,α (D, Mn (C)) ïðè íåêîòîðîì α ∈ (0, 1].compÏðåäïîëîæèì, ÷òî E íå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì çàäà÷è Äèðèõëåäëÿ îïåðàòîðà LA,V â îáëàñòè D. Òîãäà:1. Äëÿ ëþáîãî ψ 0 ∈ C 2 (D, Mn (C)) ∩ C 1 (D, Mn (C)), óäîâëåòâîðÿþùåãî óðàâíåíèþ (∆ + E)ψ 0 = 0 â îáëàñòè D, ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèåψ êëàññà C 1 (D, Mn (C)) óðàâíåíèÿ (4.66).2. ψ ïðèíàäëåæèò C 2 (D, Mn (C)) è óäîâëåòâîðÿåò (4.65) ñ f = ψ 0 |∂D .3.
Ñóùåñòâóåò êîíñòàíòà C > 0, íå çàâèñÿùàÿ îò ψ 0 , òàêàÿ ÷òî(4.68)kψkC 1 (D) ≤ Ckψ 0 kC 1 (D) .Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 4.4. Øàã 1. Ñâåäåíèå ê ñèñòåìå èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé. Ââåä¼ì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:ψ0 (x) = ψ(x),ψ00 (x) = ψ 0 (x),a0 (x) = V (x),Γ0 (x, y, E) = Γ(x, y, E),ψj (x) = ∂xj ψ(x),ψj0 (x) = ∂xj ψ 0 (x),aj (x) = −2iAj (x),Γj (x, y, E) = ∂xj Γ(x, y, E),ãäå ∂xj = ∂/∂xj .
Äèôôåðåíöèðóÿ óðàâíåíèå (4.66), ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþñèñòåìó ëèíåéíûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé íà ôóíêöèè ψj ∈ C(D):ψj (x) =ψj0 (x)+d ZXm=0 DΓj (x, y, E)am (y)ψm (y) dy,j = 0, . . . , d.(4.69)112Ñèñòåìà (4.69) ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê óðàâíåíèå Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà â ïðîñòðàíñòâå (C(D, Mn (C)))d+1 .Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèè ψj ∈ C(D, Mn (C)), j = 0, . . .
, d, óäîâëåòâîðÿþòñèñòåìå (4.69). Îáîçíà÷èì ψ = ψ0 . Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (4.69) ñëåäóåò,÷òî ψ ∈ C 1 (D, Mn (C)). Äèôôåðåíöèðóÿ ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (4.69) ïî xj ,ìû ïîëó÷àåì, ÷òî ∂xj ψ = ψj , ãäå j = 1, . . . , d. Ñëåäîâàòåëüíî, ψ óäîâëåòâîðÿåò(4.66).Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèÿ ψ êëàññà C 1 (D, Mn (C)) óðàâíåíèÿ (4.66) íàõîäÿòñÿâî âçàèìíî îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ ðåøåíèÿìè ψj ∈ C(D, Mn (C)), j = 0,. . .
, d, ñèñòåìû (4.69).Øàã 2. Ãëàäêîñòü ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (4.66). Èç ñâîéñòâ ôóíäàìåíòàëüíîãîðåøåíèÿ Γ ñëåäóåò, ÷òî âñÿêîå ðåøåíèå ψ ∈ C 1 (D, Mn (C)) çàäà÷è (4.66) ïðèíàä1,γëåæèò Cloc (D, Mn (C)) (ïðîñòðàíñòâó íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ Mn (C)çíà÷íûõ ôóíêöèé â îáëàñòè D ñ ëîêàëüíî ã¼ëüäåð-íåïðåðûâíûìè ïðîèçâîäíûìè) äëÿ ëþáîãî 0 < γ < 1.Òåì æå ñïîñîáîì, êàê äîêàçûâàåòñÿ ëåììà [33, Lemma 4.2, ñ. 55], ìîæíîïîêàçàòü, ÷òî ψ ∈ C 2 (D, Mn (C)) è ÷òî ψ óäîâëåòâîðÿåò (4.65) ñ f = ψ 0 |∂D .Øàã 3.
Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü. Êàê áûëî îòìå÷åíî íà øàãå 1äîêàçàòåëüñòâà íàñòîÿùåé ëåììû, ñèñòåìà óðàâíåíèé (4.69) ðàññìàòðèâàåòñÿêàê óðàâíåíèå Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà â ïðîñòðàíñòâå (C(D, Mn (C)))d+1 . Âñèëó àëüòåðíàòèâû Ôðåäãîëüìà äëÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ è â ñèëó äîêàçàííîãî íàøàãàõ 1 è 2, ðàçðåøèìîñòü è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ âûòåêàþò èç òðåáîâàíèÿ, ÷òî E íå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì çàäà÷è Äèðèõëåäëÿ îïåðàòîðà LA,V â îáëàñòè D.Èç äîêàçàííîãî íà øàãå 1 ñëåäóåò, ÷òî åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ñèñòåìû (4.69)ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííîìó ðåøåíèþ ψ êëàññà C 1 (D, Mn (C)) óðàâíåíèÿ (4.66).Èç äîêàçàííîãî íà øàãå 2 ñëåäóåò, ÷òî ψ ∈ C 2 (D, Mn (C)) è ÷òî ψ óäîâëåòâîðÿåò(4.65) ñ f = ψ 0 |∂D .Óòâåðæäåíèå 3 ñëåäóåò èç àëüòåðíàòèâû Ôðåäãîëüìà äëÿ îïåðàòîðà èç ñèñòåìû (4.69), ðàññìàòðèâàåìîãî â ïðîñòðàíñòâå (C(D, Mn (C)))d+1 .Ëåììà 4.5.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî E íå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ îïåðàòîðà −∆ â îáëàñòè D. Òîãäà äëÿ ëþáîãî f ∈ C 1,β (∂D, Mn (C)),0 < β < 1, ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ψ 0 êëàññà C 2 (D, Mn (C)) ∩C 1 (D, Mn (C)) çàäà÷è (4.67). Áîëåå òîãî, ñóùåñòâóåò òàêàÿ êîíñòàíòà Cβ >1130, íå çàâèñÿùàÿ îò f , ÷òîkψ 0 kC 1 (D) ≤ Cβ kf kC 1,β (∂D) .(4.70)Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 4.5. Ðåøåíèå åäèíñòâåííî â ñèëó òðåáîâàíèÿ, ÷òî E íåÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì çàäà÷è Äèðèõëå äëÿ îïåðàòîðà −∆ â îáëàñòèD. ×òîáû äîêàçàòü ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ, ìû ìîæåì ñâåñòè çàäà÷ó (4.65)ê ïîäõîäÿùåìó óðàâíåíèþ Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà, êàê áûëî ñäåëàíî ïðèäîêàçàòåëüñòâå ëåììû 4.4.Ñóùåñòâîâàíèå êîíñòàíòû Cβ > 0 òàêîé, ÷òî âûïîëíåíà îöåíêà (4.70), ñëåäóåò èç ëåìì [21, Lemma 2.16, Lemma 2.23].Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû 4.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
