Диссертация (1102653), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

2.5: Òðóáêà Q(t) äëÿ âòîðîãî ïðèìåðà, ïîñòðîåííàÿ áåç ó÷¼òà àçîâûõîãðàíè÷åíèé. Çäåñü âèäíî, ÷òî ðåøåíèå âûõîäèò çà àçîâûå îãðàíè÷åíèÿ.èñ. 2.6: Òðóáêà Q(t) äëÿ âòîðîãî ïðèìåðà, ïîñòðîåííàÿ ñ ó÷¼òîì àçîâûõîãðàíè÷åíèé.474Eigenvalues3.532.521.510.5000.20.40.60.811.21.41.61.82Timeèñ. 2.7: Ñîáñòâåííûå ÷èñëà ðåøåíèÿ äëÿ âòîðîãî ïðèìåðà. Ñïëîøíàÿ ëèíèÿîòâå÷àåò ñëó÷àþ ñ ó÷¼òîì àçîâûõ îãðàíè÷åíèé, øòðèõîâàííàÿ áåç ó÷åòà.îðèçîíòàëüíûìè ëèíèÿìè îáîçíà÷åíû îãðàíè÷åíèÿ.2.5.3Òðåòèé ïðèìåðÒåïåðü ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ïàðàìåòðû äëÿ äèíàìèêè (1.1) ìàòðèöû Q:−4t 0cos(πt) − sin(πt), B =  , t0 = 0, θ = 1,T =0 −4tsin(πt) cos(πt)Ýòè ìàòðèöû óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ (1.15).

Ìàòðèöû â òåðìèíàëüíîé ÷àñòèóíêöèîíàëà è íà÷àëüíîå óñëîâèå òàêîâû:√ 1 01 −11 −0.1., Q0 = 2 , M=D=−1 2−0.1 10 1Ôàçîâûå îãðàíè÷åíèÿ çàäàíû êîíñòàíòàìè λ− =√√2, λ+ = 2 2. Ýëëèïñîèäàëü-íûå òðóáêè òðàåêòîðèé ñ ó÷åòîì àçîâûõ îãðàíè÷åíèé è áåç íèõ èçîáðàæåíûíà ðèñóíêàõ 2.8, 2.9.48èñ. 2.8: Òðåòèé ïðèìåð. Ýëëèïñîèäàëüíûå òðóáêè äëÿ ýëëèïñîèäà E (0, Q(t))áåç ó÷åòà àçîâûõ îãðàíè÷åíèé. Îòäåëüíûìè ñåìåéñòâàìè ÷åðíûõ êðóãîâ èçîáðàæåíî âíóòðåííåå àçîâîå îãðàíè÷åíèÿ.2.5.4×åòâ¼ðòûé ïðèìåðÒåïåðü ðàññìîòðèì ïàðàìåòðû−1 −11 0, B =  , t0 = 0, θ = 1,T =1 −10 1 ìàòðèöåé â òåðìèíàëüíîé ÷àñòè óíêöèîíàëà è íà÷àëüíûì óñëîâèåì√1 −01 0.41 0.D=, M=, Q0 = 2 0 10.4 10 2√√Ôàçîâûå îãðàíè÷åíèÿ çàäàíû êîíñòàíòàìè λ− = 1.5 2, λ+ = 9 2.

Ñîîòâåòñòâóþùèå èëëþñòðàöèè ïðèâåäåíû íà ðèñóíêàõ 2.5.4, 2.11.49èñ. 2.9: Òðåòèé ïðèìåð. Ýëëèïñîèäàëüíûå òðóáêè äëÿ ýëëèïñîèäà E (0, Q(t)) èñ ó÷åòîì àçîâûõ îãðàíè÷åíèé. Îòäåëüíûìè ñåìåéñòâàìè ÷åðíûõ êðóãîâ èçîá-ðàæåíî âíóòðåííåå àçîâîå îãðàíè÷åíèÿ.èñ. 2.10: ×åòâ¼ðòûé ïðèìåð. Ýëëèïñîèäàëüíûå òðóáêè áåç ó÷¼òà àçîâûõ îãðàíè÷åíèé. Îòäåëüíûìè ñåìåéñòâàìè ÷åðíûõ êðóãîâ èçîáðàæåíî âíóòðåííåå àçîâîå îãðàíè÷åíèå.50èñ. 2.11: ×åòâ¼ðòûé ïðèìåð.

Ýëëèïñîèäàëüíûå òðóáêè ñ ó÷¼òîì àçîâûõ îãðàíè÷åíèé. Îòäåëüíûìè ñåìåéñòâàìè ÷åðíûõ êðóãîâ èçîáðàæåíî âíåøíåå àçîâîå îãðàíè÷åíèê.51ëàâà 3Ïðèìåíåíèå îïåðàòîðíûõìåòîäîâ äëÿ çàäà÷ ñãåîìåòðè÷åñêèìèîãðàíè÷åíèÿìèÂâåäåíèåÎïåðàòîðíûå ìåòîäû çàïèñè òåíçîðîâ, ïîñòðîåííûå â ïðåäûäóùåé ãëàâå,èìåþò îáùèé õàðàêòåð è ìîãóò áûòü ïðèìåíåíû äëÿ äðóãèõ çàäà÷.  îáùåìâèäå, îïåðàòîðíàÿ ñõåìà ðåøåíèÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ñ ñëåäóþùåì âèäå:1. Çàïèñàòü çàäà÷ó â îïåðàòîðíîì âèäå;2.

Íàéòè ïðåäñòàâëåíèÿ ìàòðè÷íûõ îïåðàòîðîâ, âõîäÿùèõ â çàäà÷ó;3. åøèòü çàäà÷ó â îïåðàòîðíîì âèäå;4. Âåðíóòüñÿ ê ìàòðè÷íûì îáîçíà÷åíèÿì, èñïîëüçóÿ îðìóëû äëÿ ïðåäñòàâ52ëåíèé îïåðàòîðîâ. ýòîé ãëàâå áóäåò ïîêàçàíî, êàê èõ ìîæíî ïðèìåíèòü äëÿ àíàëèçà ñèñòåì ñ ãåîìåòðè÷åñêèìè (¾æ¼ñòêèìè¿) îãðàíè÷åíèÿìè íà íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèåè óïðàâëåíèå. Ñíà÷àëà ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à ñ ãåîìåòð÷èåñêèì îãðàíè÷åíèåìíà óïðàâëåíèå, è äëÿ íå¼ ñòðîèòñÿ ìàòðè÷íîå ìíîæåñòâî ðàçðåøèìîñòè.

Çàòåìâ ãëàâå îïèñûâàþòñÿ ìåòîäû âèçóàëèçàöèè ìíîæåñòâ â ïðîñòðàíñòâå ïîëîæèòeëüíî îïðåäåë¼ííûõ ìàòðèö è ïðèâîäÿòñÿ ïðèìåðû âèçóàëèçàöèè ìíîæåñòâðàçðåøèìîñòè.  ðàçäåëå 3.5 ïðèâîäèòñÿ ïðèìåð èñïîëüçîâàíèÿ îïèñàííûõ ìåòîäîâ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ðåêîíèãóðàöèè ýëëèïñîèäàëüíîãî êîíòåéíåðà.

Âðàçäåëå 3.7 âàðèàöèÿ ýòîé çàäà÷è çàäà÷à ðàçäåëåíèÿ êîíòåéíåðà ïåðåä ðåêîíèãóðàöèåé.3.13.1.1Çàäà÷à ñ ãåîìåòðè÷åñêèìè îãðàíè÷åíèÿìèÏîñòàíîâêà çàäà÷èÍà çàäàííîì èíòåðâàëå [t0 , θ] ðàññìàòðèâàåòñÿ ìàòðè÷íàÿ ñèñòåìà ñ çàäàííûì íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì Q0 ,Q̇(t) = T (t)Q(t) + Q(t)T ′(t) + B(t)U (t)B ′(t), Q(t0) = Q0,(3.1)â êîòîðîé íà óïðàâëåíèå íàëîæåíî ãåîìåòðè÷åñêîå îãðàíè÷åíèå:hU (t), U (t)i 6 µ2 äëÿ âñåõ t ∈ [t0, θ].(3.2)Çàäàíî öåëåâîå ìíîæåñòâî:hQ(θ) − M, D(Q(θ) − M)i 6 1,(3.3)ãäå, êàê è ðàíåå, M, D = D′ > 0 èçâåñòíûå ìàòðèöû. Òðåáóåòñÿ ðåøèòü53çàäà÷ó ðàçðåøèìîñòè îïèñàòü ìíîæåñòâî ðàçðåøèìîñòè äëÿ ñèñòåìû,W (t; t1, M) = Q ∈ Rn×n : ∃ Q1 , ò.÷.

hQ1 − M, D(Q1 − M)i 6 1,∃ U (·), óäâ. (3.2), ò.÷. , Q1 = Q(t1; t, Q, U ) .3.1.2åøåíèåÕîòÿ çàäà÷à ðàçðåøèìîñòè íå ÿâëÿåòñÿ çàäà÷åé îïòèìèçàöèè, ìû ìîæåìïîñòàâèòü åé â ñîîòâåñòâèåé îïòèìèçàöèîííóþ çàäà÷ó, îáåñïå÷èâàþùóþ ðåãóëÿðíûé ìåòîä ðåøåíèÿ.Áóäåì ðåøàòü çàäà÷ó (3.1)(3.3) ÷åðåç ñâåäåíèå å¼ ê ñåìåéñòâó çàäà÷, ïîäîáíûì îïèñàííîé â ïðåäûäóùåé ãëàâå. Äëÿ ýòîãî ïåðåïèøåì óñëîâèÿ (3.2) è (3.3)â ýêâèâàëåíòíîì âèäå.Äëÿ íà÷àëà ïîòðåáóåì âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ (3.2) íà êîíå÷íîé ñåòêå t0 < t1 <t2 < . .

. < tn = θ:hU (tk ), U (tk )i 6 µ2 , k = 0, 1, . . . , n.(3.4)Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Ëåììà 5.Ñîâìåñòíîå âûïîëíåíèå óñëîâèé (3.3) è (3.4) ýêâèâàëåíòíî âûïîë-íåíèþ íåðàâåíñòâàα0 hQ(θ) − M, D(Q(θ) − M)i +nXαkk=1äëÿ âñåõ íàáîðîâ {αk }nk=0 òàêèõ, ÷òî αk > 0,µ2hU (tk ), U (tk )i 6 1Pnk=0 αk= 1.Âûáåðåì òåïåðü αk = β(tk )∆tk , ãäå ∆tk = tk − tk−1 è β(t) > 0 äëÿ âñåõt ∈ [t0, θ]. Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè n → ∞, ïîëó÷èì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Ëåììà 6.Ñîâìåñòíîå âûïîëíåíèå óñëîâèé (3.3) è (3.2) ýêâèâàëåíòíî âûïîë-54íåíèþ íåðàâåíñòâàZ θ β(t)hU (t), U (t)i dt 6 1,Φ(α0, β, U ) = α0 hQ(θ) − M, D(Q(θ) − M)i +µ2t0äëÿ âñåõ ïàð {α0 , β(·)} òàêèõ, ÷òîθZ{α0 , β(·)} ∈ Ω = {α0, β(·)} : α0 > 0, β(t) > 0, α0 + β(t)dt = 1 .t0Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå èñõîäíîé çàäà÷è òðåáóåò îòûñêàíèÿ óïðàâëåíèéU (·), êîòîðûå áû îáåñïå÷èâàëè âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿmax{α0 ,β(·)}∈ΩΦ(α0, β(·), U (·)) 6 1.Ââåä¼ì óíêöèþ öåíû:V (t0, Q0) = minmaxU (·) {α0 ,β(·)}∈ΩΦ(α0, β(·), U (·)).Öåëåâîå ìíîæåñòâî áóäåò äîñòèæèìî èç òåõ è òîëüêî òåõ ïîçèöèé (t0 , Q0 ), äëÿêîòîðûõ V (t0 , Q0 ) 6 1.

Âîñïîëüçîâàâøèñü òåîðåìîé î ìèíèìàêñå [69℄, ïîëó÷àåì,÷òîV (t0 , Q0) =max{α0 ,β(·)}∈Ωmin Φ(α0, β(·), U (·)) .U (·)Ìèíèìèçàöèÿ â èãóðíûõ ñêîáêàõ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíî-êâàäðàòè÷íóþçàäà÷ó, èäåíòè÷íóþ (1.1),(1.2) ñ òî÷íîñòüþ äî ñêàëÿðíûõ ìíîæèòåëåé α0 èβ(t).µ2Ôóíêöèÿ öåíû áóäåò êâàäðàòè÷íîé îðìîé,V (t, Q) = hQ, P(t)Qi + hQ, K(t)i + γ(t),îïåðàòîðíûå óðàâíåíèÿ íà ïàðàìåòðû êîòîðîé (2.12)(2.13) ïðèìóò âèäµ2Ṗ + A P + PA − PBB ∗P = 0, P(θ)X = α0 DX,βµ2∗K̇ + A K + PBB ∗K = 0, K(θ) = −2α0 DM,β2µhK, BB ∗Ki = 0, γ(θ) = α0 hM, DMi .γ̇ −4β∗55(3.5)(3.6)(3.7) ìàòðè÷íîì âèäå îíè çàïèøóòñÿ êàên n µ2 XXijkl ijkl ijijṖ +P Akl + à Pkl +P kl (BB ′)kp (BB ′)lq Ppq= 0,βk,l=1(3.8)k,l,p,q=1P ij (θ) = α0 DE ij , i, j = 1, .

. . , n,nµ2 X klP (BB ′ KBB ′)kl = 0,K̇ +Kij à +βi,j=1nXij(3.9)(3.10)k,l=1K(θ) = −2α0DM,γ̇ −(3.11)µ2hK, BB ′KBB ′ i = 0,4β(3.12)γ(θ) = α0 hM, DMi .(3.13)Îáîçíà÷èì ïàðàìåòðû êâàäðàòè÷íîé îðìû, îòâå÷àþùèå ïàðå {α0 , β(·)}, êàêP[α0, β(·)](·), K[α0, β(·)](·), γ[α0, β(·)](·). Òîãäà óíêöèÿ öåíû áóäåò ìàêñèìó-ìîì èç êâàäðàòè÷íûõ îðì:V (t0, Q0) = maxhQ0, P[α0, β(·)](t0)Q0i +{α0 ,β(·)}∈Ω+ hQ0 , K[α0, β(·)](t0)i + γ[α0, β(·)](t0) .Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âñåõ {α0 , β(·)}hQ0, P[α0 , β(·)](t0)Q0i + hQ0, K[α0, β(·)](t0)i + γ[α0, β(·)](t0) 6 1,èëè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî (äëÿ êðàòêîñòè êâàäðàòíûå ñêîáêè çäåñü óáðàíû),P−1−1Q0 − P K,(Q0 − P K) 6 1.1 − γ + hK, P −1KiÒàêèì îáðàçîì, ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó óòâåðæäåíèþ.Òåîðåìà 4.Ìíîæåñòâî ðàçðåøèìîñòè áóäåò ïåðåñå÷åíèåì ýëëèïñîèäîâ âïðîñòðàíñòâå ìàòðèö:W [t0] =\{α0 ,β(·)}∈Ω56E[α0, β(·)],(3.14)ãäåE[α0 , β(·)] = {Q : V [α0, β(·)](t0, Q) 6 1} = E (R[α0, β(·)], R[α0, β(·)]) ,R[α0 , β(·)] = P −1[α0 , β(·)]K[α0, β(·)],R[α0 , β(·)] = 1 − γ[α0, β(·)] + K[α0, β(·)], P −1[α0, β(·)]K[α0, β(·)] ××P −1[α0 , β(·)],ãäå ïàðàìåòðû îðì îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè (3.8)(3.13).3.2Âèçóàëèçàöèÿ ìàòðè÷íûõ ìíîæåñòâ ïðåäûäóùèõ ãëàâàõ ðàññìàòðèâàëèñü îòäåëüíûå òðàåêòîðèè ìàòðè÷íîéñèñòåìû (3.1).

 êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè àçîâàÿ ìàòðèöà Q(t) ïîðîæäàëàýëëèïñîèä, âèçóàëèçèðóÿ êîòîðûé, ìîæíî ïîëó÷èòü íàãëÿäíîå ïðåäñòàâëåíèå îïîâåäåíèè ñèñòåìû. Òåïåðü æå, êîãäà ðàññìàòðèâàþòñÿ ìíîæåñòâà â ïðîñòðàíñòâàõ ìàòðèö (íàïðèìåð, W [t0 ]), ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ âîïðîñ èõ âèçóàëèçàöèè.Íà ëþáîå ìíîæåñòâî A â ïðîñòðàíñòâå ìàòðèö Rn×n ìîæíî ïîñìîòðåòü êàêìíîæåñòâî â n2 -ìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå è ñòðîèòü åãî âèçóàëüíîåïðåäñòàâëåíèå êàê íàáîð äâóõ- èëè òð¼õìåðíûõ ïðîåêöèé. Ñ äðóãîé ñòðîíû,åñëè êàæäîé ìàòðèöå Q èç A ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå ýëëèïñîèä E (0, Q), òîìîæíî ðàññìîòðåòü ìíîæåñòâîM (A) =[Q∈AE (0, Q) ⊂ Rn ,ïðåäñòàâëÿþùåå ñîáîé íàáîð âñåõ ýëëèïñîèäîâ, ¾ïîðîæä¼íûõ¿ ìíîæåñòâîì A.Îïèøåì òåïåðü ðÿä ñâîéñòâ ýòîãî ìíîæåñòâà, ïîçâîëÿþùèõ åãî ñòðîèòü íàïðàêòèêå íå ïðèáåãàÿ ê ïðÿìîìó ïåðåáîðó âñåõ òî÷åê â A.Ëåììà 7.Ïóñòü A ïðîèçâîëüíîå íåïóñòîå âûïóêëîå ìíîæåñòâî ïîëîæè-òåëüíî îïðåäåë¼ííûõ ìàòðèö.

Òîãäà M (A) âûïóêëîå ìíîæåñòâî â Rn .57Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü x ∈ M (A). Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ ìàòðèöà Q ∈ A,÷òî x, Q−1x 6 1. Çíà÷èò, ìíîæåñòâî M (A) ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàêM (A) = {x ∈ Rn : min x, Q−1x 6 1}.Q∈AÌèíèìóì äîñòèãàåòñÿ, ïîñêîëüêó ïðè èêñèðîâàííîì x óíêöèÿ x, Q−1x âûïóêëà.Êàê èçâåñòíî [33℄, åñëè óíêöèÿ f (x, y) âûïóêëàÿ ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ, à ìíîæåñòâî Ω âûïóêëîå, òî óíêöèÿ g(y) = min f (x, y) áóäåòx∈Ωâûïóêëîé ïî y . ×òîáû âîñïîëüçîâàòüñÿ ýòèì àêòîì äëÿ äîêàçàòåëñüòâà, íàäîïîêàçàòü, ÷òî óíêöèÿ F (x, Q) = x, Q−1x âûïóêëà ïî ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ íà Rn × A.Äîêàæåì, ÷òî íàäãðàèê F (x, Q) âûïóêëîå ìíîæåñòâî.

Èìååìepi F = {(x, Q, t) ∈ Rn × A × R :x, Q−1x 6 t}.Âîñïîëüçóåìñÿ äîïîëíåíèåì ïî Øóðó [17, 18℄ â ñëåäóþùåé îðìå: ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöàW W12 11′W12 W22ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëå−1′íû ìàòðèöû W11 è W22 − W12W11W12. Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òîQ xnepi F = (x, Q, t) ∈ R × A × R :>0 ,′x tîòêóäà è ñëåäóåò âûïóêëîñòü epi F , è, ñëåäîâàòåëüíî, âûïóêëîñòü F .Òàêèì îáðàçîì, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå îáúåäèíåíèå âûïóêëûõìíîæåñòâ íå áóäåò âûïóêëûì, M (A) áóäåò âûïóêëûì ìíîæåñòâîì.Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:M (A ∩ B) ⊆ M (A) ∩ M (B) , M (A ∪ B) ⊆ M (A) ∪ M (B) .58Êðîìå òîãî, îìåòèì, ÷òî èìïëèêàöèÿE (0, Q) ⊆ M (A) ⇒ Q ∈ Aâ îáùåì ñëó÷àå íå èìååò ìåñòà.

Характеристики

Список файлов диссертации