Диссертация (1102653), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ââåä¼ì îïåðàòîðû A è B ,A(t)X = T (t)X + XT ′ (t), B(t)X = B(t)XB ′ (t).ïðåäñòàâëåíèÿ êîòîðûõ íàõîäèòñÿ ïî îðìóëàì (2.6),(2.7), (2.8).Îïðåäåëåíèå 7.Ôóíäàìåíòàëüíûì îïåðàòîðîì X (t, s) ñèñòåìû (3.15) íàçû-âàåòñÿ îïåðàòîð, óäîâëåòâîðÿþùèé äèåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþẊ (t, s) = (T X + X T ′ ), X (t, t) = I,ãäå I òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð.Ñïðàâåäëèâà69Ëåììà 13.Ôóíäàìåíòàëüíûé îïåðàòîð X (t, s) ñóùåñòâóåò, è åãî ïðåäñòàâ-ëåíèå X(t, s) = {X ij (t, s)}ni,j=1 óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿìklẊ (t, s) =nXAij (t)Xijkl (t, s), Ẋ kl (t, t) = E kl , k, l = 1, . . . , n.i,j=1Òåïåðü ìîæíî âûïèñàòü îïåðàòîðíûé àíàëîã îðìóëû Êîøè:ZtQ(t) = X (t, t0)Q0 + X (t, s)B(s)U (s)ds.t0Ìíîæåñòâî äîñòèæèìîñòè óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó ñîîòíîøåíèþ â îïåðàòîðíîé îðìå:ZtX (t; t0, E Q0, Q ) = X (t, t0)E Q0 , Q0 + X (t, s)B(s)E (P (s), P(s)) ds.0t0Çäåñü ñóììà ìíîæåñòâ ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå Ìèíêîâñêîãî:A + B = {z : z = x + y, x ∈ A, y ∈ B}.Ïî àíàëîãèè ñ âåêòîðíûìè ¾õîðîøèìè êðèâûìè¿ [53℄, ââåä¼ì ìàòðè÷íûå ¾õîðîøèå êðèâûå¿:Îïðåäåëåíèå 8.Ìàòðè÷íàÿ óíêöèÿ L(t) íàçûâàåòñÿ ¾õîðîøåé êðèâîé¿, åñëèîíà óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùåìó óðàâíåíèþ ñîïðÿæåííîé ñèñòåìû:L̇(t) = −T ′ (t)L(t) − L(t)T (t), L(t0) = L0 .(3.18)Íàïîìíèì, ÷òî îöåíêà íàçûâàåòñÿ òóãîé âäîëü íåêîòîðîãî íàïðàâëåíèÿ l,åñëè îíà êàñàåòñÿ îöåíèâàåìîãî ìíîæåñòâà â ýòîì íàïðàâëåíèè.

Ýòî îçíà÷àåòñîâïàäåíèå îïîðíûõ óíêöèé îöåíêè è èñõîäíîãî ìíîæåñòâà â äàííîì íàïðàâëåíèè.Ñîâåðøåííî åñòåñòâåííî ñ âåêòîðíîãî ñëó÷àÿ [1, 53, 14℄ ïåðåíîñèòñÿ ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.70Òåîðåìà 6.Äëÿ ëþáîé ìàòðèöû L0 ýëëèïñîèä E (Q+ (t), Q+(t)), ïàðàìåòðûêîòîðîãî îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìèQ̇+ (t) = T (t)Q+(t) + Q+(t)T ′(t) + B(t)P (t)B ′(t),(3.19)Q+ (t0) = Q0,Q̇+ = AQ+ + Q+A∗ + π(t)Q+ +1BP(t)B ∗,π(t)(3.20)Q+ (t0) = Q0,ãäåπ(t) =hL(t), B(t)P(t)B ∗(t)L(t)ihL(t), Q+(t)L(t)i1/2,0áóäåò âíåøíåé îöåíêîé ìíîæåñòâà X (t; t0 , E Q0 , Q ), òóãîé âäîëü íà-ïðàâëåíèÿ L(t), óäîâëåòâîðÿþùåãî ñèñòåìå (3.18), ïðè÷¼ì ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèåX (t; t0, E Q0 , Q0 ) = ∩{E Q+ (t), Q+(t) , kL0k = 1}.Âîñïîëüçîâàâøèñü ëåììîé 3 è îðìóëàìè (2.16),(2.17),(2.18), ìîæíî ïåðåïèñàòü (3.20) èç îïåðàòîðíîãî â ìàòðè÷íûé âèä äëÿ Q+ (t) = {Q+ij (t)}ni,j=1:Q̇+ijnX(t) =kl +ij+ij(Q+kl Aij+kl + à Qkl ) + π(t)Q(3.21)k,l=1+1π(t)è, ñîîòâåòñòâåííî,*nXk,l,p,q=1+lq ij ij+ijB kl B̃ kl Q+ij(t0) = Qij0,kp Qij Bpq B̃pq , QnP+lq ij ijB kl B̃ kl Q+ij L(t),kp Qij Bpq B̃pq Lij (t)i,j,k,l,p,q=1+*π(t) = nPQ+ij (t)Lij (t)L(t),i,j=1+ 1/2.(3.22)Òàêèì îáðàçîì, îðìóëû (3.19), (3.21), (3.22) ïîëíîñòüþ çàäàþò â ìàòðè÷íîé îðìå ïàðàìåòðû âíåøíåé îöåíêè E (Q+ (t), Q+(t)).713.4.4Âíóòðåííèå îöåíêè ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè àíàëîãèè ñ âåêòîðíûì ñëó÷àåì âûâîäÿòñÿ è âíóòðåííèå îöåíêè.Òåîðåìà 7.Äëÿ ëþáîé ìàòðèöû L0 ýëëèïñîèä E (Q− (t), Q−(t)), öåíòð êîòî-ðîãî îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì (3.19), à îïåðàòîð êîíèãóðàöèè óðàâíåíèåìQ̇− = AQ− + Q−A∗ + (Q−)1/2S(t)(BPB ∗)1/2 + (BPB ∗)1/2S ∗ (t)(Q−)1/2, (3.23)Q+ (t0) = Q0,ãäå S(t) îðòîãîíàëüíûé îïåðàòîð, îïðåäåëÿåìûé èç ñîîòíîøåíèÿ∗ 1/2S(t)(BPB )L(t) = µhL(t), BPB ∗L(t)i1/2hL(t), Q−L(t)i1/2(Q−)1/2L(t)(3.24)áóäåò âíóòðåííåé îöåíêîé ìíîæåñòâà X (t; t0, E Q0 , Q0 ), òóãîé âäîëü íà-ïðàâëåíèÿ L(t), óäîâëåòâîðÿþùåãî ñèñòåìå (3.18), ïðè÷¼ì ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå0X (t; t0, E Q0, Q ) =[{E Q−(t), Q+(t) , kL0k = 1}.Ïåðåïèøåì ýòè óðàâíåíèÿ â ìàòðè÷íîì âèäå.

Äëÿ êðàòêîñòè ââåä¼ì ñëåäóþùèå ïðåäñòàâëåíèÿ:(Q−)1/2 = {Rij }ni,j=1, (BPB ∗)1/2 = {Gij }ni,j=1, S = {S ij }ni,j=1.Òîãäà óðàâíåíèå (3.23) çàïèøåòñÿ êàêQ̇−ij(t) =nX(Qk,l=1−klAijkl+ ÃklQ−ijkl )+nXRi,j,k,l,p,q=1klpq ijSklGpq+nXkl ijGkl SpqRpq ,i,j,k,l,p,q=1Q−ij (t0) = Qij0.Âñòà¼ò âîïðîñ î ïîèñêå íà ïðàêòèêå èç ñîîòíîøåíèÿ (3.24) îðòîãîíàëüíîãîîïåðàòîðà S .  âåêòîðíîì ñëó÷àå äëÿ ýòîãî åñòü óäîáíàÿ ÿâíàÿ îðìóëà [49℄.ż àíàëîã â ìàòðè÷íîì ñëó÷àå áóäåò èìåòü ñëåäóþùèé âèä.72Ëåììà 14.êàêÏóñòü çàäàíû äâå ìàòðèöû V1 è V2 , è ïóñòü îïåðàòîð S çàäà¼òñÿS = I + Z(S − I)Z ∗,ãäåS=c−1s−sc−1 , c = hQ1, Q1i , s =pVi1 − c2 , Ri =,kVi kà îïåðàòîð Q ∈ L R2 , Rn×n äåéñòâóåò ïî ïðàâèëó R2 − cR1 ,sZx = Q1x1 + Q2 x2, Q1 = R1 , Q2 =0,s 6= 0,s = 0.Òîãäà ìàòðèöû SV2 è µR1 êîëëèíåàðíû.Äîêàçàòåëüñòâî.

Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî SR2 = R1 .Ñíà÷àëà íàéä¼ì Z ∗ :+*  x1hQ1, Y i .hQ1 x1 + Q2x2, Y i = x1 hQ1 , Y i + x2 hQ2 , Y i =   , x2hQ2, Y iÇíà÷èò, äåéñòâèå Z ∗ : Rn×n → R2 îïèñûâàåòñÿ êàêhQ1 , Xi.Z ∗X = hQ2 , Xiàññìîòðèì ñëó÷àé s 6= 0. Òîãäà    hR1 , R2ihQ1, R2 i c  c∗Z R2 == 1=  1 − c2  =.hR2 − cR1 , R2ihQ2, R2 isssÄàëåå, c1−c = (1 − c)R1 + (−s) · R2 − cR1 = R1 − R2 .Z(S − I)   = Z ss−sÇíà÷èò,(I + Z(S − I)Z ∗)R2 = R1 ,÷òî è òðåáîâàëîñü ïîêàçàòü.733.4.5Ìíîæåñòâî ðàçðåøèìîñòèÒåîðåìû î âíóòðåííèõ è âíåøíèõ îöåíêàõ ìîæíî ïåðåîðìóëèðîâàòü äëÿïîïÿòíîãî ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè ìíîæåñòâà ðàçðåøèìîñòè.Îïðåäåëåíèå 9.Ïóñòü çàäàíî öåëåâîå ìíîæåñòâî M.

Ìíîæåñòâîì ðàçðåøè-ìîñòè íà ìîìåíò t íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîW(t; t1, M) = Q ∈ Rn×n : ∃Q1 ∈ M, U (·), óäâ. (3.17),òàêîå, ÷òî Q1 = Q(t1 ; t, Q, U ) .Ïðåäïîëîæèì, ÷òî öåëåâîå ìíîæåñòâî M ÿâëÿåòñÿ ýëëèïñîèäîì E Y1 , Y 1 .Òåîðåìà 8.Äëÿ ëþáîé ìàòðèöû L0 ýëëèïñîèä E (Y + (t), Y +(t)), ïàðàìåòðûêîòîðîãî îïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìèẎ + (t) = T (t)Y + (t) + Y + (t)T ′(t) + B(t)P (t)B ′ (t),(3.25)Y + (t1) = Y1 ,Ẏ + = AY + + Y +A∗ − η(t)Y + −1BP(t)B ∗,η(t)(3.26)Y + (t1) = Y 1,ãäå η(t) =pµ(t),hL(t), B(t)P(t)B ∗(t)L(t)iµ(t) =,hL(t), Y +(t)L(t)iáóäåò âíåøíåé îöåíêîé ìíîæåñòâà W(t; t1 , E Y1 , Y 1 ), òóãîé âäîëü íàïðàâëå-íèÿ L(t), óäîâëåòâîðÿþùåãî ñèñòåìå (3.18), ïðè÷¼ì ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèåW(t; t1, E Y1, Y 1 ) = ∩{E Y + (t), Y +(t) , kL0k = 1}.Äëÿ ìàòðè÷íûõ êîìïîíåíò Y + (t) = {Y +ij (t)}ni,j=1 ýòè îðìóëû ìîæíî çàïè-ñàòü êàê74Ẏ+ij(t) =nXkl +ij+ij(Y +kl Aij−kl + à Ykl ) − η(t)Yk,l=1n1 X+ij +lq ij ij−B kl B̃ kl YkpYij Bpq B̃pq ,η(t)k,l,p,q=1Y +ij (t1 ) = Y1ij ,è, ñîîòâåòñòâåííî,*L(t),i,j,k,l,p,q=1µ(t) =Òåîðåìà 9.nP*+ij +lq ij ijB kl B̃ kl YkpYij Bpq B̃pq Lij (t)L(t),nPY +ij (t)Lij (t)i,j=1++.Äëÿ ëþáîé ìàòðèöû L0 ýëëèïñîèä E (Y − (t), Y −(t)), öåíòð êîòî-ðîãî îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì (3.25), à îïåðàòîð êîíèãóðàöèè óðàâíåíèåìẎ − = AY − + Y − A∗ + (Y −)1/2S(t)(BPB ∗)1/2 + (BPB ∗)1/2S ∗ (t)(Y −)1/2, (3.27)Y + (t1) = Y 1,ãäå S(t) îðòîãîíàëüíûé îïåðàòîð, îïðåäåëÿåìûé èç ñîîòíîøåíèÿ∗ 1/2S(t)(BPB )L(t) = µhL(t), BPB ∗L(t)i1/21/2hL(t), Y −L(t)i(Y −)1/2L(t)áóäåò âíóòðåííåé îöåíêîé ìíîæåñòâà W(t; t1 , E Y1 , Y 1 ), òóãîé âäîëü íà-ïðàâëåíèÿ L(t), óäîâëåòâîðÿþùåãî ñèñòåìå (3.18), ïðè÷¼ì ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå[W(t; t1, E Y1 , Y 1 ) = {E Y − (t), Y −(t) , kL0k = 1}.Äëÿ ìàòðè÷íûõ êîìïîíåíò Y − (t) = {Y −ij (t)}ni,j=1 ýòè îðìóëû ìîæíî çàïè75ñàòü êàêẎ−ij(t) =nX(Q−klAijkl+ ÃklYkl−ij )+k,l=1nXRi,j,k,l,p,q=1klpq ijSklGpq+nXkl ijGkl SpqRpq ,i,j,k,l,p,q=1Q−ij (t0) = Y0ij ,ãäå(Q−)1/2 = {Rij }ni,j=1, (BPB ∗)1/2 = {Gij }ni,j=1, S = {S ij }ni,j=1.3.4.6×èñëåííûé ïðèìåðàññìîòðèì ñèñòåìó (3.15)(3.17) ïðè ñëåäóþùèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ:0 01, B = T =0 −100P =0−13 1 , Q0 =  , QX = X,11 30 , PX = X.0Ñèñòåìà ðàññìàòðèâàëàñü íà îòðåçêå âðåìåíè [0, 1].

Âíóòðåííèå è âíåøíèå àïïðîêñèìàöèè ñòðîèëèñü äëÿ M = 10 íàïðàâëåíèé âèäà1 cos(αi) − sin(αi)2iπLi = , i = 0, 1, . . . , M − 1., αi =2 sin(α ) cos(α )MiiÑîîòâåòñòâóþùèå èëëþñòðàöèè ïðèâåäåíû íà ðèñóíêàõ 3.73.9.3.4.7Ñðàâíåíèå âû÷èñëèòåëüíîé ñëîæíîñòè ýòîì ðàçäåëå ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ñðàâíåíèÿ âû÷èñëèòåëüíîé ñëîæíîñòè îïåðàòîðíîãî àëãîðèòìà è àëãîðèòìà, îñíîâûâàþùåìñÿ íà âûòÿãèâàíèè ââåêòîðà. Ñðàâíåíèå ïðèâåä¼ì íà ïðèìåðå ïîñòðîåíèÿ âíåøíèõ îöåíêî ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè. Êàê è â ðàçäåëå 2.4, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ó íàñ åñòü àëãîðèòìóìíîæåíèÿ ìàòðèö ñî ñëîæíîñòüþ O(nα ), ãäå α ∈ (2, 3], è áóäåì îöåíèâàòü76èñ. 3.7: Âíåøíÿÿ àïïðîêñèìàöèÿ òðóáêè äîñòèæèìîñòè.èñ. 3.8: Âíóòðåííÿÿ àïïðîêñèìàöèÿ òðóáêè äîñòèæèìîñòè.771.51x20.50−0.5−1−1.5−4−3−2−10x12341èñ. 3.9: Âíóòðåííÿÿ è âíåøíèå îöåíêè â ìîìåíò âðåìåíè t = 1.ñëîæíîñòü ÷åðåç ÷èñëî ñêàëÿðíûõ óìíîæåíèé, íåîáõîäèìûõ äëÿ ðàñ÷¼òà ïðàâîé ÷àñòè ñèñòåìû óðàâíåíèé íà ïàðàìåòðû îöåíêè.Âîñïîëüçîâàâøèñü òåì, ÷òî ñëîæíîñòü ïåðåìíîæåíèÿ ïðåäñòàâëåíèé îïåðàòîðîâ íàä ìàòðèöàìè ïîðÿäêà n èìååò ïîðÿäîê 2α, èç îðìóë (3.19), (3.20)ïîëó÷èì, ÷òî äëÿ ðàñ÷¼òîâ îáîèìè ìåòîäàìè íåîáõîäèìî O(n2α ) óìíîæåíèé.Äëÿ ñðàâíåíèÿ ðàáîòû ìåòîäîâ íà ïðàêòèêå îáà àëãîðèòìà áûëè ðåàëèçîâàíû â âû÷èñëèòåëüíîé ñðåäå Matlab.

åçóëüòàòû ñðàâíåíèÿ âðåìåíè íàõîæäåíèÿ óïðàâëåíèÿ â çàâèñèìîñòè îò ðàçìåðíîñòè ñèñòåìû èçîáðàæåíû íà ðèñóíêå3.4.7. Âèäíî, ÷òî îïåðàòîðíûé àëãîðèòì ðàáîòåò ëó÷øå âåêòîðíîãî, íî ïðè óâåëè÷åíèè ðàçìåðíîñòè ñèñòåìû ðàçíèöà âî âðåìåíè àëãîðèòìîâ óìåíüøàåòñÿ.Ïðåèìóùåñòâî îïåðàòîðíîãî àëãîðèòìà çäåñü çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îí ðàñïîëàãàåò ïåðåìåííûå â åñòåñòâåííîì äëÿ àëãîðèòìà óìíîæåíèÿ ìàòðèö ïîðÿäêå.7843.53T(n)2.521.510.502030405060708090100nèñ. 3.10: Âðåìÿ ðàñ÷¼òîâ äëÿ îïåðàòîðíîãî àëãîðèòìà (ñïëîøíàÿ ëèíèÿ) èìåòîäà ÷åðåç âûòÿãèâàíèå (ïóíêòèðíàÿ ëèíèÿ).3.5Çàäà÷à ðåêîíèãóðàöèèÂàæíûì ïðèìåðîì èñïîëüçîâàíèÿ ñèñòåì ñ ìàòðè÷íîé äèíàìèêîé ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à ðåêîíèãóðàöèè êîíòåéíåðà, âîçíèêàþùàÿ â ñèñòåìàõ ñ ãðóïïîâûìóïðàâëåíèåì [3, 4℄. Âèðòóàëüíûé ýëëèïñîèäàëüíûé êîíòåéíåð ïðè ýòîì âûñòóïàåò â êà÷åñòâå ýòàëîííîãî äâèæåíèÿ äëÿ ãðóïïû îáúåêòîâ: åìó òðåáóåòñÿ, îñóùåñòâëÿÿ íåîáõîäèìîå äëÿ òîãî èçìåíåíèå ñâîåé îðìû, ïåðåìåñòèòüñÿ èç íà÷àëüíîé ïîçèöèè, èçáåãàÿ ñòîëêíîâåíèÿ ñ ïðåïÿòñòâèÿìè, íà çàðàíåå çàäàííîåöåëåâîå ìíîæåñòâî.

Характеристики

Список файлов диссертации