Диссертация (1102653), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

 ýòîì ðàçäåëå áóäåò ïðèâåä¼í ïðèìåð ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿçàäà÷è ðåêîíèãóðàöèè ýëëèïñîèäàëüíîãî êîíòåéíåðà íà ïëîñêîñòè ïðè íàëè÷èè äâóõ ïðåïÿòñòâèé. Îáùàÿ ñõåìà ðåøåíèÿ áóäåò ñëåäîâàòü ðàáîòàì [3, 4℄.Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ýëëèïñîèäàëüíûé êîíòåéíåð E (q(t), Q(t)) ⊂ R2 , äèíà-ìèêà öåíòðà êîòîðîãî îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåìq̈(t) = u(t), q(t0 ) = q0 , q̇(t0 ) = q0′ .79Çäåñü óïðàâëåíèå u(t) ñòåñíåíî ãåîìåòðè÷åñêèì îãðàíè÷åíèåìhu(t), u(t)i 6 µ2 .Äèíàìèêà ìàòðèöû êîíèãóðàöèé êîíòåéíåðà îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé (3.15)(3.17) ïðè åäèíñòâåííîì íà÷àëüíîì ïîëîæåíèè Q0 (Q0 = 0).

Òàêæå çàäàíîöåëåâîå ìíîæåñòâî ýëëèïñîèä M = E (m, M) è íåïåðåñåêàþùèåñÿ ýëëèïñîè-äàëüíûå ïðåïÿòñòâèÿ E1 = E (z1 , Z1 ) è E2 = E (z2 , Z2 ) , d(E1 , E2 ) > 0, ãäå d(·, ·) åâêëèäîâî ðàññòîÿíèå ìåæäó ìíîæåñòâàìè, d(A, B) = inf x∈A,y∈B kx − yk. Òðåáóåòñÿ ïðîâåñòè êîíòåéíåð èç íà÷àëüíîãî ìíîæåñòâà íà öåëåâîå ìåæäó ïðåïÿò-ñòâèÿìè. Ïðè ýòîì êîíòåéíåð äîëæåí óäîâëåòâîðÿòü ãåîìåòðè÷åñêèì îãðàíè÷åíèÿì:Bλ− (q(t)) ⊆ E (q(t), Q(t)) ⊆ Bλ+ (q(t)) , 0 < λ− 6 λ+ .Ýòè îãðàí÷èåíèÿ îçíà÷àþò, ÷òî â êîíòåéíåð ìîæíî âïèñàòü øàð ðàäèóñîì λ−è ÷òî îí âñåãäà ñîäåðæèòñÿ â øàðå λ+ ñ öåíòðàìè, ñîâïàäàþùèìè ñ öåíòðîìêîíòåéíåðà.åøåíèå çàäà÷è ïðèâåä¼ì â òðè ýòàïà ïðè ïîìîùè áàðüåðíûõ ãèïåðïëîñêî-ñòåé, íà êàæäîì èç ýòàïîâ ñíà÷àëà ñòðîÿ òðàåêòîðèþ öåíòðà, çàòåì òðàåêòîðèþ ìàòðèöû êîíèãóðàöèé.Ñíà÷àëà îïèøåì ïîñòðîåíèå âñïîìîãàòåëüíûõ ãèïåðïëîñêîñòåé. Îáîçíà÷èìH = d (E1 , E2) è zi ∈ Ei , i = 1, 2, ãðàíè÷íûå òî÷êè êðàò÷àéøåãî îòðåçêà, ñî-åäèíÿþùåãî ïðåïÿòñòâèÿ.

Ïðäåïîëîæèì, ÷òî H > 2λ− . Èíûìè ñëîâàìè, ïóñòül0 = Argmax ({−ρ (−l, E1) − ρ (l, E2)}) ,klk=1òîãäà zi îïðåäåëÿþòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì êàêz1 = Argmax z, −l0 , z2 = Argmax z, l0 .z∈E2z∈E1Îáîçíà÷èì äëÿ êðàòêîñòè hmin =c=qH2.Äàëåå, ïîëîæèìy1 − y2y1 + y2, d=,2ky1 − y2 k80è âûáåðåì âåêòîð l òàê, ÷òîáû hl, di = 0, hl, li = 1 (ýòî âñåãäà ìîæíî ñäåëàòü). Òàêèì îáðàçîì, òî÷êà c ëåæèò ïîñåðåäèíå ìåæäó ïðåïÿòñòâèÿìè, âåê-òîð d íàïðàâëåí îò c â ñòîðîíó E2 , âåêòîð l åäèíè÷íàÿ íîðìàëü ê d. Îïðå-äåëèì ãèïåðïëîñêîñòè Hi = {x :hx − zi , di = 0} ìåæäó ýòèìè ãèïåð-ïëîñêîñÿòìè íàõîäèòñÿ îáëàñòü, ñâîáîäíàÿ îò ïðåïÿòñòâèé, è ãèïåðïëîñêîñòüHz = {x : hx − c, di = 0}.Òåïåðü îïðåäåëèì ãèïåðïëîñêîñòè Hib , òðàíñâåðñàëüíûå Hi , òàêèì îáðàçîì,÷òîáû îáà ïðåïÿòñòâèÿ áûëè ìåæäó íèìè. Íàïðèìåð, â êà÷åñòâå òàêîâûõ ìîæíîâçÿòüHib = {x : hx − c∗i , di = 0}, c∗i = c + νi l,ν1 = inf {ν : {x : hx − c − νl, li = 0} ∩ Ei = ∅, i = 1, 2},ν>0ν2 = sup {ν : {x : hx − c − νl, li = 0} ∩ Ei = ∅, i = 1, 2}.ν60Äàëåå, ïóñòü Hz ∩ Hib = c + λbi l, ïðè ýòîì λb1 λb2 < 0.

Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè,áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî λb1 < 0, à λb2 > 0 (ýòîãî âñåãäà ìîæíî äîáèòüñÿ çà ñ÷¼òâûáîðà âåêòîðà l).Ïóñòü ìèíèìàëüíàÿ ïîëóîñü êîíòåéíåðà íå ìîæåò áûòü ìåíüøå, ÷åì çàäàííàÿ âåëè÷èíà lmin , à ìàêñèìàëüíàÿ íå áîëüøå, ÷åì lmax . Ïðè ýòîìλ− 6 lmin 6 lmax 6 λ+ .Òîãäà îïðåäåëèì âõîäíîå öåëåâîå ìíîæåñòâî äëÿ öåíòðà êîíòåéíåðà êàêT1 = (x, v) : x = c + λl, v = µl, λ < λbi − lmin , µ > 0 ⊂ R2 × R2 .Òàêèì îáðàçîì, êàê òîëüêî öåíòð êîíòåéíåðà îêàæåòñÿ â T1 , òî îí áóäåò íàïðàâëåí âíóòðü îáëàñòè, çàæàòîé ìåæäó H1 è H2 , âäîëü Hz .Îïèøåì òåïåðü äëÿ êàæäîãî âîçìîæíîãî ïîëîæåíèÿ öåíòðà x∗1 = c + λ∗ l èçT1 ìíîæåñòâî O1 = O1 (λ∗) äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû êîíèãóðàöèé êîíòåéíåðà. Ïóñòü âåêòîð l îáðàçóåò óãîë α ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè81x. Òîãäà ìèíèìàëüíûé äîïóñòèìûé ýëëèïñîèä áóäåò èìåòü ìàòðèöó êîíèãóðàöèé (ñ òî÷íîñòüþ äî ïîðÿäêà îñåé)2cos(α) − sin(α)h0 , Λ =  min.Q1 = SΛS ′ , S = 2sin(α) cos(α)0 lmin.Âûáåðåì ìíîæåñòâî O1 øàðîì Br (Q1 ) â ïðîñòðàíñòâå Rn×n ñ ðàäèóñîì r = r(λ∗ )ñ öåíòðîì â Q1 .

Ïîêàæåì, ÷òî ìîæíî âûáðàòü ðàäèóñ r(λ∗ ) òàê, ÷òîáû âñåìàòðèöû êîíèãóðàöèé èç O1 áûëè äîïóñòèìûìè.  ñèëó ëåììû 10 èìååì:M (Br (Q1)) = E (0, Q1 + rI) .Íåîáõîäèìî âûáðàòü ðàäèóñ r òàê, ÷òîáû ó âñåõ âîçìîæíûõ öåëåâûõ ýëëèïñîèäîâ èç M (Br (Q1 )) ïîëóîñè ëåæàëè â çàäàííûõ ïðåäåëàõ. ÏîñêîëüêóQ1 + rI = SΛS + rSIS ′ = S(Λ + rI)S ′,òî ïîëó÷àåìqq22 +r 6lhmin + r 6 lmax, lminmax .Çíà÷èò, ìîæíî âûáðàòü222,r = min lmax− h2min , lmax− lmin÷òî è îáåñïå÷èò äîïóñòèìîñòü êàæäîé ìàòðèöû êîíèãóðàöèé èç O1 .Ïîñëå òîãî, êàê êîíòåéíåð áûë ïåðåâåä¼í íà ìíîæåñòâî T1 ×O1 , òî, íå ìåíÿÿåãî ìàòðèö êîíèãóðàöèé, ìîæíî ïåðåâåñòè åãî âäîëü Hz äî âûõîäà çà ãèïåð-ïëîñêîñòü H2b â òî÷êó c∗ .

Åñëè ïðè ýòîì îêàçàëîñü, ÷òî v1∗ 6= 0, òî ýòî ìîæíîñäåëàòü íóëåâûì óïðàâëåíèåì äëÿ öåíòðà.Îñòàëîñü ïåðåâåñòè êîíòåéíåð íà öåëåâîå ìíîæåñòâî òàê, ÷òîáû îí öåëèêîìîêàçàëñÿ âíóòðè íåãî, ò.å. E (q(t), Q(t)) ⊂ M. Ñíà÷àëà îïèøåì öåëåâîå ìíîæå-ñòâî äëÿ öåíòðà. ßñíî, ÷òî âñ¼ M íà ýòó ðîëü íå ïîäõîäèò: íàïðèìåð, q ∈ ∂M82îáåñïå÷èò ëèøü íåïóñòîòó ïåðåñå÷åíèÿ êîíòåéíåðà è öåëåâîãî ìíîæåñòâà, íî íåâêëþ÷åíèå.Âûáåðåì T2 = M −̇ Bs (0), ãäå s > lmin . Òîãäà êîíå÷íàÿ òî÷êà ãàðàíòèðîâàí-íî îêàæåòñÿ íà ðàññòîÿíèè, íå ìåíüøåì lmin , îò ãðàíèöû M. Îïèøåì òåïåðü äëÿêàæäîãî äîïóñòèìîãî ïîëîæåíèÿ öåíòðà q ∗ èç T2 ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ ìàòðèöêîíèãóðàöèé.

Ïóñòü d (q ∗ , M) = λ∗2 , òîãäà, ðàññóæäàÿ àíàëîãè÷íî ïîñòðîåíèþìíîæåñòâà O1 , â êà÷åñòâå O2 ìîæíî âçÿòü øàð Bw (Q2 ) ñ ïàðàìåòðàìè2lmin 0 , r2 = λ∗2 − lmin .Q1 = 20 lminÒàêèì îáðàçîì, îáùåå ðåøåíèå çàäà÷è ìîæíî ñîñòàâèòü èç ñëåäóþùèõ ýòà-ïîâ.1. Ïîñòðîèòü ãèïåðïëîñêîñòè Hi , Hbi ;2. Ïåðåâåñòè öåíòð êîíòåéíåðà íà ìíîæåñòâî T1 , ïîëó÷èâ ïðè ýòîì çíà÷åíèåλ∗1 ;3. Ïåðåâåñòè ìàòðèöó êîíèãóðàöèé íà ìíîæåñòâî O1 (λ∗1 );4. Ïåðåâåñòè öåíòð â òî÷êó c∗ , íå ìåíÿÿ ïðè ýòîì ìàòðèöó êîíèãóðàöèé;5. Ïåðåâåñòè öåíòð íà ìíîæåñòâî T2 , ïîëó÷èâ ïðè ýòîì çíà÷åíèå λ∗2 ;6. Ïåðåâåñòè ìàòðèöó êîíèãóðàöèé íà ìíîæåñòâî O2 (λ∗2 ).3.6×èñëåííûé ïðèìåðÏðèâåä¼ì òåïåðü âû÷èñëèòåëüíûé ïðèìåð ðåøåíèÿ çàäà÷è ïðè ñëåäóþùèõçíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ.

Íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå êîíòåéíåðà è öåëåâîå ìíîæåñòâî83çàäàþòñÿ êàê−4.51 −162.3 0 , Q0 = , m = , M = ,q0 = 4.0−1 2.5−1.50 2.3ãåîìåòð÷èåñêèå îãðàíè÷åíèÿ çàäàþòñÿ êîíñòàíòàìèλ− = 0.17, λ+ = 4.Ïàðàìåòðû ñèñòåìû (3.15)(3.17) ñëåäóþùèå:0 01 −0.10 0, B = , P =  , PX = X.T =0 00.1 10 0Ïàðàìåòðû ýëëèïñîèäîâ-ïðåïÿòñòâèé:  17.0003 1.269104.2412 −0.7398 , z2 =   , Z2 = ,z1 =   , Z1 = 01.2691 1.72973.2−0.7398 1.1688Äëÿ ïîñòðîåíèÿ óïðàâëåíèÿ íà êàæäîì ýòàïå áûëè èñïîëüçîâàíû ìåòîäûïîóë÷åíèÿ ñèíòåçà íà îñíîâå ïîñòðîåíèÿ âíóòðåííèõ îöåíîê ìíîæåñòâà ðàçðåøèìîñòè ñèñòåìû [1, 50℄.

Äëÿ ýòîãî èç ñîîòâåòñòâóþùåãî öåëåâîãî ìíîæåñòâàíà êàæäîì ýòàïå âûïóñêàëèñü âíóòðåííèå îöåíêè ñîîòâåòñòâóþùåãî ìíîæåñòâàðàçðåøèìîñòè, èç íèõ âûáèðàëàñü òà, â êîòîðóþ ïîïàäàëî êîíå÷íîå ïîëîæåíèåïðåäûäóùåãî ýòàïà (íà ïåðâîì ýòàïå ïàðà q0 è Q0 ), è ñòðîèëîñü óïðàâëåíèå,îñóùåñòâëÿþùåå ¾ïðèöåëèâàíèå¿ íà ïîëó÷åííóþ îöåíêó. Äëÿ ìàòðèöû êîíèãóðàöèÿ âíóòðåííèå îöåíêè ñòðîèëèñü ïî îðìóëàì òåîðåìû 9.Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâà Ti , Oi , i = 1, 2 íå ÿâëÿþòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, ýëëèïñîèäàìè, òî â ïðèìåðå äëÿ ïðèìåíåíèÿ îïèñàííûõ àëãîðèòìîâ îíè áûëè çàìåíåíûèõ âíóòðåííèìè ýëëèïñîèäàëüíûìè àïïðîêñèìàöèÿìè [25℄.Ñîîòâåòñòâóþùèå èëëþñòðàöèè ïðèâåäåíû íà ðèñ.

3.113.16: íà ðèñ. 3.11,3.12 èçîáðàæåíà äèíàìèêà òðóáêè E (q(t), Q(t)), íà ðèñ. 3.13 èçîáðàæåíû ñîáñòâåííûå ÷èñëà òðóáêè âäîëü òðàåêòîðèè, è íà ðèñ. 3.143.16 èçîáðàæ¼í íàáîð84èñ. 3.11: Òðóáêà E (q(t), Q(t)) (ïîëóïðîçðà÷íàÿ òðóáêà), âíóòðåíåå îãðàíè÷å-íèå (ñïëîøíàÿ òðóáêà) è âíåøíåå îãðàíè÷åíèå (ñåìåéñòâî ÷¼ðíûõ îêðóæíîñòåé).äâèæåíèé êîíòåéíåðà â ðàçëè÷íûå ìîìåíòû âðåìåíè.

Íà ýòèõ ðèñóíêàõ ñåðûìèçîáðàæåíû ïðåïÿòñòâèÿ, ïóíêòèðîì èçîáðàæåíî öåëåâîå ìíîæåñòâî, ñïëîøíîé ÷åðíîé ëèíèåé èçîáðàæåíû ãðàíèöû êîíòåéíåðà, òîíêîé ëèíèåé îáîçíà÷åíàòðàåêòîðèÿ öåíòðà, êðóæêàìè îòìå÷åíû òî÷êè c + λbi l, è ïðîâåäåíà ïóíêòðèíàÿëèíèÿ, ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êè y1 è y2 .3.7Çàäà÷à ðàçäåëåíèÿ êîíòåéíåðààññìîòðèì çàäà÷ó ðåêîíèãóðàöèè ïðè íàëè÷èè òð¼õ ïðåïÿòñòâèé, êîãäàèìååòñÿ âîçìîæíîñòü ïðîõîæäåíèÿ ìåæäó äâóìÿ ïàðàìè èç íèõ. Ïðè ýòîì ìîæåò îêàçàòüñÿ íåîáõîäèìûì ðàçäåëèòü êîíòåéíåð íà äâà êîíòåéíåðà ìåíüøåãîîáú¼ìà, êîòîðûå îáîéäóò ïðåïÿòñòâèÿ íåçàâèñèìûìè ìàðøðóòàìè è ïîòîì îáúåäèíÿòüñÿ îáðàòíî.

Äëÿ êàæäîãî èç íîâûõ êîíòåéíåðîâ åãî ïîäçàäà÷ó ìîæíîðåøàòü ñïîñîáîì, èçëîæåííûì â ïðåäøåñòâóþùåì ðàçäåëå.85èñ. 3.12: Òðóáêà E (q(t), Q(t)), èçîáðàæåííàÿ ñî ñïëîøíîé ïîâåðõíîñòüþ.43.5Eigenvalues32.521.510.50051015Timeèñ. 3.13: Ñîáñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû êîíèãóðàöèé êîíòåéíåðà Q(t) âäîëüòðàåêòîðèè äâèæåíèÿ. Ïóíêòðèðíûìè ëèíèÿìè îòìå÷åíû âíóòðåííåå è âíåøíåå îãðàíè÷åíèå.8665544332x2x221100−1−1−2−2−3−3−4−4−20246−4−20x1246x1èñ. 3.14: Êîíòåéíåð â ìîìåíòû âðåìåíè t = 0, t = 3.3.544332211x2x2500−1−1−2−2−3−3−4−4−4−20246−4−20x2x1461èñ. 3.15: Êîíòåéíåð â ìîìåíòû âðåìåíè t = 5, t = 10.44332211x25x2500−1−1−2−2−3−3−4−4−4−20246−4x1−2024x1èñ. 3.16: Êîíòåéíåð â ìîìåíòû âðåìåíè t = 12.8, t = 15.876Îáîçíà÷èì ÷åðåçnYπ n/2λk (Q)vol E (q, Q) =Γ(n/2 + 1)k=1îáú¼ì ýëëèïñîèäà E (q, Q).

àññìîòðèì çàäà÷ó ðàçáèåíèÿ êîíòåéíåðà E (q0 , Q0 )íà äâà ýëëèïñîèäà, E (q1 , Q1 ) è E (q2 , Q2 ), ñ âíåøíèì è âíóòðåííèì îãðàíè÷åíè-ÿìè λi+ íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, ñîîòâåòñòâåííî:vol E (q1 , Q1) + vol E (q2 , Q2) → max,(3.28)Bλi− (qi) ⊆ E (qi , Qi) , i = 1, 2,(3.29)E (qi , Qi) ⊆ Bλi+ (qi ) , i = 1, 2,(3.30)E (qi, Qi) ⊆ E (q0 , Q0) ,(3.31)int E (q1, Q1) ∩ int E (q2 , Q2) = ∅.(3.32)Çäåñü ÷åðåç int A îáîçíà÷åíà âíóòðåííîñòü ìíîæåñòâà A.

Èñïîëüçóÿ ìåòîäûâûïóêëîãî àíàëèçà, îãðàíè÷åíèÿ (3.29), (3.30) è (3.31) ìîæíî çàïèñàòü êàê(λi−)2 hl, li 6 hl, Qili , äëÿ âñåõ l ∈ Rn , i = 1, 2,hl, Qili 6 (λi+ )2 hl, li, äëÿ âñåõ l ∈ Rn , i = 1, 2,pphqi , li + hl, Qili 6 hq0, li + hl, Q0li, äëÿ âñåõ l ∈ Rn , i = 1, 2,Ïîñêîëüêó ýëëèïñîèä ñèëüíî âûïóêëîå ìíîæåñòâî, òî â íåðàâåíñòâåmax{hl, xi − ρ (l, E (qi , Qi))} 6 0lðàâåíñòâî áóäåò äîñòèãàòüñÿ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà l ∈ ∂E (qi , Qi ). Çíà÷èò,óñëîâèå (3.32) ìîæíî çàïèñàòü êàêppmin max hq1 − q2 , li − hl, Q1li − hl, Q2li,lhq2 − q1 , li −88pphl, Q1li − hl, Q2li 6 0.Îêîí÷àòåëüíî, çàäà÷ó (3.28)(3.32) ìîæíî çàïèñàòü êàêvol E (q1 , Q1) + vol E (q2 , Q2) → max,(λi−)2 hl, li 6 hl, Qili , äëÿ âñåõ l ∈ Rn , i = 1, 2,hl, Qili 6 (λi+ )2 hl, li, äëÿ âñåõ l ∈ Rn , i = 1, 2,pphqi , li + hl, Qili 6 hq0, li + hl, Q0li, äëÿ âñåõ l ∈ Rn , i = 1, 2,pp|hq1 − q2 , li| 6 hl, Q1li + hl, Q2li äëÿ âñåõ l ∈ Rn .3.8×èñëåííûé ïðèìåðÏðèâåä¼ì âû÷èñëèòåëüíûé ïðèìåð ðåøåíèÿ çàäà÷è ïðè ñëåäóþùèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ.

Íà÷àëüíîå ïîëîæåíèå äëÿ âåòâëåíèÿ è öåëåâîå ìíîæåñòâîçàäàþòñÿ êàê  −63 0103 0, m =  , M = ,q0 =   , Q 0 = 00 300 3Îãðàíè÷åíèÿ íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ áûëè âûáðàíû êàêλ1− = 0.2, λ1+ = 4.8, λ2− = 0.7, λ2+ = 1.7.Ïàðàìåòðû ñèñòåìû (3.15)(3.17) ñëåäóþùèå:0 −0.51 −0.10 0, B = , P =  , PX = X.T =0.5 0−0.1 10 0Ïàðàìåòðû ýëëèïñîèäîâ-ïðåïÿòñòâèé:  28.5 7.5216 0 , z2 =   , Z2 = ,z1 =   , Z1 = 67.5 8.500 6.2528.5 −7.5.z3 =   , Z3 = −7−7.5 8.589èñ. 3.17: Òðóáêè E (q1 (t), Q1(t)), E (q2 (t), Q2(t)) (ïîëóïðîçðà÷íûå òðóáêè),âíóòðåíåå îãðàíè÷åíèå (ñïëîøíûå òðóáêè) è âíåøíåå îãðàíè÷åíèå (ñåìåéñòâà÷¼ðíûõ îêðóæíîñòåé).Ñîîòâåòñòâóþùèå èëëþñòðàöèè ïðèâåäåíû íà ðèñ.

Характеристики

Список файлов диссертации