Диссертация (1102653), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Ýòè íåðàâåíñòâà îãðàíè÷èâàþò ðàçìåð ýëëèïñîèäà ñ27èñ. 2.1: åîìåòðè÷åñêèé ñìûñë îãðàíè÷åíèé (2.1).ìàòðèöåé êîíèãóðàöèé Q. åîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ýòèõ îãðàíè÷åíèé ïðîèëëþñòðèðîâàí íà ðèñóíêå 2.1.2.2Ëèíåéíûå îïåðàòîðû íàä ìàòðè÷íûìè ïðîñòðàíñòâàìè äàííîì ðàçäåëå ïðåäëîæåíà ñïåöèàëüíàÿ îðìà çàïèñè ìàòðè÷íûõ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ, óäîáíàÿ äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è. Ýòàèäåÿ âîñõîäèò ê ìåòîäàì òåíçîðíîãî àíàëèçà [39, 40, 41℄.

Íàïîìíèì îäíî èçâîçìîæíûõ îïðåäåëåíèé òåíçîðà.Îïðåäåëåíèå 1.Òåíçîðîì òèïà (p, q) ðàíãà p + q íàä ïðîñòðàíñòâîì W íàçû-âàåòñÿ ïîëèëèíåéíîå îòîáðàæåíèåT : |W × .{z. . × W} × |W ∗ × .{z. . × W }∗ → R,qp28çàäàâàåìîå îðìóëîéX XT (a1, . . . , aq ; l1, . . . , lp) =i ...iTj11...jqp aj11 . . . ajqq lj11 . . . lipp ,i1 ,...,ip j1 ,...,jqjãäå ak = {akk } ∈ W, lk = {likk } ∈ W ∗ .Òàêèì îáðàçîì, íàäî ïðåäîñòàâèòü îïèñàíèå äåéñòâèå òåíçîðà òèïà (2, 2) âóäîáíîé äëÿ äàëüíåéøèõ äåéñòâèé îðìå.Áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç L (X, Y ) ïðîñòðàíñòâî ëèíåéíûõ îãðàíè÷åííûõ îïå-ðàòîðîâ, îòîáðàæàþùèõ ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî X â ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî Y .Êàê èçâåñòíî, äåéñòâèå ëèíåéíîãî îïåðàòîðà A ∈ L (Rn , Rm ) íà âåêòîð x ìîæ-íî çàïèñàòü â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèöû îïåðàòîðà íà âåêòîð, Ax = Ax. Âýòîì ðàçäåëå äëÿ îïåðàòîðîâ íàä ïðîñòðàíñòâàìè ìàòðèö ââîäÿòñÿ îáúåêòû,àíàëîãè÷íûå ìàòðèöàì ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ íàä Rn , ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ âñëåäóþùåì ðàçäåëå áóäåò ïîñòðîåíî ðåøåíèå èñõîäíîé çàäà÷è.àññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé ëèíåéíûé îïåðàòîð A ∈ L (Rn×n , Rm×m).

Çàèê-ñèðóåì ïðîèçâîëüíûé áàçèñ {E ij }ni,j=1 â Rn×n , íàïðèìåð,ij nijE ij = {Eab}a,b=1, i, j = 1, . . . , n, Eab=1, a = i è b = j,0, èíà÷å. äàëüíåéøåì ïðè ðàáîòå ñ íàáîðàìè ìàòðèö áóäåì îáîçíà÷àòü ïîðÿäêîâûéíîìåð ìàòðèöû â íàáîðå âåðõíèì èíäåêñîì, à åå êîíêðåòíûé ýëåìåíò íèæíèìèíäåêñîì. Ïðè òàêèõ îáîçíà÷åíèÿõ, Aijpq ÷èñëî, ñòîÿùåå íà ïåðåñå÷åíèè p-éñòðî÷êè è q -ãî ñòîëáöà ìàòðèöû Aij .Äåéñòâèå ëèíåéíîãî îïåðàòîðà íà ïðîèçâîëüíóþ ìàòðèöó X =Pni,j=1 Xij Eîäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì åãî äåéñòâèÿ íà ýëåìåíòàõ áàçèñà,AX = AnXijXij E =i,j=1nXi,j=129Xij AE ij .ijÂâåä¼ì ìàòðèöû Aij = AE ij , i, j = 1, . .

. , n, Aij ∈ Rm×m . Òàêèì îáðàçîì,êàæäîìó A ∈ L(Rn×n , Rm×m) ìîæíî ïîñòàâèòü âî âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñî-îòâåòñòâèå íàáîð ìàòðèö A = {Aij }ni,j=1 ∈ Rn×n × Rm×m . Ââåä¼ì ñëåäóþùååîïðåäåëåíèå, êîòîðûì áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ â äàëüíåéøåì.Îïðåäåëåíèå 2.Áóäåì íàçûâàòü íàáîð A = {Aij = AE ij }ni,j=1 ïðåäñòàâëåíè-åì îïåðàòîðà A è îáîçíà÷àòü òàêîå ñîîòâåòñòâèå ÷åðåç A = {Aij }ni,j=1 .Ìàòðèöå îïåðàòîðà â ïðîñòðàíñòâå Rn , ðàâíîãî ñóïåðïîçèöèè îïåðàòîðîâ,îòâå÷àåò ìàòðèöà, ðàâíàÿ ïðîèçâåäåíèþ ìàòðèö ñîîòâåòñòâóþùèõ îïåðàòîðîâ.Îïðåäåëèì òåïåðü ïðîèçâåäåíèå ïðåäñòàâëåíèé îïåðàòîðîâ â ìàòðè÷íîì ïðîñòðàíñòâå Rn×n êàê ïðåäñòàâëåíèå èõ ñóïåðïîçèöèè. Ïóñòün×n, Rm×m , B = {B ij }ni,j=1.A ∈ L Rm×m , Rk×k , A = {Aij }mi,j=1 , B ∈ L RÈìååì:ABX = AnXB ij Xij =i,j=1mXAklk,l=1nXB ij Xiji,j=1!=nXi,j=1klmXk,l=1Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó îïðåäåëåíèþ.Îïðåäåëåíèå 3.ij Akl BklXij .ij nÏðîèçâåäåíèå ïðåäñòàâëåíèé A = {Aij }mi,j=1 , B = {B }i,j=1íàçûâàåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå C , çàäàâàåìîå îðìóëîénmXkl ijC = AB, C =A Bklk,l=1.(2.2)i,j=1Âèäíî, ÷òî îïðåäåë¼ííîå òàêèì îáðàçîì ïðîèçâåäåíèå áóäåò àññîöèàòèâíûì.Êðîìå òîãî, ëåãêî çàìåòèòü, ÷òîC ij = AB ij .Èññëåäóåì âçàèìîñâÿçü îïåðàöèé óìíîæåíèÿ ïðåäñòàâëåíèé è óìíîæåíèÿìàòðèö.

Ïóñòü f (i, j) ïðîèçâîëüíîå âçàèìíî îäíîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå ìíîæåñòâà èíäåêñîâ (i, j), i, j = 1, 2, . . . , n, â íîìåðà 1, 2, . . . , n2 , à g(i, j) ìíîæåñòâà (p, q), p, q = 1, . . . , m, â íîìåðà 1, . . . , m2 . Òîãäà ëþáîìó ïðåäñòàâëåíèþ30D = {Dij }ni,j=1, Dij ∈ Rm×m , ìîæíî ïîñòàâèòü âî âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ìàòðèöó22f −1 (β)m ,nD̊ = {D̊αβ }α,β=1, D̊αβ = Dαβ = Dg−1 (α) ,(2.3)Îáîçíà÷èâ γ = g −1 (k, l), ìîæíî ïåðåïèñàòü (2.2) â âèäåijCpq=nX22ijAklpq Bklk,l=1⇔ Cαβ =mXγ=1Aγα Bγβ ⇔ C̊αβ =mXγ=1Åαγ B̊γβ ⇔ C̊ = ÅB̊. (2.4)Òàêèì îáðàçîì, íàõîæäåíèå n2 · k 2 êîýèöèåíòîâ ïðåäñòàâëåíèÿ îïåðàòîðàC = AB ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ êîýèöèåíòîâ ìàòðèöû C̊ ðàçìåðà k 2 × n2 ,ïîëó÷àþùåéñÿ êàê óìíîæåíèå ìàòðèö Å è B̊ ðàçìåðîâ k 2 × m2 è m2 × n2 ñîîò-âåòñòâåííî. Äàííàÿ îðìóëà ïîëåçíà ïðè îðãàíèçàöèè âû÷èñëèòåëüíûõ àëãîðèòìîâ äëÿ ìàòðè÷íûõ îïåðàòîðîâ, ïîçâîëÿÿ îðãàíèçîâûâàòü õðàíåíèå ïðåäñòàâëåíèé îïåðàòîðîâ â ïàìÿòè ñîãëàñîâàíî ñ èìåþùèìñÿ â ðàñïîðÿæåíèè àëãîðèòìîì óìíîæåíèÿ ìàòðèö.

Îíà îñîáåííî ïîëåçíà ïðè èñïîëüçîâàíèè ïàðàëëåëüíûõ âû÷èñëåíèé.Ôîðìóëà (2.4) òàêæå ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ñïîñîá íàõîæäåíèÿ ïðåäñòàâëåíèÿîáðàòíîãî îïåðàòîðà. Äåéñòâèòåëüíî,−1AA −1 ˚˚˚−1−1−1˚˚˚= ÅI.=I ⇔ A= I ⇔ AA = I ⇔ Å AÑòîèò îòìåòèòü, ÷òî ˚I áóäåò ìàòðèöåé ïåðåñòàíîâêè, îäíîçíà÷íî çàäàâàåìîéîòîáðàæåíèÿìè f è g .

Òàê, íàïðèìåð, åñëè(1, 1) (1, 2) (2, 1) (2, 2)(1, 1) (1, 2) (2, 1) (2, 2), g : ,f: 41324231òî10˚I=000 00 00 11 03101.00Çäåñü â òàáëèöå ïåðåñòàíîâîê âåðõíÿÿ ñòðî÷êà çàäàåò ìàòðè÷íûé èíäåêñ (ñòðîêà, ñòîëáåö), íèæíÿÿ ëèíåéíûé èíäåêñ.Äëÿ äàëüíåéøåãî ïîòðåáóåòñÿ ñëåäóþùåå âñïîìîãàòåëüíîå óòâåðæäåíèå.Ëåììà 3.Ïóñòü îïåðàòîð A ∈ L (Rn×n , Rm×m) èìååò ïðåäñòàâëåíèå A ={Aij }ni,j=1. Òîãäà ñîïðÿæåííûé ê íåìó îïåðàòîð A∗ èìååò ïðåäñòàâëåíèåijklà = {Ãij }mi,j=1, ãäå Ãij = Akl .(2.5)Äîêàçàòåëüñòâî.

Äåéñòâèòåëüíî,hAX, Y i =nXi,j=1Yij nXk,l=1=Xkl Akl  =nXk,l=1XklijnXYij Aklij =i,j=1*X,nXi,j=1Yij Âij+= hX, A∗ Y i ,÷òî è òðåáîâàëîñü ïîêàçàòü.Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ àíàëîãèÿ. Åñëè îïåðàòîðó A, äåéñòâóþùèì íàä Rn ,îòâå÷àåò ìàòðèöà A, è îïåðàòîðó A∗ áóäåò îòâå÷àòü ìàòðèöà A′ , ïîëó÷åííàÿ èçA ïåðåñòàíîâêîé ñòðî÷íîãî è ñòîëáöîâîãî èíäåêñîâ, òî â ñëó÷àå Rn×n èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå.

Ïåðåñòàâëÿåòñÿ ïàðà èíäåêñîâ, âûäåëÿþùàÿ ýëåìåíò èç íàáîðàïðåäñòàâëåíèÿ, è ïàðà èíäåêñîâ, âûäåëÿþùàÿ èç ýòîãî ýëåìåíòà íàáîðà êîíêðåòíîå ÷èñëî. Òàêèì îáðàçîì, ïðåäñòàâëåíèå Ã, îïðåäåëÿåìîå èç A ïî ëåììå3, ìîæíî ïî àíàëîãèè íàçâàòü òðàíñïîíèðîâàíèåì ïðåäñòàâëåíèÿ A.Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå ñâÿçûâàåò äåéñòâèå îïåðàòîðà è ïðåäñòàâëåíèå åãîñîïðÿæåííîãî.Ëåììà 4.Ïóñòü îïåðàòîð, ñîïðÿæåííûé ê îïåðàòîðó A, èìååò ïðåäñòàâ-32ëåíèå {Ãij }ni,j=1 . ÒîãäàDE DE1112 DX, à E DX, à E X, Ã21X, Ã22AX =  ······E DEDn1n2X, ÃX, ÷···········DE1nX, à DE2n X, à .··· DEX, ÃnnÄîêàçàòåëüñòâî.

Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî(AX)ij =nXXkl Aklij=nXXkl Aklijîòêóäà è âûòåêàåò óòâåðæäåíèå ëåììû.2.32.3.1Xkl Ãijklk,l=1k,l=1k,l=1=nXEDij= X, à ,åøåíèå çàäà÷èåøåíèå ïðè îòñóòñòâèè àçîâûõ îãðàíè÷åíèéÑíà÷àëà ðàññìîòðèì çàäà÷ó (1.1),(1.2) ïðè îòñóòñòâèè àçîâûõ îãðàíè÷åíèé(2.1). Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è çàïèøåì óðàâíåíèå (1.1) â îïåðàòîðíîì âèäå, ââåäÿîïåðàòîðûA(t)X = T (t)X + XT ′ (t), B(t)X = B(t)XB ′ (t). äàëüíåéøåì äëÿ êðàòêîñòè àðãóìåíò t ïèñàòü íå áóäåì. Íàéä¼ì ïðåäñòàâëåíèÿ ýòèõ îïåðàòîðîâ.

Äëÿ A:T 11 T21T E ij = · · ·Tn1T12 . . .T22 . . .··· ···Tn2 . . .0T1n  · · ·T2n   0···· · ·Tnn 0... ...··· ···1...··· ···... ...00  · · ·  · · ·  0= 0  · · ·  · · · 00. . . T1i . . .··· ··· ···. . . Tii . . .··· ··· ···. . . Tni . . .0· · ·0 ,· · ·0ãäå íåíóëåâîé ñòîëáåö íàõîäèòñÿ â ïîçèöèè j .

Àíàëîãè÷íî, E ij T ′ áóäåò èìåòüîäíó íåíóëåâóþ ñòðîêó j -þ ñòðîêó ìàòðèöû T , ñòîÿùóþ â ïîçèöèè i.33Èòàê, ïðåäñòàâëåíèå A çàäà¼òñÿ îðìóëîéTii + Tjj ,Tbj ,ijijAab = AE ab =Tai,0,a = i è b = j,a = i è b 6= j,(2.6)a 6= i è b = j,a 6= i è b 6= j.Äëÿ îïåðàòîðà B ïîëó÷àåì:B BB1i Bj2 1i j1 B2iBj1 B2i Bj2ijij ′BE = BE B =  ······BmiBj1 BmiBj2Òàêèì îáðàçîì,ijBab= BE ijab.

. . B1iBjm. . . B2iBjm .······ . . . Bmi Bjm= BaiBbj .(2.7)Ïî ëåììå 3, ñîïðÿæ¼ííûå îïåðàòîðû A∗ è B ∗ áóäóò èìåòü ïðåäñòàâëåíèåTii + Tjj , a = i è b = j,Tjb,a = i è b 6= j,ijijB̃abÃab =(2.8)= BiaBjb .Tia,a 6= i è b = j,0,a 6= i è b 6= j, òåðìèíàõ ââåä¼ííûõ îïåðàòîðîâ çàäà÷à ïðèíèìàåò âèäQ̇ = AQ + BU,Q(t0 ) = Q0,ZθhU, U i dt + hQ(θ) − M, D(Q(θ) − M)i → min .t034åøèì ýòó çàäà÷ó ìåòîäîì äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.

Ââîäÿ óíêöèþ öåíû,V (t0, Q0) = min {Ψ(U (·, ·)) | Q(t0) = Q0} ,U (·,·)ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ àìèëüòîíàßêîáèÁåëëìàíà [51℄∂V∂V+ min, AQ + BU + hU, U i = 0,U∂t∂Q(2.9)V (θ, Q) = hQ − M, D(Q − M)i . îòëè÷èå îò óðàâíåíèÿ (1.3), ýòî ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå, çàïèñàííîå â îïå∂Vîáîçíà÷àåò ìàòðè÷íóþ ïðîèçâîäíóþ óíêöèèðàòîðíûõ òåðìèíàõ. Çäåñü∂Qöåíû ïî àçîâîé ìàòðèöå, ïîíèìàåìóþ â ñìûñëå Ôðåøå [26, 27℄.Äèåðåíöèðóÿ ïî Q âûðàæåíèå â èãóðíûõ ñêîáêàõ, ïîëó÷èì, ÷òî ìèíèìóì äîñòèãàåòñÿ íà îïòèìàëüíîì óïðàâëåíèè1 ∂V.U = − B∗2 ∂Q(2.10)Ïîäñòàâèâ åãî â ñèñòåìó, ïîëó÷èì1∂V∂V∗ ∂V∗ ∂V+, AQ −,BB= 0.∂t∂Q4∂Q∂QÁóäåì èñêàòü ðåøåíèå â âèäå êâàäðàòè÷íîé îðìû,V (t, Q) = hQ, P(t)Qi + hQ, K(t)i + γ(t) =nXi,j,k,l=1Qij Qkl Pijkl (t) + hQ, K(t)i + γ(t).(2.11)Çäåñü P(t) = {P ij }ni,j=1 ∈ L(Rn×n , Rn×n), K(t) ∈ Rn×n, γ(t) ∈ R. Ïîäñòàâèâ ýòîâûðàæåíèå â (2.9), ïîëó÷èì êâàäðàòè÷íóþ îðìó ïî Q:DEDE1Q, ṖQ + Q, K̇ + γ̇ + h2PQ + K, AQi − h2PQ + K, BB ∗(2PQ + K)i = 0.4Ïðèðàâíèâàÿ êîýèöèåíòû ïðè êâàäðàòè÷íîì è ëèíåéíîì ñëàãàåìûõ è ïðèñâîáîäíîì ÷ëåíå ê íóëþ, ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé íà ïàðàìåòðû óíêöèè35öåíû:Ṗ + A∗ P + PA − PBB ∗P = 0, P(θ)X = DX,K̇ + A∗ K + PBB ∗K = 0, K(θ) = −2DM,1γ̇ − hK, BB ∗Ki = 0, γ(θ) = hM, DMi .4(2.12)(2.13)(2.14)Çàïèøåì òåïåðü ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ â ìàòðè÷íîì âèäå, èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèÿ îïåðàòîðîâ.

Äëÿ íà÷àëà âûïèøåì ïðåäñòàâëåíèå äëÿ îïåðàòîðà C =BB ∗ = {C ij }ni,j=1, âîñïîëüçîâàâøèñü îðìóëàìè (2.6), (2.7) è (2.8):ijCab=nXBak Bbl Bik Bjl =nXBak BikBbl Bjl = (BB ′ )ai(BB ′)bj .(2.15)l=1k=1k,l=1nXÑîïîñòàâëÿÿ ýòî ñ (2.7), ïîëó÷àåì, ÷òîCX = BB ′ XBB ′ .Çàïèøåì âûðàæåíèÿ äëÿ (i, j)-îé êîìïîíåíòû ïðåäñòàâëåíèÿ êàæäîãî ñëàãàåìîãî ïåðâîãî óðàâíåíèÿ:PA :A∗ P :PCP :nXk,l=1nXk,l=1nXk,l=1P kl Aijkl ,(2.16)Ãkl Pklij ,(2.17)Pkl(CP)klij=nXk,l=1PklnXp,q=136CpqijPpq!kl=nXk,l,p,q=1pq ijP kl CklPpq .(2.18)Îòñþäà ïîëó÷àåì:ijṖ +n XPklAijkl+ Ãk,l=1klPklij+nXijP kl (BB ′)kp(BB ′ )lq Ppq= 0,(2.19)k,l,p,q=1P ij (θ) = DE ij , i, j = 1, . . .

Характеристики

Список файлов диссертации