Диссертация (1102653), страница 5
Текст из файла (страница 5)
, n,K̇ +nXi,j=1ijKij à +nXP kl (BB ′ KBB ′)kl = 0,(2.20)k,l=1K(θ) = −2DM,1γ̇ − hK, BB ′KBB ′i = 0,4γ(θ) = hM, DMi .Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ïðè ýòîì çàïèøåòñÿ êàênX1P kl Qkl + K B.U = −B ′ 2(2.21)(2.22)k,l=1Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíàÒåîðåìà 2.åøåíèå çàäà÷è (1.1),(1.2) äà¼òñÿ óíêöèåé öåíû (2.11), ïàðàìåò-ðû êîòîðîé îïðåäåëÿþòñÿ èç óðàâíåíèé (2.19)(2.21). Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå, äîñòàâëÿþùåå ìèíèìóì, îïðåäåëÿåòñÿ èç îðìóëû (2.22).2.3.2åøåíèå ïðè íàëè÷èè àçîâûõ îãðàíè÷åíèéÎïèøåì òåïåðü ñõåìû ðåøåíèÿ èñõîäíîé çàäà÷è ïðè íàëè÷èè àçîâûõ îãðàíè÷åíèé (2.1).
Íà÷íåì ñ îïèñàíèÿ ðåøåíèÿ, îïèðàþùåãîñÿ íà ìåòîä øòðàíûõóíêöèé, è ïðè ýòîì ïîçâîëÿþùåãî ðåøàòü çàäà÷ó ñïîñîáàìè, àíàëîãè÷íûìè37ïðåäûäóùåìó ðàçäåëó. Ââåä¼ìWα,β (t, Q) = α(t)(hQ, Qi − λ2+ )+ + β(t)(λ2− − hQ, Qi)+,Zθ VL (t0 , Q0) = min maxhU (t, Q(t)), U (t, Q(t))i +U (·) α(·),β(·)t0+ Wα,β (t, Q(t)) dt + hQ(θ) − M, D(Q(θ) − M)i ,ãäå α(·) è β(·) ñêàëÿðíûå óíêöèè, ïðèíèìàþùèå ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ,α(t) + β(t) = L äëÿ âñåõ t ∈ [t0, θ].
Çäåñü (a)+ îáîçíà÷àåò îïåðàöèþ óñå÷¼ííîéðàçíèöû:(a)+ =a, a > 0,0, a 6 0.Ñëåäóÿ [69℄, ìîæíî ïîìåíÿòü ìåñòàìè ìàêñèìóì è ìèíèìóì, ïîëó÷èâ ñåìåéñòâîóðàâíåíèÿ ßÁ, àíàëîãè÷íûõ (2.9):∂Vα,β+∂t2∂Vα,β∂V1α,β∗ + Wα,β = 0,B, AQ − ∂Q4∂Q ñ òåì æå òåðìèíàëüíûì óñëîâèåì. Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå áóäåò ïî-ïðåæíåìóîïðåäåëÿòüñÿ ÷åðåç (2.10). Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå â âèäå êóñî÷íî-êâàäðàòè÷íîéîðìû,Vα,β (t, Q) = hQ, Pi(t)Qi + hQ, Ki(t)i + γi (t), Q ∈ Ui ,ãäå Ui , i = 1, .
. . , 4 îáëàñòè Rn×n , îïðåäåëÿåìûå ðàçëè÷íûìè êîìáèíàöèÿìèçíàêîâ ðàçíèö â âûðàæåíèè äëÿ Wα,β (t, Q). Ïîëó÷àåì ïî ñèñòåìå óðàâíåíèéäëÿ êàæäîé îáëàñòè Ui . Ïðèâåä¼ì îäèí òàêîé íàáîð, îòâå÷àþùèé îáëàñòè, ãäå38îáå ðàçíèöû ïîëîæèòåëüíû:Ṗ1 + A∗ P1 + P1 A − P1BB ∗P1 + (αλ2+ − βλ2− )I = 0,P1 (θ)X = DX,K̇1 + A∗ K1 + P1 BB ∗K1 = 0,K1(θ) = −2DM,γ̇1 −1hK1, BB ∗K1i + αλ2+ − βλ2− = 0,4γ1 (θ) = hM, DMi .×åðåç I çäåñü è äàëåå îáîçíà÷åí òîæäåñòâåííûé îïåðàòîð. Ñ ïîìîùüþ îïåðàòîðíûõ ïðåäñòàâëåíèé, ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ ìîæíî ïåðåïèñàòü â ìàòðè÷íîìâèäå,Ṗ1ijn Xkl ijkl ijP1 Akl + à P1,kl ++k,l=1+nXk,l,p,q=1ijP1kl (BB ′)kp (BB ′)lq P1,pq+ (αλ2+ − βλ2− )E ij = 0,P1ij (θ) = DE ij , i, j = 1, . .
. , n,K̇1 +nXi,j=1ijK1,ij à +nXP1kl (BB ′ K1BB ′ )kl = 0,k,l=1K1(θ) = −2DM,γ̇1 −1hK1, BB ′ K1BB ′ i + αλ2+ − βλ2− = 0,4γ1 (θ) = hM, DMi .Ñèñòåìû óðàâíåíèé äëÿ U2 , U3 è U4 ïîëó÷àþòñÿ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì. Íàëè÷èå íèæíåãî àçîâîãî îãðàíè÷åíèÿ äåëàåò çàäà÷ó â îáùåì ñëó÷àå íåâûïóêëîé, è ïðåäëàãàåìîå ðåøåíèå áóäåò, âîîáùå ãîâîðÿ, ëèøü îáîáù¼ííûì ðåøåíèåìßÁ [59, 60℄.  ñëó÷àå åãî åäèíñòâåííîñòè, ðåøåíèå ìîæíî ïîíèìàòü â êëàññè39÷åñêîì ñìûñëå, çàìåíÿÿ ïðîèçâåäåíèÿ ãðàäèåíòîâ íà ïðîèçâîäíûå ïî íàïðàâëåíèþ.Ôóíêöèÿ öåíû áóäåò îïðåäåëÿòñÿ êàêVL (t0, Q0) = max Vα,β (t0, Q0).α(·),β(·)Ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî îïòèìèçàòîðû α(·), β(·) çàâèñÿò îò ïîçèöèè (t0 , Q0 ).
åøåíèå çàäà÷è ïîëó÷àåòñÿ ïðè L → +∞, è äîñòèãàåòñÿ íà íåêîòîðîì êîíå÷íîìçíà÷åíèè L [71, 72℄.Åñëè àçîâûå îãðàíè÷åíèÿ ïðèñóòñòâóþò íå íà âñ¼ì âðåìåííîì èíòåðâàëå[t0, θ], à ëèøü â îäèí ìîìåíò âðåìåíè t′ , òî ìîæíî ïðèìåíèòü áîëåå ïðîñòîéïîäõîä. À èìåííî, ðàññìîòðèì âûðàæåíèåa hQ − αI, Q − αIi − b hQ − βI, Q − βIi ,(2.23)ãäå a, b, α è β ïîëîæèòåëüíûå ïàðàìåòðû, à I ∈ Rn×n åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà.Äîáàâëÿÿ óêàçàííîå âûðàæåíèå â óíêöèîíàë ïîä èíòåãðàëîì, íàõîäèì óðàâ-íåíèå ßÁ è îòâå÷àþùåå åìó îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå, ïîëó÷åííîå ìåòîäàìè,îïèñàííûìè â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå.
Äàëåå, ïðîâîäÿ îïòèìèçàöèþ ïî íàáîðó ïàðàìåòðîâ (a, b, α, β), ìîæíî óäîâëåòâîðèòü àçîâûì îãðàíè÷åíèÿì â ìîìåíò t′ .Îïèøåì îäèí èç âîçìîæíûõ ñïîñîáîâ âûáîðà òàêîãî íàáîðà, îò êîòîðîãî ìîæíî îòòàëêèâàòüñÿ ïðè äàëüíåéøåì ïîèñêå. àñïèøåì ñêàëÿðíûå ïðîèçâåäåíèÿâ (2.23):a hQ − αI, Q − αIi − b hQ − βI, Q − βIi == (a − b) hQ, Qi − 2(aα − bβ) hQ, Ii + (α2 − β 2 )n == (a − b)nXλ2k (Q)k=1=− 2(aα − bβ)nXk=1nXk=1λ2k (Q) + (aα2 − bβ 2)n =(a − b)λ2k (Q) − 2(aα − bβ)λ2k (Q) + (aα2 − bβ 2)40Âûáåðåì òåïåðü ïàðàìåòðû òàê, ÷òîáû ìèíèìóì êàæäîãî ñëàãàåìîãî äîñòèãàëñÿ â ïðåäåëàõ àçîâîãî îãðàíè÷åíèÿ.
Äëÿ ýòîãî òðåáóåòñÿa − b > 0, λ− 6aα − bβ6 λ+ .b−a(2.24)Âûáðàòü ïîäîáíûå ïàðàìåòðû ìîæíî âñåãäà.2.4Ñðàâíåíèå âû÷èñëèòåëüíîé ñëîæíîñòè ñ ðåøåíèåì ÷åðåç âûòÿãèâàíèå â âåêòîð äëÿ ñèñòåì áîëüøîé ðàçìåðíîñòèÑðàâíèì âû÷èñëèòåëüíóþ ñòîðîíó ïðåäëîæåííîãî ñïîñîáà ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ ñ ìåòîäîì, ïîëó÷åííûìè â ïðåäûäóùåé ãëàâå. Äëÿ êðàòêîñòè çàïèñè, íåóìàëÿÿ îáùíîñòè, áóäåì ïîëàãàòü n = m.Âû÷èñëèòåëüíóþ ñëîæíîñòü áóäåì îöåíèâàòü ÷èñëîì ñêàëÿðíûõ óìíîæåíèé, èñïîëüçóåìûõ â ðàñ÷¼òíûõ îðìóëàõ.
Ïóñòü â íàøåì ðàñïîðÿæåíèè èìååòñÿ àëãîðèòì óìíîæåíèÿ ìàòðèö ïîðÿäêà n ñ ÷èñëîì óìíîæåíèé f (n). Ñóùåñòâóþò [73, 74℄ àëãîðèòìû, îáåñïå÷èâàþùèå ÷èñëî óìíîæåíèé ïîðÿäêà O(nα ),ãäå α ∈ (2, 3]. Ñëó÷àé α = 3 îòâå÷àåò ïåðåìíîæåíèþ ìàòðèö ïî îïðåäåëåíèþ,ò.å.
ïî ïðàâèëó ¾ñòðîêà íà ñòîëáåö¿. Ïóñòü f (n) = O(nα ), α ∈ (2, 3].åøåíèå çàäà÷è â îáîèõ ñïîñîáàõ ðàçáèâàåòñÿ íà äâà ýòàïà:1. Íàõîæäåíèå â îáðàòíîì âðåìåíè ïàðàìåòðîâ êâàäðàòè÷íîé îðìû óíêöèè öåíû, îïðåäåëÿåìûõ ìàòðèöàìè ïðàâîé ÷àñòè (1.1).2. Íàõîæäåíèå ïî çàäàííîé íà÷àëüíîé ïîçèöèè t0 , Q0 îïòèìàëüíîé òðàåêòîðèè â ïðÿìîì âðåìåíè, ðàññ÷èòûâàþùåå óïðàâëåíèå ïî íàéäåííûì íàïåðâîì ýòàïå ïàðàìåòðàì.41Ñíà÷àëà îöåíèì ÷èñëî óìíîæåíèé, òðåáóåìîå äëÿ íàõîæäåíèÿ ïàðàìåòðîâêâàäðàòè÷íîé îðìû óíêöèè öåíû. Äëÿ ýòîãî îöåíèì ÷èñëî óìíîæåíèé, íåîáõîäèìîå äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðàâûõ ÷àñòåé ñèñòåì äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéíà ïàðàìåòðû óíêöèè öåíû. ñëó÷àå îïåðàòîðíîãî ìåòîäà, äëÿ ýòîãî íóæíî ñíà÷àëà îöåíèòü ñëîæíîñòüóìíîæåíèÿ ïðåäñòàâëåíèé.
Åñëè íàõîäèòü ïðåäñòàâëåíèå ïî îïðåäåëåíèþ, èñïîëüçóÿ îðìóëó (2.2), òî ýòî äà¼ò n6 óìíîæåíèé. Îäíàêî, åñëè èñïîëüçîâàòüîðìóëó (2.4), òî ïîëó÷àåì f (n2) = O(n2α ) óìíîæåíèé. Äàëåå ïðè îöåíêå ñ÷èòàåì, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ïðåäñòàâëåíèé ñ÷èòàåòñÿ ïî îðìóëå (2.4).àññìîòðèì òåïåðü ñèñòåìó óðàâíåíèé (2.12), (2.13) è (2.14).  (2.12) íàäîñäåëàòü ïÿòü óìíîæåíèé ïðåäñòàâëåíèé: A∗ P , PA, BB ∗ (äàëåå èñïîëüçóþùèéñÿâ (2.14)), PBB ∗ (ïîòîì èñïîëüçóþùèéñÿ â (2.13)), è, íàêîíåö, PBB ∗P , èñïîëüçóþùèéñÿ íåïîñðåäñòâåííî â (2.12). Êðîìå òîãî, â (2.13) íàäî ïîñ÷èòàòü äâàäåéñòâèÿ îïåðàòîðà íà ìàòðèöó, äëÿ ÷åãî òðåáóåòñÿ 2n4 óìíîæåíèé; â (2.14) äîáàâëÿåòñÿ îäíî äåéñòâèå îïåðàòîðà íà ìàòðèöó è îäíî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå.Èòîãî, äëÿ îäíîêðàòíîãî ðàñ÷¼òà ïðàâîé ÷àñòè ñèñòåì óðàâíåíèé (2.12),(2.13), (2.14) íåîáõîäèìî 5f (n2) + 3n4 + n2 = O(n2α ) óìíîæåíèé. ñëó÷àå ðåøåíèÿ ÷åðåç âûòÿãèâàíèå, àíàëîãè÷íûì ðàññóæäåíèåì óñòàíàâëèâàåòñÿ, ÷òî ÷èñëî óìíîæåíèé â ñèñòåìå íà ïàðàìåòðû óíêöèè öåíû (1.9)òî÷íî òàêîå æå.Òåïåðü îöåíèì ñëîæíîñòü ïðÿìîãî õîäà ðåøåíèÿ.
Äëÿ ýòîãî îöåíèì ñëîæíîñòü ðàñ÷¼òà óïðàâëåíèÿ êàê ÷èñëî óìíîæåíèé, íåîáõîäèìûõ äëÿ âû÷èñëåíèÿïðàâîé ÷àñòè â çàìêíóòîé íà îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ñèñòåìå.  îïåðàòîðíîììåòîäå, äëÿ íàõîæäåíèÿ óïðàâëåíèÿ ïî îðìóëå (2.22), òðåáóåòñÿ n4 óìíîæåíèé âíóòðè ñêîáîê è åùå 2f (n) âíå íèõ.  ïðàâîé ÷àñòè (1.1) íóæíî ñäåëàòüäâà ìàòðè÷íûõ óìíîæåíèÿ, ÷òî äàåò â èòîãå 4f (n) + n4 = O(n4 ) óìíîæåíèé.Äëÿ ðåøåíèÿ ñ âûòÿãèâàíèåì ðàññìîòðèì îðìóëó (1.10). Äëÿ íàõîæäåíèÿ42óïðàâëåíèÿ íóæíî ñäåëàòü n4 óìíîæåíèé â ñêîáêàõ è f (n2) âíå íèõ.
Ïðàâàÿ÷àñòü (1.1) òðåáóåò 2n4 óìíîæåíèé. Èòîãî èìååì f (n2 ) + 3n4 = O(n2α ) óìíîæåíèé. Ïîñêîëüêó α > 2, òî îïåðàòîðíûé ìåòîä íàõîæäåíèÿ óïðàâëåíèÿ èìååòìåíüøèé ïîðÿäîê ñëîæíîñòè, ÷åì ìåòîä ñ âûòÿãèâàíèåì.Èòàê, áûëà äîêàçàíà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà 3.Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:1. Îáà àëãîðèòìà èìåþò îäèíàêîâîå ÷èñëî óìíîæåíèé ïîðÿäêà n2α íà ýòàïå íàõîæäåíèÿ óíêöèè öåíû;2.
Îïåðàòîðíûé àëãîðèòì ïîçâîëÿåò íàéòè îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå çà÷èñëî óìíîæåíèé ïîðÿäêà n4 , à ìåòîä ñ âûòÿãèâàíèåì çà n2α .Äëÿ ñðàâíåíèÿ ðàáîòû ìåòîäîâ íà ïðàêòèêå îíè áûëè ðåàëèçîâàíû â âû÷èñëèòåëüíîé ñðåäå Matlab. åçóëüòàòû ñðàâíåíèÿ âðåìåíè íàõîæäåíèÿ óïðàâëåíèÿ â çàâèñèìîñòè îò ðàçìåðíîñòè ñèñòåìû èçîáðàæåíû íà ðèñóíêå 2.2. Íà÷èíàÿ ñ ìàòðèö ïîðÿäêà 40, îïåðàòîðíûé àëãîðèòì äàëåå ðàáîòàåò âñ¼ áûñòðååàëãîðèòìà ñ âûòÿãèâàíèåì. Íà ìàòðèöàõ áîëüøåé ðàçìåðíîñòè ïðåèìóùåñòâîìåòîäà áóäåò åù¼ çàìåòíåå.430.70.6T(n)0.50.40.30.20.102030405060708090100nèñ. 2.2: Ñðàâíåíèå âðåìåíè íàõîæäåíèÿ óïðàâëåíèÿ äëÿ îïåðàòîðíîãî ìåòîäà(ñïëîøíàÿ ëèíèÿ) è ìåòîäà ñ âûòÿãèâàíèåì (ïóíêòèðíàÿ ëèíèÿ).
Ïî ãîðèçîíòàëüíîé îñè îòëîæåíà ðàçìåðíîñòü àçîâîé ìàòðèöû, ïî âåðòèêàëüíîé âðåìÿíàõîæäåíèÿ óïðàâëåíèÿ (óñðåäíåíèå ïî 200 çàïóñêàì).2.5×èñëåííûå ïðèìåðû ýòîì ðàçäåëå áóäóò ïðèâåäåíû ÷èñëåííûå ïðèìåðû ðàñ÷¼òà ðåøåíèÿ ìåòîäàìè, îïèñàííûìè â ðàçäåëå 2.3.442.5.1Ïåðâûé ïðèìåðàññìîòðèì çàäà÷ó (1.1), (1.2) ñî ñëåäóþùèìè çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðîâ:sin(10πt)tcos(πt) − sin(πt), B = ,T =2−t5 sin(10πt)sin(πt) cos(πt)1 0.42 −11 0, D = , M = , θ = 1.Q0 = 0.4 2−1 40 1Åñëè Q > 0, òî Q ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ìàòðèöó êîíèãóðàöèé íåêîòî-ðîãî ýëëèïñîèäà, à ìàòðè÷íîçíà÷íóþ óíêöèþ Q(t) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàêýëëèïñîèäàëüíóþ òðóáêó.
Òàêàÿ òðóáêà äëÿ ïðèâåä¼ííîãî ïðèìåðà èçîáðàæåíà íà ðèñ. 2.3. Íà ðèñ. 2.4 èçîáðàæåíî èçìåíåíèå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé âäîëüòðàåêòîðèè.èñ. 2.3: Òðóáêà Q(t) äëÿ ïåðâîãî ïðèìåðà.457Eigenvalues654321000.10.20.30.40.50.60.70.80.91Timeèñ. 2.4: Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ âäîëü òðàåêòîðèè äëÿ ïåðâîãî ïðèìåðà.2.5.2Âòîðîé ïðèìåð ýòîì ïðèìåðå ó÷èòûâàþòñÿ àçîâûå îãðàíè÷åíèÿ (2.1) ïðè λmin = 0.5 èλmax = 6. Ïàðàìåòðû ñèñòåìû òàêîâû:T =−2t12.2Q0 = √210 −1, B = 1 ,0−2t cos(t)1+t,√1 01 02, D = , M = , θ = 2.20 10 2åøåíèå ïîëó÷åíî ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà (2.23), ïàðàìåòðû êîòîðîãî áûëèâûáðàíû òàê:4.14.1a = 5.1, b = 1, α = √ = β = √22Òðóáêà è ñîáñòâåííûå ÷èñëà èçîáðàæåíû íà ðèñ. 2.52.7.46èñ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
