Диссертация (1103157), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Ïîâòîðÿÿ äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4.3,ìîæíî âèäåòü, ÷òî ϕ óäîâëåòâîðÿåò (4.27). Ïîêàæåì, ÷òî ϕ ∈ C 2 (∂D, Mn (C)).Èç ôîðìóëû (4.53) ñëåäóåò, ÷òî ψ ∈ C 1 (Rd , Mn (C)). Òàê êàê ôóíêöèè A1 ,. . . , Ad , V èìåþò êîìïàêòíûå íîñèòåëè â îáëàñòè D, òî èç ôîðìóë (4.21), (4.23),(4.22) è (4.53) ñëåäóåò, ÷òî ψ ∈ C 2 (Rd \ D, Mn (C)). Ñëåäîâàòåëüíî, ϕ ïðèíàäëåæèò C 2 (∂D, Mn (C)).ßñíî, ÷òî åñëè ψ 0 è ψ 00 äâà ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (4.53) òàêèå, ÷òî ψ 0 |∂D 6=ψ 00 |∂D , òî èì ñîîòâåòñòâóþò ðàçíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (4.27). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè ψ 0 |∂D = ψ 00 |∂D , òî èç îáñóæäåíèÿ â êîíöå øàãà 1 äîêàçàòåëüñòâàíàñòîÿùåé ëåììû ñëåäóåò, ÷òî ψ 0 = ψ 00 .Ìû ïîêàçàëè, ÷òî ðåøåíèÿ ϕ êëàññà C 1,β (∂D, Mn (C)) óðàâíåíèÿ (4.27) íàõîäÿòñÿ âî âçàèìíî îäíîçíà÷íîì ñîîòâåòñòâèè ñ ðåøåíèÿìè ψ óðàâíåíèÿ (4.53)òàêèìè, ÷òî ψ(x, k) = eikx µ(x, k), µ ∈ W 1,∞ (Rd , Mn (C)).
Ëåììà 4.6 äîêàçàíà.12055.1Ðåøåíèå îáðàòíîé çàäà÷è ðàññåÿíèÿÍåëèíåàðèçîâàííûé àëãîðèòìÌû ðàññìàòðèâàåì óðàâíåíèå (3.9) â R2 ïðè ôèêñèðîâàííîì E > 0. Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî êîýôôèöèåíòû A1 , A2 , V ÿâëÿþòñÿ ñêàëÿðíûìè ôóíêöèÿìè, äîñòàòî÷íî áûñòðî óáûâàþùèìè íà áåñêîíå÷íîñòè. Äëÿ óðàâíåíèÿ (3.9) ìû ðàññìàòðèâàåì ðåøåíèÿ ðàññåÿíèÿ ψ + (x, k), ïàðàìåòðèçîâàííûå âåêòîðîì k ∈ R2 ,k 2 = E , êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ àñèìïòîòèêîé (3.10) ñ çàðàíåå íåèçâåñòíîéôóíêöèåé fA,V , ãäå A = (A1 , A2 ). Ôóíêöèÿ fA,V íàçûâàåòñÿ àìïëèòóäîé ðàññåÿíèÿ äëÿ óðàâíåíèÿ (3.9).
Àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ fA,V îïðåäåëåíà íà òîðå ME ,êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ â ôîðìóëå (3.11).  ýòîé ãëàâå ìû ðåøàåì îáðàòíóþ çàäà÷ó ðàññåÿíèÿ 3.2, êîòîðàÿ çàêëþ÷àåòñÿ â íàõîæäåíèè êîýôôèöèåíòîâ A è Vïî àìïëèòóäå ðàññåÿíèÿ fA,V .Ïóñòü ϕ ∈ C 2 (R2 ) èϕ = O(|x|−3/2 ),|x| → ∞.(5.1)Ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå ïðåîáðàçîâàíèå êîýôôèöèåíòîâ A è V :A → Aϕ = A + ∇ϕ,(5.2a)V → V ϕ = V − i∆ϕ + (∇ϕ)2 + 2A∇ϕ,(5.2b)è ïðåîáðàçîâàíèå ôóíêöèé ψ + :ψ + → (ψ + )ϕ = e−iϕ ψ + .(5.3)Èç àñèìïòîòè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ (3.10) äëÿ ôóíêöèè ψ + è èç ôîðìóëû (5.1)ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ (ψ + )ϕ òàêæå îáëàäàåò àñèìïòîòèêîé (3.10). Êðîìå òîãî,ïðÿìîé ïîäñòàíîâêîé ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:LAϕ ,V ϕ (ψ + )ϕ = E(ψ + )ϕ ,LAϕ ,V ϕ = e−iϕ LA,V eiϕ ,ãäå îïåðàòîðû LA,V è LAϕ ,V ϕ îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå (3.1), à e±iϕ îáîçíà÷àþò îïåðàòîðû óìíîæåíèÿ íà ôóíêöèè e±iϕ .
Ñëåäîâàòåëüíî, fAϕ ,V ϕ = fA,Vè çàäà÷à íàõîæäåíèÿ A, V ïî fA,V èìååò íååäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Ìû áóäåìíàçûâàòü ìíîæåñòâî âñåõ ïàð êîýôôèöèåíòîâ (Aϕ , V ϕ ), ãäå ϕ ∈ C 2 (R2 ) è ϕóäîâëåòâîðÿåò (5.1), êàëèáðîâî÷íûì êëàññîì ïàðû êîýôôèöèåíòîâ (A, V ). Äëÿ121îïðåäåë¼ííîñòè ìû áóäåì ðåøàòü çàäà÷ó âîññòàíàâëèâëåíèÿ ïàðû êîýôôèöèåíòîâ (Adiv , V div ) èç êàëèáðîâî÷íîãî êëàññà ïàðû êîýôôèöèåíòîâ (A, V ), îáëàäàþùóþ òåì ñâîéñòâîì, ÷òî div Adiv = 0.Ñäåëàåì îäíî çàìå÷àíèå îòíîñèòåëüíî ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà èíâàðèàíòíîñòèàìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ fA,V ïî îòíîøåíèþ ê êàëèáðîâî÷íûì ïðåîáðàçîâàíèÿì(5.2a), (5.2b).
Óðàâíåíèå (3.9) ïðè n = 1 îïèñûâàåò îïèñûâàåò âçàèìîäåéñòâèåçàðÿæåííîé ÷àñòèöû ñ ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì. Ïðè ýòîì ψ âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ çàðÿæåííîé ÷àñòèöû, A ìàãíèòíûé ïîòåíöèàë, à ôóíêöèÿ v , îïðåäåë¼ííàÿ â ôîðìóëå (3.8), ýëåêòðè÷åñêèé ïîòåíöèàë. Èíâàðèàíòíîñòü óðàâíåíèÿ(3.9) îòíîñèòåëüíî êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé (5.2a), (5.2b) ÿâëÿåòñÿ îòðàæåíèåì ïðèíöèïà îòíîñèòåëüíîñòè Âåéëÿ, ñîãëàñíî êîòîðîìó êîíôèãóðàöèè ψ ,A, V è ψ ϕ , Aϕ , V ϕ îïèñûâàþò îäíó è òó æå ôèçè÷åñêóþ ñèòóàöèþ, ñì. [106].Âûáîð èç ýòîãî ìíîæåñòâà ýêâèâàëåíòíûõ ñ ôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ êîíôèãóðàöèé êîíôèãóðàöèè ψ div , Adiv , V div ñ div Adiv = 0 íàçûâàåòñÿ êóëîíîâñêîéêàëèáðîâêîé ìàãíèòíîãî ïîòåíöèàëà.
Àìïëèòóäà ðàññåÿíèÿ fA,V òàêæå èìååò ôèçè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ. Âåëè÷èíà |f (k, Eϑ)|2 , ϑ ∈ S 1 , åñòü ïëîòíîñòüâåðîÿòíîñòè îáíàðóæèòü çàðÿæåííóþ ÷àñòèöó â íàïðàâëåíèè ϑ ïîñëå âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì, åñëè äî âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèöà èìåëàôèêñèðîâàííûé èìïóëüñ k (è åñëè ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà ~ = 1). Êðîìå òîãî, âåëè÷èíà ∂/∂|k| arg f (k, l), íàçûâàåìàÿ ôàçîâûì ñäâèãîì, èìååò ñìûñë âðåìåííîéçàäåðæêè, ñ êîòîðîé çàðÿæåííàÿ ÷àñòèöà ïðîõîäèò îò èñòî÷íèêà äî äåòåêòîðà,è ñâÿçàííîé ñ âçàèìîäåéñòâèåì ÷àñòèöû ñ ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì.Èñïîëüçóåìûå îáîçíà÷åíèÿÍàì ïîòðåáóåòñÿ ââåñòè íåñêîëüêî îáîçíà÷åíèé.
Ïóñòü ôóíêöèÿ ϕdiv îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðåøåíèå çàäà÷è(∆ϕdiv (x) = −A(x),ϕdiv (x) → 0,x ∈ R2 ,(5.4a)(5.4b)|x| → ∞,à ôóíêöèè ϕ± êàê ðåøåíèÿ çàäà÷1 −∂z ϕ (x) = − (A1 (x) − iA2 (x)),2 −ϕ (x) → 0, |x| → ∞,x ∈ R2 ,(5.5a)(5.5b)1221 +∂z̄ ϕ (x) = − (A1 (x) + iA2 (x)),2 +ϕ (x) → 0, |x| → ∞,x ∈ R2 ,(5.6a)(5.6b)ãäå ∂z è ∂z̄ îáîçíà÷àþò îïåðàòîðû Äîëüáî:1∂z =2∂∂−i∂x1∂x21, ∂z̄ =2∂∂+i∂x1∂x2,x = (x1 , x2 ) ∈ R2 .(5.7)Îïðåäåëèì ôóíêöèè Adiv , V div è A± , V ± ñëåäóþùèìè ôîðìóëàìè:Adiv = A + ∇ϕdiv ,A± = A + ∇ϕ± ,V div = V − i∆ϕdiv + (∇ϕdiv )2 + 2A∇ϕdiv ,V ± = V − i∆ϕ± + (∇ϕ± )2 + 2A∇ϕ± .(5.8a)(5.8b)Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèè Adiv , V div è ôóíêöèè A± , V ± ñâÿçàíû ñ ôóíêöèÿìè A, Vêàëèáðîâî÷íûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè âèäà (5.2a), (5.2b).
 ñèëó êàëèáðîâî÷íîéèíâàðèàíòíîñòè àìïëèòóäû ðàññåÿíèÿ f = fA,V , ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü çàäà÷ó âîññòàíîâëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ Adiv , V div è A± , V ± ïî f .  ïðàêòè÷åñêèõçàäà÷àõ ÷àñòî äîñòóïíà äîïîëíèòåëüíàÿ èíôîðìàöèÿ, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò íàéòèA, V ïî Adiv , V div èëè A± , V ± , ñì. 3.2.Íàì òàêæå ïîíàäîáÿòñÿ ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:z = x1 + ix2 ,λ = E −1/2 (k1 + ik2 ),(5.9)z̄ = x1 − ix2 ,λ0 = E −1/2 (l1 + il2 ),(5.10)ãäå x = (x1 , x2 ) ∈ R2 , k = (k1 , k2 ) ∈ ΣE , l = (l1 , l2 ) ∈ ΣE ,ΣE = m = (m1 , m2 ) ∈ C2 : m21 + m22 = E ,E > 0.(5.11) òàêèõ îáîçíà÷åíèÿõi1k1 = E 1/2 (λ + λ−1 ), k2 = E 1/2 (λ−1 − λ),221 1/2 0il1 = E (λ + λ0−1 ), l2 = E 1/2 (λ0−1 − λ0 ),22i 1/2exp(ikx) = exp 2 E (λz̄ + λ−1 z) ,ãäå λ, λ0 ∈ C \ 0, z ∈ C, k , l ∈ ΣE .(5.12a)(5.12b)123Èç ôîðìóë (3.11), (5.10), (5.11), (5.12a) è (5.12b) ñëåäóåò, ÷òîΣE ∼= C \ 0,1 ∼ΣE ∩ R2 = S√= T,EME ∼= T × T,(5.13)ãäå Sr1 = m ∈ R2 : |m| = r è T = λ ∈ C : |λ| = 1 .
Ñ ó÷¼òîì ââåä¼ííûõîáîçíà÷åíèé, ôóíêöèè ψ + è f èç ôîðìóëû (3.10) ìîãóò áûòü çàïèñàíû êàêψ + = ψ + (z, λ, E),f = f (λ, λ0 , E),(5.14)ãäå λ, λ0 ∈ T , z ∈ C, E > 0. Ìû ãîòîâû ê ôîðìóëèðîâêå àëãîðèòìà ïðèáëèæ¼ííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è 3.2.Àëãîðèòì âîññòàíîâëåíèÿÄëÿ ïðèáëèæ¼ííîãî íàõîæäåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ Adiv , V div èç ôîðìóëû (5.8a)è êîýôôèöèåíòîâ A± , V ± èç ôîðìóëû (5.8b) íà R2 ïî àìïëèòóäå ðàññåÿíèÿ fèç ôîðìóëû (3.14) íà ME ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùóþ ñõåìó:12345±divdivf −→ h± −→ µ+ −→ µ± −→ A±appr , Vappr −→ Aappr , Vappr(5.15)Ñõåìà âîññòàíîâëåíèÿ (5.15) ñîñòîèò èç ñëåäóþùèõ øàãîâ:Øàã 1.
Íàéòè ôóíêöèè h± (λ, λ0 , E), λ, λ0 ∈ T , èç ñëåäóþùèõ ëèíåéíûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé:h± (λ, λ0 , E) − πiZλ00λ00h± (λ, λ , E)χ ±i 00 −λλ×T(5.16)×f (λ00 , λ0 , E) |dλ00 | = f (λ, λ0 , E),ãäå |dλ00 | îáîçíà÷àåò óãëîâóþ ìåðó íà T , à χ îïðåäåëÿåòñÿ êàê1,χ(s) =0,s≥0s < 0.(5.17)Øàã 2. Ðàçðåøèòü ñëåäóþùåå èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî µ+ (z, λ, E),124z ∈ C, λ ∈ T :Z+B(λ, λ0 , z, E)µ+ (z, λ0 , E) |dλ0 | = 1,µ (z, λ, E) +(5.18)Tãäå ôóíêöèÿ B îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé Z1ζλ0dζ0B(λ, λ , z, E) =h− (ζ, λ , z, E)χ −i 0 −−2λζζ − λ(1 − 0)T Zλ01ζdζ0h+ (ζ, λ , z, E)χ i 0 −,(5.19)−2λζζ − λ(1 + 0)0Tdefh± (λ, λ0 , z, E) == h± (λ, λ0 , E)× √E0−10−1× exp −i(λ − λ )z̄ + (λ − λ )z ,2(5.20)è λ, λ0 ∈ T , z ∈ C.Øàã 3.
Îïðåäåëÿåì ôóíêöèè µ± (z, λ, E), z ∈ C, λ ∈ T , ïî ôîðìóëàìZ+µ± (z, λ, E) = µ (z, λ, E) + πih± (λ, λ0 , z, E)×T0λλ×χ ±i 0 −λλ(5.21)µ+ (z, λ0 , E) |dλ0 |,ãäå ôóíêöèè h± (λ, λ0 , z, E) îïðåäåëåíû ôîðìóëîé (5.16), à χ îïðåäåëÿåòñÿôîðìóëîé (5.17).−Øàã 4. Ôóíêöèè A−(x, E) è Vappr(x, E), x ∈ R2 , j = 1, 2, íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóappr,jëàìi −1 −−A−(x,E)=a(z,E),A(x,E)=a (z, E),appr,1appr,24 z4 zZa−µ+ (z, ζ, E) |dζ|,z (z, E) = 4∂z̄ ln√EVappr (x, E) =π−T(5.22)Z∂z µ− (z, ζ, E) dζ;T+à ôóíêöèè A+(x, E) è Vappr(x, E), x ∈ R2 , j = 1, 2, íàõîäÿòñÿ ïî ôîðappr,j125ìóëàì1 +A+(x,E)=−a (z, E),appr,24 z̄Za+µ+ (z, ζ, E) |dζ|,z̄ (z, E) = −4∂z lni +a (z, E),A+(x,E)=appr,14 z̄T√+Vappr(x, E) = 2i E∂z̄Zdζµ+ (z, ζ, E) 2ζTZ(5.23)dζµ+ (z, ζ, E),ζTãäå z îïðåäåëåíî â ôîðìóëå (5.9).div2Øàã 5.
Ôóíêöèè Adivappr,j (x, E) è Vappr (x, E), x ∈ R , j = 1, 2, íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëàìi −Adiv(az (z, E) + a+appr,1 (x, E) =z̄ (z, E)),81 −Adiv(az (z, E) − a+appr,2 (x, E) =z̄ (z, E)),8 11 −+div+(x, E) + VapprVappr(z, E) − a−(x, E) = Vapprz (z, E)az̄ (z, E),28(5.24)+±ãäå z îïðåäåëåíî â ôîðìóëå (5.9), à ôóíêöèè a−z , az̄ , Vappr îïðåäåëåíû âôîðìóëàõ (5.22) è (5.23).Ìû âûâîäèì ýòîò àëãîðèòì â 5.3. Âûâîä ýòîãî àëãîðèòìà âîññòàíîâëåíèÿîñíîâàí íà íåëîêàëüíîé çàäà÷å Ðèìàíà-Ãèëüáåðòà è íà ìåòîäå ∂¯-óðàâíåíèÿ. Âñëó÷àå A = 0 ýòîò àëãîðèòì ñâîäèòñÿ ê àëãîðèòìó ïðèáëèæ¼ííîãî íàõîæäåíèÿV íà R2 ïî àìïëèòóäå ðàññåÿíèÿ f íà ME èç ðàáîòû [99].
Àëãîðèòì èç ñòàòüè−−[99] ñîäåðæèò âûøåóêàçàííûå øàãè 1, 2, 3 è ôîðìóëó Vappr = Vappr, ãäå Vapprîïðåäåëåíî â ôîðìóëå (5.22). Êàñàòåëüíî ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè àëãîðèòìà èçðàáîòû [99], ñì. [90].Ïðåäëàãàåìûé àëãîðèòì ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê óïðîùåí¼ííàÿ è óñîâåðøåíñòâîâàííàÿ âåðñèÿ àëãîðèòìà, óïîìèíàþùåãîñÿ â [57, ñ. 457].  ÷àñòíîñòè, íàõîæäåíèå µ± ïî h± â ðàáîòå [57] îñóùåñòâëÿåòñÿ áîëåå ñëîæíûì ñïîñîáîì. Êðîìå òîãî, àëãîðèòì èç ðàáîòû [57] ïðèâîäèòñÿ äëÿ ñëó÷àÿA1 = A1 ,A2 = A2 ,−2i div A + V = V,òî åñòü êîãäà îïåðàòîð LA,V ÿâëÿåòñÿ ñàìîñîïðÿæ¼ííûì.  ïðèâåä¼ííîì íàìèàëãîðèòìå ýòî òðåáîâàíèå íå ÿâëÿåòñÿ îáÿçàòåëüíûì.126Ñâîéñòâà àëãîðèòìà ñëåäóþùåì óòâåðæäåíèè ìû ïðèâåä¼ì äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòèóðàâíåíèé (5.16) è (5.18).
Íàì ïîòðåáóåòñÿ ââåñòè íåñêîëüêî îáîçíà÷åíèé. ÏóñòüZku1 kL2 (T ) =1/2|u1 (λ)| |dλ|,2TZku2 kL2 (T 2 ) =1/2|u2 (λ, λ0 )|2 |dλ| |dλ0 |,(5.25)T 2 = T × T,T2ãäå u1 è u2 èçìåðèìûå ôóíêöèè íà T è T 2 ñîîòâåòñòâåííî. ×åðåç L2 (T )è L2 (T 2 ) îáîçíà÷èì ìíîæåñòâà èçìåðèìûõ ôóíêöèé íà T è T 2 ñ êîíå÷íûìèíîðìàìè k · kL2 (T ) è k · kL2 (T 2 ) ñîîòâåòñòâåííî.Ïðåäëîæåíèå 5.1. Ïóñòü E > 0 è z ∈ C çàôèêñèðîâàíû.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
