Диссертация (1103157), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Îäíàêî, äëÿ ïðèìåíèìîñòèýòîãî ìåòîäà òðåáóåòñÿ, ÷òîáû íîðìà èíòåãðàëüíûõ îïåðàòîðîâ èç ýòèõ óðàâíåíèé áûëà ìàëà. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò ñëó÷àþ, êîãäà êîýôôèöèåíòû A è V ìàëû.Íà ïðàêòèêå æå ÷àñòî âîçíèêàåò ñëó÷àé, êîãäà êîýôôèöèåíò V áëèçîê ê íåêîòîðîìó èçâåñòíîìó ôîíîâîìó êîýôôèöèåíòó V 0 , ñì., íàïðèìåð, [11, 61].  íàñòîÿùåì ðàçäåëå ìû ïðèâåä¼ì îáîáùåíèå òåîðåì 4.1 è 4.2 íà ñëó÷àé èçâåñòíîãîôîíîâîãî êîýôôèöèåíòà V 0 .Äëÿ ôîðìóëèðîâêè ýòèõ ðåçóëüòàòîâ íàì ïîòðåáóåòñÿ ââåñòè íîâûå îáîçíà÷åíèÿ. Ïóñòü V 0 Mn (C)-çíà÷íàÿ ôóíêöèÿ â îáëàñòè D òàêàÿ, ÷òî ëèáîV 0 (x) äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà äëÿ âñåõ x ∈ D,ëèáîV 0 (x) = V 0 v 0 (x) ïðè x ∈ D, ãäå V 0 ∈ Mn (C),à v 0 ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ â D.(4.16)(4.17)Ìû ðàññìàòðèâàåì ôóíêöèè R0 , Rγ0 , γ ∈ S d−1 , è R+,0 , îïðåäåëÿåìûå ñëåäó-98þùèì îáðàçîì:Z0R (x, y, k) = G(x − y, k)Idn +G(x − z, k)V 0 (z)R0 (z, y, k) dz,(4.18)Rdãäå x, y ∈ Rd , k ∈ Cd \ Rd , à G îïðåäåëÿåòñÿ â ôîðìóëå (3.16);def(4.19)def(4.20)Rγ0 (x, y, k) == R0 (x, y, k + i0γ),0R+,0 (x, y, k) == Rk/|k|(x, y, k),ãäå x, y ∈ Rd , k ∈ Rd \ 0, γ ∈ S d−1 .Ìû ðàññìàòðèâàåì (4.18) ïðè ôèêñèðîâàííûõ y , k êàê èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå íà ôóíêöèþR0 (x, y, k) = G(x − y, k)Idn + eik(x−y) r0 (x, y, k),(4.21)ãäå r0 (·, y, k) ∈ L∞ (Rd , Mn (C)).Èç ôîðìóë (4.18) è (4.21) ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ r0 óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó óðàâíåíèþ:r0 (x, y, k) =Zg(x − z, k)V 0 (z)g(z − y, k) dzRdZ(4.22)00g(x − z, k)V (z)r (z, y, k) dy,+Rdãäå x, y ∈ Rd , à g îïðåäåëÿåòñÿ â ôîðìóëå (3.16).Ïóñòü V 0 óäîâëåòâîðÿåò (4.2).

Îïðåäåëèì L0,V 0 , EV 0 , EV 0 ,γ , γ ∈ S d−1 , è EV+0ôîðìóëàìè (3.1), (4.3), (4.4), (4.5), èñïîëüçóÿ êîýôôèöèåíòû A = 0, V = V 0 âôîðìóëàõ (3.1), (3.12) è (3.15). Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:1. Ïóñòü k ∈ Cd \ Rd . Òîãäà óðàâíåíèå (4.22) îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî r0 (·, y, k) ∈ L∞ (Rd , Mn (C)) ïðè âñåõ y ∈ Rd òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà k 6∈ EV 0 .2. Ïóñòü ζ ∈ Rd \0, γ ∈ S d−1 . Òîãäà óðàâíåíèå (4.22) ñ k = ζ +i0γ îäíîçíà÷íîðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî r0 (·, y, k) ∈ L∞ (Rd , Mn (C)) äëÿ âñåõ y ∈ Rd òîãäàè òîëüêî òîãäà, êîãäà ζ 6∈ EV 0 ,γ .993.

Ïóñòü y ∈ Rd , ζ ∈ Rd \0. Òîãäà óðàâíåíèå (4.22) ñ k = ζ +i0ζ/|ζ| îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî r0 (·, y, k) ∈ L∞ (Rd , Mn (C)) äëÿ âñåõ y ∈ Rdòîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ζ 6∈ EV+0 .Êðîìå òîãî, åñëè óðàâíåíèå (4.22) ïðè ôèêñèðîâàííîì k îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî r0 (·, y, k) ∈ L∞ (Rd , Mn (C)) ïðè âñåõ y ∈ Rd , òî ôóíêöèÿ r0îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:r0 (·, ·, k) ∈ C(Rd × Rd , Mn (C)) ∩ L∞ (Rd × Rd , Mn (C)),ZZ00g(x − z, k)V (z)r (z, y, k) dz = r0 (x, z, k)V 0 (z)g(z − y, k) dz,(4.23)(4.24)RdRdãäå x, y ∈ Rd .Îïðåäåëèì ôóíêöèþ ψeγ0 ñëåäóþùèì îáðàçîì:ψeγ0 (x, k, l) = eilx Idn +ZRdGγ (x − y, k)V 0 (y)ψeγ0 (y, k, l) dy,(4.25)ãäå x, k , l ∈ Rd , k 2 = l2 > 0, γ ∈ S d−1 .

Ìû ðàññìàòðèâàåì (4.25) ïðè ôèêñèðîâàííûõ k , l, γ êàê èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî ψeγ0 (·, k, l) ∈ L∞ (Rd , Mn (C)).Ïóñòü Λ = ΛA,V , ψ , ψγ , ψ + , h, hγ , f , E , Eγ , E + ñîîòâåòñòâóþò êîýôôèöèåíòàìA, V (êàê áûëî îïðåäåëåíî âûøå), à ΛV 0 = Λ0,V 0 , ψ 0 , ψγ0 , ψ +,0 , h0 , h0γ , f 0 , EV 0 ,EV 0 ,γ , EV+0 ñîîòâåòñòâóþò êîýôôèöèåíòàì A0 = 0, V 0 .

×åðåç (Λ − ΛV 0 )(x, y, E),x, y ∈ ∂D, îáîçíà÷èì ÿäðî (â ñìûñëå Øâàðöà) îïåðàòîðà Λ(E) − ΛV 0 (E).Òåîðåìà 4.3. Ïóñòü D óäîâëåòâîðÿåò (4.1). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî êîýôôèöèåíòû A, V è A0 = 0, V 0 óäîâëåòâîðÿþò (4.2). Ïóñòü, êðîìå òîãî, V 0 óäîâëåòâîðÿåò ëèáî (4.16), ëèáî (4.17), à E íå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííûì çíà÷åíèåìÄèðèõëå äëÿ îïåðàòîðîâ LA,V , L0,V 0 è −∆ â D. Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèåôîðìóëû è óðàâíåíèÿ:h(k, l) = h0 (k, l)−dZ Z+(2π)∂D ∂Dψ 0 (x, −l)(Λ − ΛV 0 )(x, y, E)ψ(y, k) dy dx,(4.26)100ãäå k , l ∈ Cd \ (Rd ∪ E ∪ EV 0 ), Im k = Im l, k 2 = l2 = E ,ψ(x, k) = ψ 0 (x, k) +Zx ∈ ∂D,(4.27)x, y ∈ ∂D,(4.28)A(x, y, k)ψ(y, k) dy,∂DZR0 (x, z, k)(Λ − ΛV 0 )(z, y, E) dz,A(x, y, k) =∂Dãäå k ∈ Cd \ (Rd ∪ E ∪ EV 0 ), k 2 = E ;hγ (k, l) = h0γ (k, l)+(2π)−dZ Z0ψe−γ(x, −k, −l)(Λ − ΛV 0 )(x, y, E)ψγ (y, k) dy dx,(4.29)∂D ∂Dãäå γ ∈ S d−1 , k , l ∈ Rd \ (0 ∪ Eγ ∪ EV 0 ,γ ), k 2 = l2 = E ,ψγ (x, k) =ψγ0 (x, k)Z+Aγ (x, y, k)ψγ (y, k) dy,x ∈ ∂D,(4.30)∂DZAγ (x, y, k) =Rγ0 (x, z, k)(Λ − ΛV 0 )(z, y, E) dz,x, y ∈ ∂D,(4.31)∂Dãäå γ ∈ S d−1 , k ∈ Rd \ (0 ∪ Eγ ∪ EV 0 ,γ ), k 2 = E ;f (k, l) = f 0 (k, l)+(2π)−dZ Zψ +,0 (x, −l)(Λ − ΛV 0 )(x, y, E)ψ + (y, k) dy dx,(4.32)∂D ∂Dãäå k , l ∈ Rd \ (0 ∪ E + ∪ EV+0 ), k 2 = l2 = E ,ψ + (x, k) = ψ +,0 (x, k) +ZA+ (x, y, k)ψ + (y, k) dy,x ∈ ∂D,(4.33)x, y ∈ ∂D,(4.34)∂DA+ (x, y, k) =ZR+,0 (x, z, k)(Λ − ΛV 0 )(z, y, E) dz,∂Dãäå k ∈ Rd \ (0 ∪ E + ∪ EV+0 ), k 2 = E .Êàê è â ñëó÷àå òåîðåìû 4.1, ìû ðàññìàòðèâàåì (4.26), (4.29) è (4.32) êàê ÿâíûå ôîðìóëû äëÿ íàõîæäåíèÿ h, hγ è f ïî îïåðàòîðó Λ(E)−ΛV 0 (E), èçâåñòíûì101ôóíêöèÿì h0 , h0γ , f 0 , ψ 0 , ψγ0 , ψ +,0 è ôóíêöèÿì ψ , ψγ , ψ + .

Ïðè ýòîì ôóíêöèèψ , ψγ è ψ + íàõîäÿòñÿ èç èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé (4.27), (4.30) è (4.33) ñîîòâåòñòâåííî. Òåîðåìà 4.3 äîêàçûâàåòñÿ ⠟4.3.  ñëåäóþùåé òåîðåìå ïðèâîäèòñÿêðèòåðèé ðàçðåøèìîñòè óðàâíåíèé (4.27), (4.30) è (4.33).Òåîðåìà 4.4. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 4.3 è ïóñòü β ∈ (0, 1).(A) Ïóñòü k ∈ Cd \ (Rd ∪ EV 0 ), k 2 = E . Òîãäà óðàâíåíèå (4.27) ÿâëÿåòñÿèíòåãðàëüíûì óðàâíåíèåì Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà îòíîñèòåëüíî ψ ∈C 1,β (∂D, Mn (C)), êîòîðîå îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìî òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà k 6∈ E .(B) Ïóñòü γ ∈ S d−1 , k ∈ Rd \ (0 ∪ EV 0 ,γ ), k 2 = E .

Òîãäà óðàâíåíèå (4.30)ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèåì Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà îòíîñèòåëüíî ψγ ∈ C 1,β (∂D, Mn (C)), êîòîðîå îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìî òîãäà èòîëüêî òîãäà, êîãäà k 6∈ Eγ .(C) Ïóñòü k ∈ Rd \ (0 ∪ EV+0 ), k 2 = E . Òîãäà óðàâíåíèå (4.33) ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèåì Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà îòíîñèòåëüíî ψ + ∈C 1,β (∂D, Mn (C)), êîòîðîå îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìî òîãäà è òîëüêî òîãäà,êîãäà k 6∈ E + .Òåîðåìà 4.4 äîêàçûâàåòñÿ ⠟4.4.4.3Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4.3Èíòåãðàëüíîå òîæäåñòâîÌû íà÷í¼ì äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4.3 ñ äîêàçàòåëüñòâà ñëåäóþùåãî èíòåãðàëüíîãî òîæäåñòâà:Zu0 (x)(Λ − ΛV 0 )(u|∂D )(x) dx∂DZ=DdX∂0u (x) −2iAj (x)+ V (x) − V0 (x) u(x) dx,∂xjj=1(4.35)102ãäå u è u0 äîñòàòî÷íî ðåãóëÿðíûå Mn (C)-çíà÷íûå ôóíêöèè â îáëàñòè D(íàïðèìåð, u, u0 ∈ C 2 (D) ∩ C 1 (D)), óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèÿì−∆u − 2idXAj (x)j=1∂u+ V (x)u = Eu,∂xj−∆u0 + V 0 (x)u0 = Ev 0 ,V 0 (x)u0 (x) = u0 (x)V 0 (x),x ∈ D,x ∈ D,x ∈ D.(4.36)(4.37)(4.38)Òîæäåñòâî (4.35) â ñëó÷àå n = 1, A = (A1 , .

. . , Ad ) = 0 âïåðâûå áûëî ïîëó÷åíî â ðàáîòå [9]. Îíî áûëî îáîáùåíî íà ñëó÷àé n ≥ 2, A = 0 â ðàáîòå [60].Òîæäåñòâî (4.35) ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì âòîðîé ôîðìóëû Ãðèíà. Ñëåäóþùàÿ öåïî÷êà ðàâåíñòâ äîêàçûâàåò (4.35):dX∂0u (x) −2i+ V (x) − V (x) u(x) dxAj (x)∂xjDj=1Z(4.36),(4.38)=====u0 (x)(∆ + E)u(x) − V 0 (x)u0 (x)u(x) dxDZ(4.37)==u0 (x)∆u(x) − ∆u0 (x)u(x) dxZD=u0 (x)(Λ − ΛV 0 )(u|∂D )(x) dx∂DZ +u0 (x)ΛV 0 (u|∂D )(x) − ΛV 0 (u0 |∂D )(x)u(x) dx∂DZ=u0 (x)(Λ − ΛV 0 )(u|∂D )(x) dxZ ∂D0000+u (x)V (x)eu(x) − V (x)u (x)eu(x) dxDZ(4.38)u0 (x)(Λ − ΛV 0 )(u|∂D )(x) dx,==Z0∂Dãäå ue ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (4.37) ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì ue|∂D = u|∂D .Ñèììåòðèè ôóíêöèé ψ 0 , ψγ0 , ψ +,0 è R0 , Rγ0 , R+,0d∞dÎáîçíà÷èì ÷åðåç L∞comp (R ) ìíîæåñòâî ôóíêöèé èç L (R ) ñ êîìïàêòíûì íîñèòåëåì.Ëåììà 4.1. Ïóñòü V 0 ∈ L∞ (Rd ) è ïóñòü V 0 óäîâëåòâîðÿåò ëèáî (4.16),comp103ëèáî (4.17).

Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:V 0 (x)ψ 0 (x, k) = ψ 0 (x, k)V 0 (x),(4.39)V 0 (x)R0 (x, y, k) = R0 (x, y, k)V 0 (x),(4.40)(4.41)R0 (x, y, k) = R0 (y, x, −k),ãäå x, y ∈ Rd , x 6= y , k ∈ Cd \ (Rd ∪ EV 0 ).Äîêàçàòåëüñòâî. Ìû íà÷í¼ì ñ äîêàçàòåëüñòâà ñâîéñòâà (4.39). Ïóñòü k ∈ Cd \(Rd ∪ EV 0 ) çàôèêñèðîâàíî.

Òîãäà óðàâíåíèå (3.15) ñ A = 0, V = V 0 îäíîçíà÷íîðàçðåøèìî îòíîñèòåëüíî ψ 0 = eikx µ0 , ãäå µ0 ∈ L∞ (Rd , Mn (C)).Ïðåäïîëîæèì, ÷òî V 0 óäîâëåòâîðÿåò (4.16).  ýòîì ñëó÷àå èç ôîðìóëû(3.15) ñëåäóåò, ÷òî ψ 0 (x, k) äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ïðè âñåõ x ∈ Rd . Ñëåäîâàòåëüíî, ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå (4.39).Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî V 0 óäîâëåòâîðÿåò (4.17), òàê ÷òî V 0 (x) = V 0 v 0 (x),x ∈ Rd . Ïóñòü U ∈ GLn (C) ïðèâîäèò V 0 ê íîðìàëüíîé ôîðìå:U V 0 U −1Λ1 · · · 0def== Λ =  ... . . . ...  ,0 · · · Λsλj0..Λj = .001λj...0001...00··· 0··· 0 .

. . .. .,··· 1 · · · λjãäå Λj ∈ Mnj (C), j = 1, . . . , s. Îïðåäåëèì ψ 0 = U ψ 0 U −1 . Òîãäà ψ 0 óäîâëåòâîðÿåòóðàâíåíèþψ 0 (x, k) = eikx Idn +ZG(x − y, k)Λv 0 (y)ψ 0 (y, k) dy.(4.42)RdÈç óñëîâèÿ k 6∈ EV 0 ñëåäóåò, ÷òî óðàâíåíèå (4.42) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.Îòñþäà âûòåêàåò, ÷òî ψ 0 èìååò áëî÷íî-äèàãîíàëüíóþ ôîðìó:ψ10 · · · 0ψ 0 =  ... . . . ...  ,0 · · · ψs0ãäå ψj0 (x) ∈ Mnj (C), x ∈ D, j = 1, . . . , s. Èç óðàâíåíèÿ (4.42) ñëåäóåò, ÷òî104ñïðàâåäëèâû è îäíîçíà÷íî ðàçðåøèìû ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ:ψj0 (x, k)ikx=eZIdnj +G(x − y, k)Λj v 0 (y)ψj0 (y, k) dy,(4.43)Rd0ýëåìåíò â ïîçèöèè (i, l) â ìàòðèöå ψj0 . Èçãäå j = 1, . .

. , s. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ψj,ilìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿ (4.43) ñëåäóåò óðàâíåíèå0ψj,il(x, k) = λjZ0G(x − y, k)v 0 (y)ψj,il(y, k) dy,i = nj , l < nj .(4.44)RdÏîêàæåì, ÷òî óðàâíåíèå (4.44) èìååò òîëüêî òðèâèàëüíîå ðåøåíèå. Ïðåäïîëîæèì, îò ïðîòèâíîãî, ÷òî ñóùåñòâóåò ðåøåíèå φ 6≡ 0 óðàâíåíèÿ (4.44). Òîãäà ìûìîæåì ïîñòðîèòü ðåøåíèå ψej0 óðàâíåíèÿ (4.43), îòëè÷íîå îò ðåøåíèÿ ψj0 , ïîëà0000+ φ è ψej,il= ψj,iläëÿ âñåõ îñòàëüíûõ i, l. Ýòî ïðîòèâîðå÷èò= ψj,11ãàÿ ψej,11îäíîçíà÷íîé ðàçðåøèìîñòè óðàâíåíèÿ (4.43). Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå (4.44)0èìååò òîëüêî òðèâèàëüíîå ðåøåíèå è ψj,il≡ 0 äëÿ âñåõ i = nj è l < nj .Çàïèñûâàÿ óðàâíåíèå (4.43) ïîêîìïîíåíòíî äëÿ ñòðîê ñ íîìåðàìè i = nj −1,0.

. . , 2 ìû ïîëó÷àåì ïî èíäóêöèè, ÷òî ψj,il≡ 0 ïðè i > l.Çàôèêñèðóåì i, l òàêèå, ÷òî i 6= l. Âû÷èòàÿ óðàâíåíèå (4.43) äëÿ ýëåìåíòàâ ïîçèöèè (l, l) èç óðàâíåíèÿ (4.43) äëÿ ýëåìåíòà â ïîçèöèè (i, i), ìû ïîëó÷èìóðàâíåíèåZ00ψj,ii(x, k) − ψj,ll(x, k) = λj00G(x − y, k)v 0 (y) ψj,ii(y, k) − ψj,ll(y, k) dy.RdÒàê êàê óðàâíåíèå (4.44) èìååò òîëüêî òðèâèàëüíîå ðåøåíèå, ìû ïîëó÷àåì, ÷òî00ψj,ii≡ ψj,ll.Òåïåðü çàôèêñèðóåì i, l òàêèå, ÷òî i 6= l, i > 1, l > 1.

Çàïèøåì óðàâíåíèå(4.43) äëÿ ýëåìåíòîâ â ïîçèöèÿõ (i − 1, i) è (l − 1, l) è âû÷òåì îäíî èç äðóãîãî.Ìû ïîëó÷èì óðàâíåíèå0ψj,i−1,i(x, k)−0ψj,l−1,l(x, k)ZG(x − y, k)×= λjRd0000×v 0 (y) ψj,i−1,i(y, k) − ψj,l−1,l(y, k) dy + ψj,ii(x, k) − ψj,ll(x, k).00Íî íàìè áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ψj,ii≡ ψj,llè ÷òî óðàâíåíèå (4.44) èìååò òîëüêî10500òðèâèàëüíîå ðåøåíèå. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ψj,i−1,i≡ ψj,l−1,l. Ïðîäîëæàÿ ýòóïðîöåäóðó, ïîëó÷èì, ÷òî ψj0 èìååò ñëåäóþùóþ âåðõíþþ òðåóãîëüíóþ ôîðìó:000ψj,11ψj,12ψj,1300 0 ψj,11ψj,12 ......ψj0 = .. .00 000000· · · ψj,1,n−1ψj,1n00· · · ψj,1,n−2ψj,1,n−1......

... .00· · · ψj,11ψj,120···0ψj,11Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ψj0 (x, k) êîììóòèðóåò ñ Λj ïðè âñåõ x ∈ Rd , j = 1, . . . , s.Ñëåäîâàòåëüíî, ψ 0 (x, k) êîììóòèðóåò ñ Λ è ψ(x, k) êîììóòèðóåò ñ V 0 ïðè âñåõx ∈ Rd . Ñîîòíîøåíèå (4.39) äîêàçàíî.Ôîðìóëà (4.40) äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì.Äîêàçàòåëüñòâî ôîðìóëû (4.41) â ñëó÷àå n = 1 ïðèâîäèòñÿ â ðàáîòå [58].Ýòî äîêàçàòåëüñòâî òàêæå ðàáîòàåò â ñëó÷àå n ≥ 2, åñëè V 0 óäîâëåòâîðÿåòëèáî (4.16), ëèáî (4.17).Çàìå÷àíèå 4.1.

Характеристики

Список файлов диссертации