Диссертация (1103157), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Äåéñòâóÿ êàê ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 3.3 ïðè d ≥ 3, ìûïîëó÷àåì ôîðìóëû (3.38)(3.42) ïðè d = 2.Îïðåäåëèì ôóíêöèè µ(j) ôîðìóëîéiµ(j) = − ln ρ(j) ,2(3.59)j = 1, 2,e(j)à îïåðàòîðû Lω ôîðìóëîé−iµ(j) (j) iµ(j)e(j)LLω e ,ω =e(j)ãäå e±iµ(3.60)j = 1, 2,(j)îáîçíà÷àþò îïåðàòîðû óìíîæåíèÿ íà ôóíêöèè e±iµ .91Èç îïðåäåëåíèé (3.59) è (3.60) ñëåäóþò ðàâåíñòâà(j)e(j)σ(Lz ) = σ(Lz ),e (1)e (2)Λω = Λω ,(1)j = 1, 2,(3.61)(3.62)(2)eω è Λe ω îáîçíà÷àþò îïåðàòîðû ÄèðèõëåÍåéìàíà äëÿãäå ω ∈ {ω1 , ω2 }, à Λe(1)e(2)îïåðàòîðîâ Lω è Lω â îáëàñòè D ñîîòâåòñòâåííî (ñì. îïðåäåëåíèå (3.4)).Ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì ìû ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ôîðìóëó:e(j)Lω22 X1 ∂e(j),k=+A+ qeω(j) ,ωi ∂xk(3.63)k=1ãäå èñïîëüçóþòñÿ îáîçíà÷åíèÿe(j)e(j),1 e(j),2Aω = (Aω , Aω ) =qeω(j)(1)=ω(c(j) )2v (j) ,qω(j) .(3.64)(2)eω è Aeω íå ñîäåðæàò ìíèìîé ÷àñòè â îòëè÷èå îò ïîëåéÇàìåòèì, ÷òî ïîëÿ A(1)(2)Aω è Aω .Ïîëüçóÿñü ôîðìóëàìè (3.61), (3.62), (3.64), à òàêæå òåîðåìîé [36, Theorem1.1] è îäíîñâÿçíîñòüþ îáëàñòè D, ìû ïîëó÷àåì ðàâåíñòâà (3.45) è (3.46) ïðèd = 2 è ω ∈ {ω1 , ω2 }, à òàêæå ðàâåíñòâîe(2)e(1)Aeωω − A ω = ∇ϕâ îáëàñòè D,(3.65)ãäå ϕeω ∈ W 2,∞ (D, R) è ω ∈ {ω1 , ω2 }.Êàê è ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 3.3 ïðè d ≥ 3, ïîëüçóÿñü ôîðìóëàìè(3.42) è (3.45) ïðè d = 2, ìû ïîëó÷àåì ôîðìóëó (3.51) ïðè d = 2.Äàëåå, ïîëüçóÿñü ôîðìóëàìè (3.41), (3.64) è (3.65), ìû ïîëó÷àåì ôîðìóëû(3.52) è (3.53) ïðè d = 2, ãäåβω = ϕeω .(3.66)Íàêîíåö, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (3.46), (3.51), (3.52), (3.53) ïðè d = 2 è ôîðìóëó (3.66), ìû çàâåðøàåì äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3.3 â ñëó÷àå d = 2 àíàëîãè÷íîòîìó, êàê ìû çàêîí÷èëè äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû â ñëó÷àå d ≥ 3.Òåïåðü ìû ïåðåéä¼ì ê äîêàçàòåëüñòâó òåîðåìû 3.4.

Ìû áóäåì ññûëàòüñÿ íàôîðìóëû, ïîëó÷åííûå ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 3.3. Êàê è ïðè äîêàçàòåëü-92ñòâå òåîðåìû 3.3, ìû ïîñëåäîâàòåëüíî ðàññìîòðèì ñëó÷àè d ≥ 3 è d = 2.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3.4. Çàìåòèì, ÷òî ïðè ïðåäïîëîæåíèÿõ òåîðåìû 3.4(j)(j)(j)äëÿ îïåðàòîðîâ Lω , j = 1, 2, ñïðàâåäëèâî ïðåäñòàâëåíèå (3.38), ãäå Aω è qωîïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìèqω(j)ωv (j)i ∇ρ(j)(j),1(j),dA(j)=(A,...,A)=+,ωωω(c(j) )2 2 ρ(j)(j)i∇ρω2ω2ω(j)v+−(v (j) )2= − (j) 2 + i∇ ·(j)2(j)(j)42 ρ(c )(c )(c )(3.67)(j)1 (j) −2iωv (j) ∇ρ(j)(j) α0(j) 2+ (ρ ) (∇ρ ) − (j) 2 (j) − 2iω 1+ζ (j).4(c ) ρcÑëó÷àé d ≥ 3.

Êàê è ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 3.3 â ñëó÷àå d ≥ 3, ìîæíî(1)(2)ïîêàçàòü, ÷òî ñïðàâåäëèâû ôîðìóëû (3.40)(3.44), â êîòîðûõ ôóíêöèè qω , qω(1)(2)è Aω , Aω îïðåäåëÿþòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (3.67), à ω ∈ {ω1 , ω2 , ω3 } .Ðàçäåëÿÿ âåùåñòâåííóþ è ìíèìóþ ÷àñòè â ðàâåíñòâå (3.43), ìû ïîëó÷àåìðàâåíñòâî (3.45) è ðàâåíñòâî (1)v (2)∇ρ(1) v (1)∇ρ(2) v (2)v−− (1) (1) 2 + (2) (2) 2∇·(c(1) )2 (c(2) )2ρ(c )ρ(c )"#"#(2)(1)α0α0ζ (2)ζ (1)+2ω− 2ω= 0,(c(2) )2(c(1) )2(3.68)â êîòîðîì ω ∈ {ω1 , ω2 , ω3 }.Ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé (3.68) è ïðåäïîëîæåíèåì, ÷òî ω1 , ω2 , ω3 ïîëîæèòåëüíûè ïîïàðíî ðàçëè÷íû, ìû ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî (3.46).Àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî áûëî ñäåëàíî â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 3.3 â ñëó÷àå d ≥ 3, èç ôîðìóë (3.41)(3.46) ìû ïîëó÷àåì ôîðìóëó (3.58).(2)(1)Ìû ïîêàæåì, ÷òî α0 (x) = α0 (x) ïðè ôèêñèðîâàííîì x ∈ D, ðàññìàòðèâàÿäâà ñëó÷àÿ: (a) ζ (1) (x) 6= ζ (2) (x); (b) ζ (1) (x) = ζ (2) (x). ñëó÷àå (a), ïîëüçóÿñü ðàâåíñòâîì (3.68) è ïðåäïîëîæåíèåì, ÷òî ω1 , ω2 , ω3ïîëîæèòåëüíû è ïîïàðíî ðàçëè÷íû, ìû ïîëó÷àåì, ÷òî(j)α0= 0 â òî÷êå x,(c(j) )2j = 1, 2,(3.69)93è, êàê ñëåäñòâèå,(1)(2)α0 (x) = α0 (x) = 0.(3.70) ñëó÷àå (b), ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé (3.68) è ïðåäïîëîæåíèåì, ÷òî ω1 , ω2 , ω3ïîëîæèòåëüíû è ïîïàðíî ðàçëè÷íû, ìû ïîëó÷àåì, ÷òî(1)(2)α0α0−= 0 â òî÷êå x.(c(2) )2 (c(1) )2(3.71)Èç ôîðìóë (3.58) è (3.71) ñëåäóåò ðàâåíñòâî(2)(1)α0 (x) = α0 (x).(3.72)Íàêîíåö, ðàâåíñòâî α(2) = α(1) âî âñåé îáëàñòè D ñëåäóåò èç ôîðìóëû (3.70)â ñëó÷àå (a) è èç ôîðìóëû (3.72) â ñëó÷àå (b).Ýòî çàâåðøàåò äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3.4 â ñëó÷àå d ≥ 3.Ñëó÷àé d = 2.

Äåéñòâóÿ êàê ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 3.3, ìû ïîëó÷àåìôîðìóëû (3.38), (3.67), (3.40)(3.43) ïðè d = 2 è ôîðìóëû (3.59)(3.65), ãäå âôîðìóëàõ (3.43), (3.62) è (3.65) ïîëàãàåòñÿ ω ∈ {ω1 , ω2 , ω3 }.Ðàçäåëÿÿ âåùåñòâåííóþ è ìíèìóþ ÷àñòè â ðàâåíñòâå (3.43), ìû ïîëó÷àåìðàâåíñòâà (3.45) è (3.68) ïðè d = 2, ãäå ω ∈ {ω1 , ω2 , ω3 }.Ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé (3.68) è ïðåäïîëîæåíèåì, ÷òî ω1 , ω2 , ω3 ïîïàðíî ðàçëè÷íû, ìû ïîëó÷àåì ôîðìóëó (3.46) ïðè d = 2.Êàê è ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 3.3 â ñëó÷àå d ≥ 3, ìû èñïîëüçóåì ôîðìóëû (3.42) è (3.45) äëÿ ïîëó÷åíèÿ ôîðìóëû (3.51).Èç ôîðìóë (3.41), (3.46), (3.51) ïðè d = 2 è èç ôîðìóëû (3.65) ñëåäóåòôîðìóëà (3.58) ïðè d = 2 (ñì. äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3.3 â ñëó÷àå d = 2).Íàêîíåö, èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâî (3.68), ìû çàâåðøàåì äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû3.4 â ñëó÷àå d = 2 àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ìû çàâåðøèëè äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû3.4 â ñëó÷àå d ≥ 3.9444.1Ñâåäåíèå îáðàòíîé çàäà÷è ÄèðèõëåÍåéìàíàê îáðàòíîé çàäà÷å ðàññåÿíèÿÑëó÷àé íóëåâûõ ôîíîâûõ êîýôôèöèåíòî⠟3.1 ìû ñôîðìóëèðîâàëè îáðàòíóþ çàäà÷ó ÄèðèõëåÍåéìàíà 3.1 è çàìåòèëè, ÷òî îäíèì èç äâóõ îñíîâíûõ ïîäõîäîâ ê ðåøåíèþ çàäà÷è 3.1 ÿâëÿåòñÿ å¼ñâåäåíèå ê ïîäõîäÿøåé ìíîãîìåðíîé çàäà÷å ðàññåÿíèÿ.

 Ÿ3.1 ìû òàêæå ñôîðìóëèðîâàëè ñîîòâåòñòâóþùóþ ìíîãîìåðíóþ îáðàòíóþ çàäà÷ó ðàññåÿíèÿ 3.3. Âýòîì è ñëåäóþùåì ïàðàãðàôàõ ìû ïðèâåä¼ì ôîðìóëû è óðàâíåíèÿ, ñâîäÿùèåçàäà÷ó 3.1 ê çàäà÷å 3.3. Áîëåå òî÷íî, ìû ïðèâåä¼ì ôîðìóëû è óðàâíåíèÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ äàííûõ ðàññåÿíèÿ SA,V (E) ïî îïåðàòîðó ÄèðèõëåÍåéìàíà ΛA,V (E)èç ôîðìóëû (3.1).Ìû ðàññìàòðèâàåì óðàâíåíèå (3.9) ïðè E ∈ C è x ∈ D, ãäåD îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü â Rd (d ∈ {2, 3}) ñ ãðàíöåé ∂D ∈ C 2 .(4.1)0,α(D, Mn (C)) îáîçíà÷àåò ìíîæåñòâî Mn (C)-çíà÷íûõ ïîêîìïîíåíòíîÏóñòü Ccompã¼ëüäåð-íåïðåðûâíûõ ñ ïîêàçàòåëåì α ôóíêöèé íà Rd ñ íîñèòåëåì â D.

Êðîìåòîãî, ïóñòü C 1,β (∂D, Mn (C)) îáîçíà÷àåò ìíîæåñòâî ôóíêöèé èç ïðîñòðàíñòâàC 1 (∂D, Mn (C)) ñ ïîêîìïîíåíòíî ã¼ëüäåð-íåïðåðûâíûìè ñ ïîêàçàòåëåì β ïåðâûìè ïðîèçâîäíûìè.Ìû ïðåäïîëàãàåì, ÷òî êîýôôèöèåíòû Aj è V óðàâíåíèÿ (3.9) óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùåìó óñëîâèþ:0,αA1 , . . . , Ad , V ∈ Ccomp(D, Mn (C)),α ∈ (0, 1].(4.2)Ìû ñ÷èòàåì, ÷òî E íå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì Äèðèõëå äëÿ îïåðàòîðîâ LA,V è −∆ èç ôîðìóëû (3.1) â îáëàñòè D, òàê ÷òî çàäà÷à (3.2a), (3.2b)îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìà îòíîñèòåëüíî ψ ∈ C 2 (D, Mn (C)) ∩ C 1 (D, Mn (C)) äëÿâñåõ f ∈ C 1,β (∂D, Mn (C)), β ∈ (0, 1) (ìû äîêàæåì ýòî óòâåðæäåíèå â ëåììå 4.3èç Ÿ4.4).

Ïóñòü ΛA,V (E) îáîçíà÷àåò îïåðàòîð ÄèðèõëåÍåéìàíà äëÿ óðàâíåíèÿ(3.9) â îáëàñòè D. Ýòîò îïåðàòîð îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (3.4), ãäå ψ ðåøåíèåçàäà÷è (3.2a), (3.2b).Ìû òàêæå ðàññìàòðèâàåì óðàâíåíèå (3.9) ïðè x ∈ Rd (çàìåòèì, ÷òî îïðåäåëåíèå (4.2) ïðåäïîëàãàåò, ÷òî A = 0, V = 0 âíå D). Äëÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ ìû95ðàññìàòðèâàåì äàííûå ðàññåÿíèÿ SA,V (E), êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îäíóèç ôóíêöèé f èëè hγ , γ ∈ S d−1 , îïðåäåë¼ííûõ â ôîðìóëàõ (3.14) è (3.18), åñëèE > 0, è ôóíêöèþ h èç ôîðìóëû (3.17), åñëè E ∈ C \ (0, ∞). Ìû ñâåä¼ì îáðàòíóþ çàäà÷ó ÄèðèõëåÍåéìàíà 3.1 ê îáðàòíîé çàäà÷å ðàññåÿíèÿ 3.3 èç Ÿ3.1,óêàçàâ ôîðìóëû íàõîæäåíèÿ äàííûõ ðàññåÿíèÿ SA,V (E) ïî ΛA,V .Äëÿ ôîðìóëèðîâêè îñíîâíûõ ðåçóëüòàòîâ íàì íåîáõîäèìî ââåñòè íåñêîëüêî îáîçíà÷åíèé.

Ìû îïðåäåëÿåì ìíîæåñòâà E , Eγ , γ ∈ S d−1 , è E + ñëåäóþùèìîáðàçîì:E = ζ ∈ Cd \ Rd | óðàâíåíèå (3.15) ïðè k = ζ íå ðàçðåøèìîîäíîçíà÷íî îòíîñèòåëüíî ψ = eikx µ, ãäå µ ∈ W 1,∞ (Rd , Mn (C)) ,Eγ = ζ ∈ Rd \ 0 | óðàâíåíèå (3.15) ïðè k = ζ + i0γ íå ðàçðåøèìîîäíîçíà÷íî îòíîñèòåëüíî ψ ∈ W 1,∞ (Rd , Mn (C)) ,E + = ζ ∈ Rd \ 0 | óðàâíåíèå (3.12) ïðè k = ζ íåðàçðåøèìî îäíîçíà÷íî îòíîñèòåëüíî ψ + ∈ W 1,∞ (Rd , Mn (C)) .(4.3)(4.4)(4.5)Ñâîéñòâà ìíîæåñòâ E , Eγ è E + èçó÷àëèñü â ëèòåðàòóðå â ñëó÷àå n = 1, A ≡ 0,ñì.

[59] è ññûëêè â ýòîé ðàáîòå.Ïîëîæèì Λ(E) = ΛA,V (E), Λ0 (E) = Λ0,0 (E), à ÷åðåç (Λ − Λ0 )(x, y, E), x,y ∈ ∂D, îáîçíà÷èì ÿäðî (â ñìûñëå Øâàðöà) îïåðàòîðà Λ(E) − Λ0 (E).Òåîðåìà 4.1. Ïóñòü D óäîâëåòâîðÿåò (4.1) è E ∈ C çàôèêñèðîâàíî. Ïóñòüêîýôôèöèåíòû A, V óäîâëåòâîðÿþò (4.2) è E íå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåì Äèðèõëå äëÿ îïåðàòîðîâ LA,V è −∆ â D. Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèåôîðìóëû è óðàâíåíèÿ:Z Zh(k, l) = (2π)−de−ilx (Λ − Λ0 )(x, y, E)ψ(y, k) dy dx,(4.6)∂D ∂Dãäå k , l ∈ Cd \ (Rd ∪ E), Im k = Im l, k 2 = l2 = E ,ψ(x, k) = eikxZIdn +A(x, y, k)ψ(y, k) dy,x ∈ ∂D,(4.7)∂DZA(x, y, k) =∂DG(x − z, k)(Λ − Λ0 )(z, y, E) dz,x, y ∈ ∂D,(4.8)96ãäå k ∈ Cd \ (Rd ∪ E), k 2 = E , à G îïðåäåëåíî â ôîðìóëå (3.16);hγ (k, l) = (2π)−dZ Ze−ilx (Λ − Λ0 )(x, y, E)ψγ (y, k) dy dx,(4.9)∂D ∂Dãäå γ ∈ S d−1 , k , l ∈ Rd \ (0 ∪ Eγ ), k 2 = l2 = E ,ikxψγ (x, k) = eZIdn +x ∈ ∂D,(4.10)x, y ∈ ∂D,(4.11)Aγ (x, y, k)ψγ (y, k) dy,∂DZAγ (x, y, k) =Gγ (x − z, k)(Λ − Λ0 )(z, y, E) dz,∂DdefGγ (x, k) == G(x, k + i0γ),(4.12)x ∈ Rd ,ãäå γ ∈ S d−1 , k ∈ Rd \ (0 ∪ Eγ ), k 2 = E ;f (k, l) = (2π)−dZ Ze−ilx (Λ − Λ0 )(x, y, E)ψ + (y, k) dy dx,(4.13)∂D ∂Dãäå k , l ∈ Rd \ (0 ∪ E + ), k 2 = l2 = E ,+ψ (x, k) = eikxZIdn +A+ (x, y, k)ψ + (y, k) dy,x ∈ ∂D,(4.14)x, y ∈ ∂D,(4.15)∂DA+ (x, y, k) =ZG+ (x − z, k)(Λ − Λ0 )(z, y, E) dz,∂Dãäå k ∈ Rd \ (0 ∪ E + ), k 2 = E , à G+ îïðåäåëåíî â ôîðìóëå (3.13).Ìû ðàññìàòðèâàåì (4.6), (4.9) è (4.13) êàê ÿâíûå ôîðìóëû äëÿ íàõîæäåíèÿh, hγ è f ïî îïåðàòîðó Λ(E) − Λ0 (E) è ôóíêöèÿì ψ , ψγ è ψ + ñîîòâåòñòâåííî.Ïðè ýòîì ôóíêöèè ψ , ψγ è ψ + íàõîäèòñÿ ïî îïåðàòîðó Λ(E) − Λ0 (E) èç èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé (4.7), (4.10) è (4.14).

 ñëåäóþùåé òåîðåìå ïðèâîäÿòñÿóñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè ýòèõ óðàâíåíèé.Çàìåòèì, ÷òî íîðìà â ïðîñòðàíñòâå C 1,β (∂D, Mn (C)) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîékψkC 1,β = kψkC 1 + max max supki,jx1 6=x2ãäå ϕ(x) = ϕij (x) ∈ Mn (C), ∂k = ∂/∂xk .∂k ϕij (x1 ) − ∂k ϕij (x2 )|x1 − x2 |β,97Òåîðåìà 4.2. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 4.1 è ïóñòü β ∈ (0, 1).(A) Ïóñòü k ∈ Cd \ Rd , k 2 = E .

Òîãäà óðàâíåíèå (4.7) ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåìÔðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà îòíîñèòåëüíî ψ ∈ C 1,β (∂D, Mn (C)), êîòîðîåîäíîçíà÷íî ðàçðåøèìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà k 6∈ E .(B) Ïóñòü γ ∈ S d−1 , k ∈ Rd \0, k 2 = E . Òîãäà óðàâíåíèå (4.10) ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà îòíîñèòåëüíî ψγ ∈ C 1,β (∂D, Mn (C)),êîòîðîå îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà k 6∈ Eγ .(C) Ïóñòü k ∈ Rd \ 0, k 2 = E . Òîãäà óðàâíåíèå (4.14) ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåìÔðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà îòíîñèòåëüíî ψ + ∈ C 1,β (∂D, Mn (C)), êîòîðîåîäíîçíà÷íî ðàçðåøèìî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà k 6∈ E + .Òåîðåìû 4.1 è 4.2 ÿâëþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè òåîðåì 4.3 è 4.4, êîòîðûåôîðìóëèðóþòñÿ â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå.4.2Ñëó÷àé èçâåñòíûõ ôîíîâûõ êîýôôèöèåíòîâÍà ïðàêòèêå äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé òèïà (4.7), (4.10) è (4.14) èç òåîðåìû 4.1 èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé.

Характеристики

Список файлов диссертации