Диссертация (1102653), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Âñòà¼ò âîïðîñî ñîõðàíåíèè ìàòðè÷íîé ñòðóêòóðû íà ïðîòÿæåíèè âñåãî ðåøåíèÿ.Âïåðâîì ðàçäåëå âòîðîé ãëàâûâíîâü ðàññìàòðèâàåòñÿ ëèíåéíî-êâà-äðàòè÷íàÿ çàäà÷à (2), (3), íî òåïåðü å¼ ðåøåíèå ñòðîèòñÿ áåç âûõîäà èç êëàññàìàòðèö. Äëÿ ýòîãî, îòòàëêèâàÿñü îò èäåé òåíçîðíîãî àíàëèçà [39, 40, 41℄, âîâòîðîì ðàçäåëåïðåäëàãàåòñÿ ñïåöèàëüíàÿ îðìà çàïèñè äåéñòâèÿ ëèíåéíûõîïåðàòîðîâ íàä ìàòðè÷íûìè ïðîñòðàíñòâàìè. Êàê èçâåñòíî, äåéñòâèå ëèíåéíîãî îïåðàòîðà íàä Rn îäíîçíà÷íî çàäà¼òñÿ çàäàíèåì îáðàçà áàçèñà ïðîñòðàíñòâà.Åñëè ýòè îáðàçû ¾ñêëåèòü¿, òî ïîëó÷èòñÿ ìàòðèöà ëèíåéíîãî îïåðàòîðà.

Ïðîâîäèòñÿ â ÷¼ì-òî àíàëîãè÷íàÿ ïðîöåäóðà äëÿ ìàòðè÷íûõ îïåðàòîðîâ: äåéñòâèåîïåðàòîðà A íà áàçèñå {E ij }ni,j=1 ìàòðè÷íîãî ïðîñòðàíñòâà, A = {AE ij }ni,j=1 , èáóäåò àíàëîãîì ìàòðèöû îïåðàòîðà â âåêòîðíîì ñëó÷àå. Ýòè îáúåêòû â äàëüíåøéåì íàçûâàþòñÿ ïðåäñòàâëåíèÿìè ìàòðè÷íûõ îïåðàòîðîâ. Çäåñü æå ñòðîÿòñÿïðàâèëà íàõîæäåíèÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ îïåðàòîðîâ è ïðåäñòàâëåíèÿñîïðÿæåííîãî îïåðàòîðà, à òàêæå èññëåäóåòñÿ èõ âçàèìîñâÿçü ñ êëàññè÷åñêîéòåîðèåé îïåðàòîðîâ.Êëþ÷åâûì ìîìåíòîì çäåñü ÿâëÿåòñÿ óêàçàíèå ñïîñîáà ñâåäåíèÿ çàäà÷è íàõîæäåíèÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ îïåðàòîðîâ ê ìàòðè÷íîìó óìíîæåíèþ.Ýòî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü íà ïðàêòèêå èçâåñòíûå àëãîðèòìû äëÿ íàõîæäåíèÿïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö, èìåþùèå õîðîøóþ àëãîðèòìè÷åñêóþ ñëîæíîñòü [73, 74℄.Áîëåå òîãî, èìåÿ êîíêðåòíûé àëãîðèòì óìíîæåíèÿ ìàòðèö, ìîæíî ïîäîáðàòüïîä íåãî ñïåöèàëüíûé ñïîñîá îòîæäåñòâëåíèÿ ïðåäñòàâëåíèé ñ ìàòðèöàìè, ýåêòèâíûé èìåííî äëÿ ýòîãî àëãîðèòìà.9 òðåòüåìðàçäåëåñòðîèòñÿ ðåøåíèå çàäà÷è (2),(3) ÷åðåç ïðåäñòàâëåíèÿ ñèñïîëüçîâàíèåì âñïîìîãàòåëüíûõ ìàòðè÷íûõ îïåðàòîðîâ.

Îïåðàòîðíàÿ çàäà÷àçàòåì ðåøàåòñÿ ìåòîäîì äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, ïîñëå ÷åãî ïîëó÷åííîå ðåøåíèå ïåðåïèñûâàåòñÿ îáðàòíî â ìàòðè÷íóþ îðìó. Êðîìå òîãî, âýòîì ðàçäåëå çàäà÷à ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðè íàëè÷èè äîïîëíèòåëüíûõ àçîâûõîãðàíè÷åíèé,λ2− 6 hQ, Qi 6 λ2+ , 0 < λ− < λ+ ,ãäå λ− , λ+ èçâåñòíûå êîíñòàíòû. Ýòè íåðàâåíñòâà îãðàíè÷èâàþò âîçìîæíûéðàçìåð ýëëèïñîèäà ñ ìàòðèöåé êîíèãóðàöèé Q(t) øàðàìè ðàäèóñîâ λ− è λ+ñíèçó è ñâåðõó ñîîòâåòñòâåííî. Èñïîëüçóÿ ìåòîä øòðàíûõ óíêöèé, ââîäèòñÿíîâàÿ óíêöèÿ öåíû è ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî çàäà÷ó ìîæíî ñâåñòè ê îïòèìèçàöèè ïî ïàðàìåòðè÷åñêîìó ñåìåéñòâó çàäà÷, àíàëîãè÷íûõ ïî îðìå çàäà÷å áåçàçîâûõ îãðàíè÷åíèé.Èçëîæåííàÿ â ýòîé ãëàâå ñõåìà ðåøåíèÿ ìàòðè÷íîé çàäà÷è íîñèò îáùèéõàðàêòåð è ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ñëåäóþùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòèäåéñòâèé:1.

Çàïèñàòü èñõîäíóþ çàäà÷ó â îïåðàòîðíîì âèäå;2. Íàéòè ïðåäñòàâëåíèÿ îïåðàòîðîâ, âõîäÿùèõ â çàäà÷ó;3. åøèòü îïåðàòîðíóþ çàäà÷ó (å¼ ðåøåíèå àíàëîãè÷íî ðåøåíèþ âåêòîðíîéçàäà÷è);4. Âåðíóòüñÿ ê ìàòðè÷íûì îáîçíà÷åíèÿì, èñïîëüçóÿ îðìóëû äëÿ ïðåäñòàâëåíèé îïåðàòîðîâ.Â÷åòâåðòîì ðàçäåëåïðîâîäèòñÿ ñðàâíåíèå âû÷èñëèòåëüíîé ñëîæíîñòèìåòîäîâ èç ïåðâîé è âòîðîé ãëàâ ÷åðåç ÷èñëî àðèìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé, òðåáóåìûõ ïðè âû÷èñëåíèè ïîëó÷åííûõ ðàçíûìè ñïîñîáàìè îðìóë. Îêàçûâàåòñÿ,10÷òî îïåðàòîðíûé ìåòîä ýåêòèâíåå ìåòîäà ÷åðåç âûòÿãèâàíèå. Ýòî ïðîèñõîäèò ïîòîìó, ÷òî îí ïîçâîëÿåò â ÿâíîì âèäå èñïîëüçîâàòü ìàòðè÷íóþ ñïåöèèêóçàäà÷è è èçáåæàòü òåì ñàìûì ÷àñòè ëèøíèõ âû÷èñëåíèé, âîçíèêàþùèõ èç-çàâåêòîðèçàöèè. òðåòüåé ãëàâå ïðåäëîæåííûé ïîäõîä çàïèñè ìàòðè÷íûõ îïåðàòîðîâ ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ íåñêîëüêèõ çàäà÷ ñ ãåîìåòðè÷åñêèìè (¾æ¼ñòêèìè¿) îãðàíè÷åíèÿìè íà óïðàâëåíèå.Âïåðâîì ðàçäåëåðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à ðàçðåøèìîñòè äëÿ ñèñòåìû ñãåîìåòðè÷åñêèì îãðàíè÷åíèåì íà óïðàâëåíèå,hU (t), U (t)i 6 µ2 äëÿ âñåõ t ∈ [t0, θ].è èùåòñÿ ïîçèöèîííîå óïðàâëåíèå, îáåñïå÷èâàþùåå äîñòèæåíèå ñèñòåìîé â òåðìèíàëüíûé ìîìåíò θ öåëåâîãî ìíîæåñòâà:hQ(θ) − M, D(Q(θ) − M)i 6 1.Çàäà÷à ðåøàåòñÿ ìåòîäîì äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ÷åðåç ñâåäåíèå å¼ê ïàðàìåòðè÷åñêîìó ñåìåéñòâó ëèíåéíî-êâàäðàòè÷íûõ çàäà÷.Âî âòîðîì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàåòñÿ âîïðîñ î âèçóàëèçàöèè ìàòðè÷íûõ ìíîæåñòâ âñâÿçè ñ ïåðåõîäîì îò ðàññìîòðåíèÿ èçîëèðîâàííûõ ìàòðè÷íûõ òðàåêòîðèé ê ïðîèçâîëüíûì âûïóêëûì ìíîæåòâàì â ïðîñòðàíñòâå ìàòðèö.

Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ìíîæåñòâà A â ïðîñòðàíñòâå ìàòðèö ââîäèòñÿ ìíîæåñòâîM (A) =[Q∈AE (0, Q) ⊂ Rn .Ýòî ìíîæåñòâî ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü íàãëÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå î ìíîæåñòâå A,ïðè ýòîì áóäó÷è ðàçìåðíîñòè n, â òî âðåìÿ êàê ñàìî A ïðè ýòîì ÿâëÿåòñÿn(n−1)2ìåðíûì. Äàëåå â ýòîì ðàçäåëå èñëëåäóþòñÿ ñâîéñòâà ìíîæåñòâà M (A) â ñëó÷àåâûïóêëîñòè A.  ÷àñòíîñòè, äîêàçûâàåòñÿ âûïóêëîñòü M (A), è ïðèâîäèòñÿ ÿâíàÿ îðìóëà äëÿ îïîðíîé óíêöèè ρ (l, M (A)). Êðîìå òîãî, óêàçûâàåòñÿ ÿâíûé11âèä ìíîæåñòâà M (A) äëÿ ìíîãîãðàííèêîâ è øàðîâ â ïðîñòðàíñòâå ìàòðèö èóêàçûâàåòñÿ ÷èñëåííûé àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ìíîæåñòâ M (A) íà ïðàêòèêå. òðåòüåì ðàçäåëå ïðèâîäèòñÿ ïðèìåð ïðèìåíåíèÿ ïðåäëîæåííûõ ìåòîäîâäëÿ ïîñòðîåíèÿ ìíîæåñòâà ðàçðåøèìîñòè, îïèñàííîãî âî âòîðîì ðàçäåëå.Â÷åòâ¼ðòîìðàçäåëå ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìà ñ ãåîìåòðè÷åñêèìè îãðàíè-÷åíèÿìè íà óïðàâëåíèå è íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå:Q̇(t) = T (t)Q(t) + Q(t)T ′(t) + B(t)U (t)B ′(t),Q(t0) ∈ E Q0, Q0 ,U (t) ∈ E (P (t), P(t)) ,è ñòàâèòñÿ çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ ýëëèïñîèäàëüíîé (â ïðîñòðàíñòâå ìàòðèö) îöåíêè ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè äëÿ òàêîé ñèñòåìû.

Ââòîðîì ïîäðàçäåëåýòàîöåíêà ñòðîèòñÿ ïî àíàëîãèè ñ âåêòîðíûì ñëó÷àåì [1, 53℄ ñ ó÷åòîì îðìóë äëÿïðåäñòàâëåíèé, ïîëó÷åííûõ âî âòîðîé ãëàâå. Âûâîäÿòñÿ ÿâíûå îðìóëû äëÿöåíòðà è îïåðàòîðà êîíèãóðàöèé îöåíêè. Âòðåòüåì ïîäðàçäåëåïîäîáíûåïîñòðîåíèÿ îñóùåñòâëÿþòñÿ äëÿ ìíîæåñòâ ðàçðåøèìîñòè, ÷òî íåîáõîäèìî äëÿðåøåíèÿ çàäà÷è ýëëèïñîèäàëüíîãî ñèíòåçà. ÷åòâåðòîì ïîäðàçäåëå ïðîèçâîäèòñÿ ñðàâíåíèå àëãîðèòìè÷åñêîé ñëîæíîñòè ïîëó÷åííîãî ðåøåíèÿ ñ ðåøåíèåì ÷åðåç âûòÿãèâàíèå. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òîõîòÿ îáà àëãîðèòìà èìåþò îäèíàêîâóþ àñèìïòîòèêó, ïðåäëàãàåìûé îïåðàòîðíûé àëãîðèòì íà ïðàêòèêå îêàçûâàåòñÿ áûñòðåå.Âïÿòîì ïîäðàçäåëåïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ ðåøåíèÿçàäà÷è ðåêîíèãóðàöèè ýëëèïñîèäàëüíîãî êîíòåéíåðà. Ýòà çàäà÷à ïðîèñõîäèòèç òåîðèè ãðóïïîâîãî óïðàâëåíèÿ [3, 4℄.

 íåé ìàòðè÷íîçíà÷íîå äâèæåíèå çàäà¼ò âèðòóàëüíûé ýëëèïñîèäàëüíûé êîíòåéíåð, êîòîðûé âûñòóïàåò â êà÷åñòâåýòàëîííîãî äâèæåíèÿ äëÿ ãðóïïû îáúåêòîâ: åìó òðåáóåòñÿ, îñóùåñòâëÿÿ íåîáõîäèìîå äëÿ òîãî èçìåíåíèå ñâîåé îðìû, ïåðåìåñòèòüñÿ èç íà÷àëüíîé ïîçèöèè,12èçáåãàÿ ñòîëêíîâåíèÿ ñ ïðåïÿòñòâèÿìè, íà çàðàíåå çàäàííîå öåëåâîå ìíîæåñòâî.

 ðàçäåëå ïðèâîäèòñÿ ïðèìåð ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ðåêîíèãóðàöèè ýëëèïñîèäàëüíîãî êîíòåéíåðà íà ïëîñêîñòè ïðè íàëè÷èè äâóõ ïðåïÿòñòâèé.Ïðèâîäèòñÿ âû÷èñëèòåëüíûé ïðèìåð. øåñòîì ïîäðàçäåëå ïðèâîäèòñÿ ðåøåíèå çàäà÷è ðàçáèåíèÿ êîíòåéíåðà.åçóëüòàòû äèññåðòàöèè îòðàæåíû â ïóáëèêàöèÿõ [54, 55℄, à òàêæå áûëèïðåäñòàâëåíû â âèäå äîêëàäîâ íà ñëåäóþùèõ êîíåðåíöèÿõ:• 20-ÿ ìåæäóíàðîäíàÿ êîíåðåíöèÿ ¾Àâòîìàòèêà¿, Íèêîëàåâ, Óêðàèíà,2013 [56℄;• 52-ÿ ìåæäóíàðîäíàÿ êîíåðåíöèÿ CDC, Ôëîðåíöèÿ, Èòàëèÿ, 2013 [57℄;• 21-ÿ ìåæäóíàðîäíàÿ êîíåðåíöèÿ MTNS, ðîíèíãåí, îëëàíäèÿ, 2014[58℄.Àâòîð ïðèíîñèò ãëóáîêóþ áëàãîäàðíîñòü ñâîåìó íàó÷íîìó ðóêîâîäèòåëþÀëåêñàíäðó Áîðèñîâè÷ó Êóðæàíñêîìó çà ïîñòàíîâêó çàäà÷, öåííûå çàìå÷àíèÿè ïîñòîÿííîå âíèìàíèå ê ðàáîòå.13Ñïèñîê îáîçíà÷åíèéR âåùåñòâåííàÿ ïðÿìàÿRn n-ìåðíîå âåùåñòâåííîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâîRn×m ïðîñòðàíñòâî âåùåñòâåííûõ ìàòðèö ñ n ñòðîêàìè è mñòîëáöàìèL (X, Y ) ïðîñòðàíñòâî âñåõ ëèíåéíûõ îãðàíè÷åííûõ îïåðàòîðîâ, äåéñòâóþùèõ èç ïðîñòðàíñòâà X â ïðîñòðàíñòâîYX∗ ñîïðÿæåííîå ê X ïðîñòðàíñòâîA∗ ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð ê ëèíåéíîìó îïåðàòîðó A:kxk íîðìà âåêòîðà xhAx, yi = hx, A∗yi äëÿ âñåõ x, yphx, Axi, äëÿ (íåîò-kxkA (ïîëó)íîðìà âåêòîðà x, ðàâíàÿhx, yi ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ x è yðèöàòåëüíî) ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííîé ìàòðèöû Arank A ðàíã ìàòðèöû A|A| îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû Aλmax (A) ìàêñèìàëüíîå ñîáñòâåííîå ÷èñëî ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííîé ìàòðèöû A14λmin (A) ìèíèìàëüíîå ñîáñòâåííîå ÷èñëî ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííîé ìàòðèöû AA⊗BA◦B êðîíåêêåðîâî ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö A è B ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö A è B ïî ÀäàìàðóX âûòÿãèâàíèå ìàòðèöû X ïî ñòðîêàì â âåêòîð-ñòîëáåöconv A âûïóêëàÿ îáîëî÷êà ìíîæåñòâà Aρ (l, A) çíà÷åíèå îïîðíîé óíêöèè ê ìíîæåñòâó A ïî íàïðàâëåíèþ l,ρ (l, A) = sup hx, li .x∈ABr (x0) Øàð ðàäèóñà r ñ öåíòðîì â òî÷êå x0 ,Br (x0) = {x : kx − x0k 6 r}E (q, Q) ýëëèïñîèä ñ öåíòðîì â âåêòîðå q è ìàòðèöåé (îïåðàòîðîì) êîíèãóðàöèé Q: E (q, Q) = x : x − q, Q−1(x − q) 6 1A′ òðàíñïîíèðîâàííàÿ ê A ìàòðèöàI åäèíè÷íàÿ ìàòðèöàI òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð∂A ãðàíèöà ìíîæåñòâà A (ñîâîêóïíîñòü âñåõ ãðàíè÷íûõvol E (q, Q) îáú¼ì ýëëèïñîèäà E (q, Q)òî÷åê)int A âíóòðåííîñòü ìíîæåñòâà A (ñîâîêóïíîñòü âñåõ âíóòðåííèõ òî÷åê)15diag m äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà êîìïîíåíòàìè âåêòîðà m íàãëàâíîé äèàãîíàëètr A ñëåä ìàòðèöû A:tr A =nXi=1epi faii , A = {aij }ni,j=1.

íàäãðàèê óíêöèè f :epi f = {(x, t) : t > f (x)}A+B ñóììà ìíîæåñòâ A è B ïî Ìèíêîâñêîìó,A + B = {z : z = x + y, x ∈ A, y ∈ B}A −̇ B ðàçíèöà ìíîæåñòâ ïî Ìèíêîâñêîìó,A −̇ B = {x : x + B ⊆ A}d (A, B) åâêëèäîâî ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ìíîæåñòâàìè:d(A, B) =ẋ(t)infx∈A,y∈Bkx − yk ïîëíàÿ ïðîèçâîäíàÿ x(t) ïî âðåìåíè16ëàâà 1åøåíèå ìàòðè÷íîéëèíåéíî-êâàäðàòè÷íîéçàäà÷è ÷åðåç âûòÿãèâàíèå ââåêòîðàÂâåäåíèå ýòîé ãëàâå ðàññìàòðèâàåòñÿ ìàòðè÷íûé àíàëîã ðàñïðîñòðàí¼ííîé âåêòîðíîé ëèíåéíî-êâàäðàòè÷íîé çàäà÷è íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå âðåìåíè: òðåáóåòñÿîïòèìèçèðîâàòü çíà÷åíèå êâàäðàòè÷íîãî óíêöèîíàëà íà òðàåêòîðèÿõ ëèíåéíîé ñèñòåìû. Ïîñêîëüêó â âåêòîðíîì âèäå ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è õîðîøî èçâåñòíî, â ýòîé ãëàâå îñóùåñòâëÿåòñÿ ðåøåíèå ìàòðè÷íîé çàäà÷è ÷åðåç ñâåäåíèå å¼ êâåêòîðíîé. Äëÿ ýòîãî àçîâàÿ ìàòðè÷íàÿ ïåðåìåííàÿ âûòÿãèâàåòñÿ â âåêòîð, è,èñïîëüçóÿ ïðîèçâåäåíèå Êðîíåêêåðà, âûïèñûâàþòñÿ â ÿâíîì âèäå ïàðàìåòðûíîâûõ óðàâíåíèé äèíàìèêè.

Характеристики

Список файлов диссертации