Диссертация (1102653)
Текст из файла
Ìîñêîâñêèé îñóäàðñòâåííûé Óíèâåðñèòåò èì. Ì. Â. ËîìîíîñîâàÍà ïðàâàõ ðóêîïèñèÌåñÿö Àëåêñåé Èãîðåâè÷Çàäà÷è óïðàâëåíèÿ äëÿ ñèñòåì ñýëëèïñîèäàëüíîé äèíàìèêîé01.01.02 äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿÄèññåðòàöèÿ íà ñîèñêàíèå ó÷åíîé ñòåïåíè êàíäèäàòàèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóêÍàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü äîêòîðèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê,àêàäåìèê ÀÍ À. Á.
ÊóðæàíñêèéÌîñêâà, 2015 ã.ÎãëàâëåíèåÂâåäåíèå4Ñïèñîê îáîçíà÷åíèé1214åøåíèå ëèíåéíî-êâàäðàòè÷íîé çàäà÷è ÷åðåç âûòÿãèâàíèå ââåêòîðà171.1Ïîñòàíîâêà çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181.2åøåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . .191.3Âîçâðàùåíèå ê ìàòðè÷íûì îáîçíà÷åíèÿì . . . . . . . . . . . . . .22åøåíèå ëèíåéíî-êâàäðàòè÷íîé çàäà÷è îïåðàòîðíûì ìåòîäîì 262.1Ïîñòàíîâêà çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272.2Ëèíåéíûå îïåðàòîðû íàä ìàòðè÷íûìè ïðîñòðàíñòâàìè . . . . . .282.3åøåíèå çàäà÷è .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .332.3.1åøåíèå ïðè îòñóòñòâèè àçîâûõ îãðàíè÷åíèé . . . . . . .332.3.2åøåíèå ïðè íàëè÷èè àçîâûõ îãðàíè÷åíèé . . . . . . . .372.42.5Ñðàâíåíèå âû÷èñëèòåëüíîé ñëîæíîñòè ñ ðåøåíèåì ÷åðåç âûòÿãèâàíèå â âåêòîð äëÿ ñèñòåì áîëüøîé ðàçìåðíîñòè . . . . . . . . . .41×èñëåííûå ïðèìåðû . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .442.5.1Ïåðâûé ïðèìåð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .452.5.2Âòîðîé ïðèìåð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46232.5.3Òðåòèé ïðèìåð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .482.5.4×åòâ¼ðòûé ïðèìåð . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .49Îïåðàòîðíûå ìåòîäû äëÿ çàäà÷ ñ ãåîìåòðè÷åñêèìè îãðàíè÷åíèÿìè3.152Çàäà÷à ñ ãåîìåòðè÷åñêèìè îãðàíè÷åíèÿìè. . . . . . . . . . . . .533.1.1Ïîñòàíîâêà çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .533.1.2åøåíèå . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .543.2Âèçóàëèçàöèÿ ìàòðè÷íûõ ìíîæåñòâ . . . . . . . . . . . . . . . . .573.3×èñëåííûé ïðèìåð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .643.4Ýëëèïñîèäàëüíûå îöåíêè ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè . . . . . . . .663.4.1Ïîñòàíîâêà çàäà÷è . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .663.4.2Îðòîãîíàëüíûå è ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííûå îïåðàòîðûâ ïðîñòðàíñòâàõ ìàòðèö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .673.4.3Âíåøíèå îöåíêè ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè . . . . . . . . .693.4.4Âíóòðåííèå îöåíêè ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè . . . . . . .
.723.4.5Ìíîæåñòâî ðàçðåøèìîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . .743.4.6×èñëåííûé ïðèìåð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .763.4.7Ñðàâíåíèå âû÷èñëèòåëüíîé ñëîæíîñòè . . . . . . . . . . . .763.5Çàäà÷à ðåêîíèãóðàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .793.6×èñëåííûé ïðèìåð .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .833.7Çàäà÷à ðàçäåëåíèÿ êîíòåéíåðà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .853.8×èñëåííûé ïðèìåð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89Çàêëþ÷åíèå93Ëèòåðàòóðà953ÂâåäåíèåÍàñòîÿùàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ çàäà÷ óïðàâëåíèÿ äëÿ ñèñòåì ñìíîãîçíà÷íûìè òðàåêòîðèÿìè, âûðàæåííûõ â âèäå ýëëèïñîèäàëüíûõ òðóáîê.Ïîäîáíûå ïîñòàíîâêè âîçíèêàþò âî ìíîãèõ àêòóàëüíûõ çàäà÷àõ òåîðèè óïðàâëåíèÿ.Îäíîé èç êëþ÷åâûõ çàäà÷ òåîðèè óïðàâëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à äîñòèæè-ìîñòè, â êîòîðîé òðåáóåòñÿ îïèñàòü ìíîæåñòâî âñåõ òåðìèíàëüíûõ ñîñòîÿíèé,êîòîðûå ñèñòåìà ìîæåò äîñòè÷ü ê çàäàííîìó ìîìåíòó âðåìåíè èç ìíîæåñòâàíà÷àëüíûõ ñîñòîÿíèé, èñïîëüçóÿ äîïóñòèìûå óïðàâëåíèÿ.
Ñîïðÿæåííîé ê íåéÿâëÿåòñÿ çàäà÷à ðàçðåøèìîñòè çàäà÷à îòûñêàíèÿ âñåõ íà÷àëüíûõ ñîñòîÿíèéñèñòåìû, ñòàðòóÿ èç êîòîðûõ, ñèñòåìà ìîæåò ïðè ïîìîùè äîïóñòèìûõ óïðàâëåíèé ïîïàñòü â òåðìèíàëüíûé ìîìåíò íà çàðàíåå çàäàííîå öåëåâîå ìíîæåñòâî.Ïðè ðåøåíèè ýòèõ çàäà÷ îñóùåñòâëÿåòñÿ ïåðåõîä îò ðàññìîòðåíèÿ îòäåëüíûõòðàåêòîðèé ê àíàëèçó àíñàìáëåé òðàåêòîðèé, çàäàþùèõ ìíîãîçíà÷íóþ äèíàìèêó èññëåäóåìûõ ñèñòåì. Ýâîëþöèÿ òàêèõ àíñàìáëåé ïðèâîäèò ê àíàëèçó òðóáîêäîñòèæèìîñòè è ðàçðåøèìîñòè ìíîãîçíà÷íûõ îòîáðàæåíèé, ñå÷åíèÿ êîòîðûõâ êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè áóäóò ÿâëÿòüñÿ ìíîæåñòâàìè äîñòèæèìîñòè è ðàçðåøèìîñòè, ñîîòâåòñòâåííî. Èçó÷åíèåì äèíàìèêè ïîäîáíûõ òðóáîê çàíèìàåòñÿòåîðèÿ òðóáîê òðàåêòîðèé [47, 48, 8℄.Çàäà÷è äîñòèæèìîñòè è ðàçðåøèìîñòè íå ÿâëÿþòñÿ îïòèìèçàöèîííûìè çàäà÷àìè, îäíàêî èì ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå çàäà÷è îïòèìèçàöèè, êî-4òîðûå îáåñïå÷èâàþò ðåãóëÿðíûå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ ðåøåíèé.
Ýåêòèâíûìîáùèì ïîäõîäîì äëÿ ðåøåíèÿ òàêèõ çàäà÷ ÿâëÿåòñÿ ìåòîä äèíàìè÷åñêîãî ïðî-ãðàììèðîâàíèÿ, ðàçðàáîòàííûé . Áåëëìàíîì [15, 16℄, è îïèðàþùèéñÿ íà ãàìèëüòîíîâ îðìàëèçì. Äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ ýòîãî ìåòîäà íåîáõîäèìî ââåñòè ñîîòâåòñòâóþùèì îáðàçîì ïîçèöèþ ñèñòåìû ìèíèìàëüíûé íàáîð ïàðàìåòðîâ,îáåñïå÷èâàþùèé âûïîëíåíèå ïðèíöèïà îïòèìàëüíîñòè, âûðàæåííîãî â âèäå ïîëóãðóïïîâîãî ñâîéñòâà äëÿ óíêöèè öåíû. Ïîñòðîåíèå òðóáîê ðàçðåøèìîñòèïîçâîëÿåò íàõîäèòü ñèíòåçèðóþùåå óïðàâëåíèå ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ýêñòðåìàëüíîãî ïðèöåëèâàíèÿ Í.
Í. Êðàñîâñêîãî [63℄.Äàæå â ïðîñòåéøèõ ñèòóàöèÿõ ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè è ðàçðåøèìîñòèìîãóò èìåòü äîâîëüíî ñëîæíóþ ñòðóêòóðó. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ àíàëèçà äèíàìèêè òðóáîê äî êîíöà, òî åñòü äî ïðàêòè÷åñêè ðåàëèçóåìûõ àëãîðèòìîâ, ïðèìåíÿåòñÿ ýëëèïñîèäàëüíîå èñ÷èñëåíèå.  ðàáîòàõ À. Á. Êóðæàíñêîãî áûëè ïîñòðîåíû ïàðàìåòðèçîâàííûå ñåìåéñòâà ýëëèïñîèäàëüíûõ òðóáîê, ïîçâîëÿþùèåñêîíñòðóèðîâàòü âíåøíèå è âíóòðåííèå îöåíêè òðóáîê äîñòèæèìîñòè äëÿ ñèñòåì ñ íåîïðåäåë¼ííîñòüþ [1, 53℄. Òàêèå îöåíêè îáëàäàþò ðÿäîì çàìå÷àòåëüíûõñâîéñòâ:1.
îíè áóäóò òóãèìè, ò.å. îíè áóäóò êàñàòüñÿ òî÷íîãî ìíîæåñòâà âäîëü íåêîòîðîé êðèâîé;2. îíè äîïóñêàþò ðåêêóðåíòíóþ çàïèñü â âèäå ñèñòåì äèåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé íà ïàðàìåòðû ýëëèïñîèäîâ, ïîçâîëÿþùóþ ýåêòèâíî ïåðåñ÷èòûâàòü íîâûå îöåíêè íà îñíîâå óæå ïîëó÷åííûõ áåç äîïîëíèòåëüíûõðàñ÷¼òîâ;3. ïðè ñòðåìëåíèè ÷èñëà îöåíîê ê áåñêîíå÷íîñòè îíè çàìåòàþò âñ¼ îöåíèâàåìîå ìíîæåñòâî;4. îöåíêè, îòâå÷àþùèå ðàçëè÷íûì çíà÷åíèÿì ïàðàìåòðà, ìîãóò áûòü ïîñ÷è5òàíû íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà, äîïóñêàÿ âûñîêóþ ñòåïåíü ïàðàëëåëèçìàâ âû÷èñëåíèÿõ, ïîçâîëÿÿ èñïîëüçîâàòü ñóïåðêîìïüþòåðíûå âû÷èñëåíèÿ[49℄.×èñëåííûå àëãîðèòìû, ðåàëèçóþùèå ïîñòðîåíèå òàêèõ îöåíîê, ðåàëèçîâàíû âïðîãðàììíîì ïàêåòå Ellipsoidal Toolbox äëÿ âû÷èñëèòåëüíîé ñðåäû Matlab[14℄.
Íà îñíîâå ïîëó÷åííûõ òàêèì îáðàçîì âíóòðåííèõ îöåíîê ìíîæåñòâà ðàçðåøèìîñòè ìîæíî ñòðîèòü ñèíòåçèðóþùèå óïðàâëåíèÿ ìåòîäîì ýëëèïñîèäàëüíîãî ñèíòåçà [1, 50℄.Äðóãèì âîçìîæíûì ïîäõîäîì äëÿ îöåíèâàíèÿ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå âìåñòî òðóáêè åäèíñòâåííîé ýëëèïñîèäàëüíîé àïïðîêñèìàöèè,óäîâëåòâîðÿþùåé êàêîìó-ëèáî çàäàííîìó êðèòåðèþ îïòèìàëüíîñòè (íàïðèìåð,ìèíèìàëüíîñòü îáú¼ìà èëè ñëåäà ìàòðèöû êîíèãóðàöèé) [24℄.Íåâûðîæäåííûé ýëëèïñîèä â Rn îïèñûâàåòñÿ äâóìÿ ïàðàìåòðàìè, öåíòðîì,q , è ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöåé êîíèãóðàöèé, Q == Q′ > 0 :E (q, Q) = {x ∈ Rn : x − q, Q−1(x − q) 6 1},ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå äèíàìèêó ýëëèïñîèäàëüíûõ òðóáîêE (q(t), Q(t)), òàêæå ñîäåðæàò äâå êîìïîíåíòû: âåêòîðíóþ äëÿ q(t) è ìàòðè÷-íóþ äëÿ Q(t).
 ýëëèïñîèäàëüíîì èñ÷èñëåíèè óðàâíåíèå íà ìàòðèöó Q áóäåòóðàâíåíèåì èêêàòè. Ìàòðè÷íûå óðàâíåíèÿ èêêàòè àêòèâíî ïðèìåíÿþòñÿ âîìíîãèõ ðàçäåëàõ òåîðèè óïðàâëåíèÿ [22, 23℄. Êðîìå òîãî, ìàòðè÷íûå àçîâûåïåðåìåííûå òàêæå âñòðå÷àþòñÿ â çàäà÷àõ îïòèìèçàöèè íàáëþäåíèé [28℄.Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à óïðàâëåíèÿ ñèñòåìàìè ñ ìàòðè÷íîé àçîâîé ïåðåìåííîé åñòåñòâåííî âûòåêàåò èç îáùåé òåîðèè òðóáîê òðàåêòîðèé.Âàæíûì ïðèìåðîì èñïîëüçîâàíèÿ óïðàâëÿåìûõ ýëëèïñîèäàëüíûõ òðóáîêÿâëÿþòñÿ çàäà÷è ãðóïïîâîãî (êîëëåêòèâíîãî) óïðàâëåíèÿ.
 òàêèõ çàäà÷àõ ðàññìàòðèâàåòñÿ ãðóïïà îäíîðîäíûõ (ñõîæèõ) àãåíòîâ, êîòîðûì, âçàèìîäåéñòâóÿ6äðóã ñ äðóãîì, íàäî âûïîëíèòü íåêîòîðóþ îáùóþ çàäà÷ó. Òàêèå ñèñòåìû ïîëó÷àþò âñå áîëüøåå ðñïðîñòðàíåíèå íà ïðàêòèêå â çàäà÷àõ èññëåäîâàíèÿ ìîðñêîãî äíà è êàðòîãðàèðîâàíèÿ [65, 66, 67, 68℄.  ðàáîòàõ [2, 3, 4℄ ïîñòàâëåíàçàäà÷à ñèíòåçà öåëåâûõ óïðàâëåíèé äëÿ ãðóïïû àãåíòîâ, êîòîðûì íåîáõîäèìîäîñòè÷ü öåëåâîãî ìíîæåñòâà, èçáåãàÿ ñòîëêíîâåíèé äðóã ñ äðóãîì è âíåøíèìèïðåïÿòñòâèÿìè, íàõîäÿñü ïðè ýòîì âíóòðè âèðòóàëüíîãî ýëëèïñîèäàëüíîãî êîí-òåéíåðà.
åøåíèå ïðè ýòîì ñòðîèòñÿ â äâà ýòàïà. Ñíà÷àëà ðàññ÷èòûâàåòñÿ âèðòóàëüíîå äâèæåíèå ýëëèïñîèäàëüíîãî êîíòåéíåðà, êîòîðûé, ïðîèçâîäÿ ðåêîí-èãóðàöèþ, îñóùåñòâëÿåò èçáåæàíèå ñòîëêíîâåíèé ñ âíåøíèìè ïðåïÿòñòâèÿìè,ïîñëå ÷åãî íàõîäÿòñÿ ñèíòåçèðóþùèå óïðàâëåíèÿ äëÿ àãåíòîâ âíóòðè êîíòåéíåðà, äëÿ êîòîðûõ îí ñëóæèò âíåøíèì àçîâûì îãðàíè÷åíèåì. Èñïîëüçîâàíèåýëëèïñîèäàëüíîãî êîíòåéíåðà ïîçâîëÿåò ãàðàíòèðîâàòü âûïîëíåíèå êîìàíäíî-ãî ñâîéñòâà äëÿ ãðóïïû.
Ñïåöèèêà òàêîé çàäà÷è íàêëàäûâàåò ðÿä àçîâûõîãðàíè÷åíèé íà ìàòðèöó êîíèãóðàöèé êîíòåéíåðà: òàê, îòâå÷àþùèé åé ýëëèïñîèä íå äîëæåí áûòü ñëèøêîì áîëüøèì, ÷òîáû îáõîäèòü ïðåïÿòñòâèÿ, è, êðîìåòîãî, îí íå ìîæåò áûòü ñëèøêîì ìàëåíüêèì, èíà÷å àãåíòû âíóòðè íåãî íå ïîìåñòÿòñÿ. Òàêèå îãðàíè÷åíèÿ ìîæíî ó÷èòûâàòü â âèäå íåðàâåíñòâ íà ñîáñòâåííûå÷èñëà àçîâîé ìàòðèöû.Çàäà÷à óïðàâëåíèÿ ñèñòåìàìè ñ ìàòðè÷íûìè àçîâûìè òðàåêòîðèÿìè ðàññìàòðèâàëàñü È.
Â. ×åáóíèíûì â ðàáîòå [21℄.  íåé èññëåäîâàëîñü óðàâíåíèåèêêàòè [22, 23℄,Ṗ (t) = AP (t) + P A′ (t) + M(t) − P (t)B ′ N (t)BP (t), P (t0 ) = P0 > 0,(1)ãäå P (t) ∈ Rn×n àçîâàÿ ìàòðèöà, M(t) ∈ Rn×n è N (t) ∈ Rm×m ìàòðè÷-íûå óïðàâëåíèÿ. Òðåáîâàëîñü íàéòè ïàðó {M(t), N (t)}, êîòîðàÿ ïåðåâîäèëà áûñèñòåìó â ìîìåíò t1 â çàäàííóþ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííóþ ìàòðèöó P ∗ . Âñòàòüå áûëè ïîëó÷åíû óñëîâèÿ óïðàâëÿåìîñòè óðàâíåíèÿ (1) äëÿ äâóõ ñëó÷àåâ:êîãäà óïðàâëåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíîé ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöåé è êîãäà îíî7îáÿçàíî áûòü íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåë¼ííîé ìàòðèöåé. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåçóëüòàòîâ èññëåäóåìàÿ ñèñòåìà ñâîäèëàñü ê âåêòîðíîé ñ ïîìîùüþ îïåðàöèè âûòÿãèâàíèÿ ìàòðèö â âåêòîðà ñ èñïîëüçîâàíèåì òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ Êðîíåêåðà[29, 30, 31, 32℄.Öåëüþ íàñòîÿùåé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ ïðîâåñòè äàëüíåéøèå èññëåäîâàíèÿ ñèñòåì ñ ìàòðè÷íîé àçîâîé ïåðåìåííîé.
Òàêîå èññëåäîâàíèå, ñ îäíîé ñòîðîíû,äîëæíî ó÷èòûâàòü ìàòðè÷íóþ ñïåöèèêó çàäà÷è, à ñ äðóãîé äîïóñêàòü àäàïòàöèþ ïðåäëîæåííûõ ðåçóëüòàòîâ äëÿ ïðîâåäåíèÿ ðåàëüíûõ âû÷èñëåíèé äëÿñèñòåì ïîòåíöèàëüíî áîëüøîé ðàçìåðíîñòè.Ïåðåéä¼ì ê îïèñàíèþ ñòðóêòóðû äèññåðòàöèè. ïåðâîì ðàçäåëå ïåðâîé ãëàâû ðàññìàòðèâàåòñÿ ëèíåéíî-êâàäðàòè÷íàÿçàäà÷à óïðàâëåíèÿ äëÿ ñèñòåìû, îïèñûâàåìîé ëèíåéíûì ìàòðè÷íûì óðàâíåíèåìQ̇(t) = T (t)Q(t) + Q(t)T ′(t) + B(t)U (t)B ′(t), Q(t0) = Q0,(2)ãäå Q ∈ Rn×n ìàòðè÷íàÿ àçîâàÿ ïåðåìåííàÿ, U ∈ Rm×m ìàòðè÷íîå ïîçè-öèîííîå óïðàâëåíèå, Q0 èçâåñòíîå íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå ñèñòåìû. Òðåáóåòñÿìèíèìèçèðîâàòü èíòåãðàëüíûé óíêöèîíàë íà òðàåêòîðèÿõ ñèñòåìû,Ψ(U (·)) =Zθt0hU (t, Q(t)), U (t, Q(t))i dt + hQ(θ) − M, D(Q(θ) − M)i .(3)Çäåñü M, D = D′ > 0 èçâåñòíûå ìàòðèöû.
Ïðèìåíÿÿ îïåðàöèþ âûòÿãèâàíèÿ ìàòðèöû ïî ñòðîêàì â ñòîëáåö, (·) : Rn×m → Rnm , âî âòîðîìðàçäåëåýòàçàäà÷à ñâîäèòñÿ, ïîäîáíî ðàáîòå [21℄, ê âåêòîðíîé. Ïîëó÷åííàÿ çàäà÷à çàòåìðåøàåòñÿ êëàññè÷åñêèìè ìåòîäàìè äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ [5, 60℄.Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ïðîèçâåäåíèÿ Êðîíåêåðà, óñòàíàâëèâàåòñÿ, ÷òî äëÿ âåêòîðíîé çàäà÷è ìîæíî ïîëó÷èòü ÿâíûå îðìóëû äëÿ ðåøåíèÿ, îäíàêî îêàçûâàåòñÿ,÷òî ïåðåéòè îò ïîëó÷åííûõ â èòîãå âåêòîðíûõ îðìóë îáðàòíî ê ìàòðè÷íûì8îáîçíà÷åíèÿì çàäà÷à áîëåå ñëîæíàÿ ÷åì íåïîñðåäñòâåííûé ïðÿìîé ïåðåõîäîò èñõîäíûõ ìàòðè÷íûõ îáîçíà÷åíèé ê ïðîìåæóòî÷íûì âåêòîðíûì. òðåòüåìðàçäåëåïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî àíàëîã îðìóëû, èñïîëüçóåìîé ïðèèñõîäíîì ïåðåõîäå, âîîáùå ãîâîðÿ, íå èìååò ìåñòà äëÿ ïåðåõîäà îáðàòíîãî, èóêàçûâàåòñÿ êëàññ ñèñòåì, äëÿ êîòîðûõ òàêîé ïåðåõîä âîçìîæåí.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
