Диссертация (1102653), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Çàòåì âåêòîðíàÿ çàäà÷à ðåøàåòñÿ ìåòîäàìè äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ: âûïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèå àìèëüòîíàßêîáè17Áåëëìàíà, ïîñëå ÷åãî ââîäèòñÿ óíêöèÿ öåíû, äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî îíà áóäåòêâàäðàòè÷íîé îðìîé îò íà÷àëüíîé ïîçèöèè ñèñòåìû, è ïðèâîäÿòñÿ äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ íà å¼ ïàðàìåòðû.Ïîñëå ïîëó÷åíèÿ îòâåòà â òåðìèíàõ âûòÿíóòûõ ìàòðèö ïðåäïðèíèìàåòñÿïîïûòêà âîçâðàùåíèÿ ê èñõîäíûì ìàòðè÷íûì îáîçíà÷åíèÿì: îêàçûâàåòñÿ, ÷òîÿâíûå îðìóëû äëÿ ïåðåõîäà îò ìàòðè÷íîé àçîâîé ïåðåìåííîé ê âåêòîðíîé íåèìåþò ìåñòà äëÿ ïåðåõîäà îáðàòíîãî, îò âåêòîðíîé ê ìàòðè÷íîé. Ïðèâîäèòñÿêëàññ ñèñòåì, äëÿ êîòîðûõ òàêîé ïåðåõîä âîçìîæåí.1.1Ïîñòàíîâêà çàäà÷èÍà èêñèðîâàííîì îòðåçêå âðåìåíè [t0 , θ] ðàññìàòðèâàåòñÿ ñèñòåìàQ̇(t) = T (t)Q(t) + Q(t)T ′(t) + B(t)U (t)B ′(t),(1.1)Q(t0 ) = Q0,ãäå Q ∈ Rn×n ìàòðè÷íàÿ àçîâàÿ ïåðåìåííàÿ, U ∈ Rm×m óïðàâëåíèå,ìàòðè÷íûå ïàðàìåòðû T ∈ Rn×n, B ∈ Rn×m ïðåäïîëàãàþòñÿ íåïðåðûâíî äèåðåíöèðóåìûìè. Øòðèõ îçíà÷àåò òðàíñïîíèðîâàíèå.Òðåáóåòñÿ íàéòè ïîçèöèîííîå ìàòðè÷íîå óïðàâëåíèå U (t, Q), äîñòàâëÿþùèåìèíèìóì óíêöèîíàëóΨ(U (·)) =Zθt0hU (t, Q(t)), U (t, Q(t))i dt + hQ(θ) − M, D(Q(θ) − M)i(1.2)íà òðàåêòîðèÿõ ñèñòåìû (1.1).

Çäåñü M, D = D′ > 0 èçâåñòíûå ìàòðèöû.Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö A, B ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê hA, Bi = tr(B ′ A),èíäóöèðóþùåå â Rn×n íîðìó Ôðîáåíèóñà [29, 30℄:!1/2nX.kAk =a2iji,j=1181.2åøåíèåÄëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è çàïèøåì ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå (1.1) â âåêòîðíîì âèäå.×åðåç Q îáîçíà÷èì âûòÿãèâàíèå ìàòðèöû Q ïî ñòðîêàì â âåêòîðñòîëáåö, a 11   a12   . . .   a1n   a11 a12 .

. . a1n a21  A = . . . . . . . . . . . .  , A =   .. . .  an1 an2 . . . anna  n1    an2   . . . annÄëÿ äàëüíåéøèõ äåéñòâèé íàì ïîòðåáóåòñÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ êðîíåêêåðîâûì(òåíçîðíûì) ïðîèçâåäåíèåì ìàòðèö [29℄:a B a12 B 11 a21B a22 BA⊗B =  ......an1 B an2 B. . . a1n B. . . a2n B ... ... .

. . ann BÒàêèì îáðàçîì, åñëè A ∈ Rn1 ×m1 , B ∈ Rn2 ×m2 , òî A ⊗ B ∈ Rn1 n2 ×m1m2 . Äëÿ ïîñòðîåíèÿ äàëüíåéøåãî ðåøåíèÿ íàì ïîòðåáóþòñÿ íåêîòîðûå ñâîéñòâà îïåðàöèèâûòÿãèâàíèÿ.Ëåììà 1([29, 31, 32, 19℄). Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ:1. hA, Bi = A, B ;2. (A ⊗ B)′ = A′ ⊗ B ′ ;193. (A ⊗ B)(C ⊗ D) = AC ⊗ BD;4. Ïðîèçâåäåíèå A ⊗ B ÿâëÿåòñÿ îáðàòèìûì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàA è B ÿâëÿþòñÿ îáðàòèìûìè, ïðè÷¼ì(A ⊗ B)−1 = A−1 ⊗ B −15. AXB = (A ⊗ B ′ )X .6. Åñëè A ∈ Rm×m , λ1 , λ2 , . . . , λm ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ A, è B ∈ Rp×p ,µ1 , µ2 , . . ., µp ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ B , òî ìàòðèöà A × B èìååò mpñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé λi µj , i = 1, .

. . , m, j = 1, . . . , p.7. tr ABCD = (D′ )′ (C ′ ⊗ A)B = (D)′ (A ⊗ C)B ′Âîñïîëüçîâàâøèñü ëåììîé 1, ìû ìîæåì ïðåîáðàçîâàòü ñèñòåìó ñëåäóþùèìîáðàçîì,˙ = (T ⊗ I)Q + (I ⊗ T )Q + (B ⊗ B)U ≡ AQ + BU.QãäåA = (T ⊗ I) + (I ⊗ T ), B = (B ⊗ B).Òîãäà óíêöèîíàë (1.2) çàïèøåòñÿ â âèäåΨ(U (·)) =Zθt0U (t, Q(t)), U(t, Q(t)) dt + Q(θ), (D ⊗ I)Q(θ) ++ Q(θ), DM + hM, DMi .Çäåñü è äàëåå ÷åðåç I îáîçíà÷àåòñÿ åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà ñîîòâåòñòâóþùåãî ðàçìåðà.

Ïîëó÷åííóþ âåêòîðíóþ çàäà÷ó áóäåì ðåøàòü ìåòîäîì äèíàìè÷åñêîãîïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ïîä (ìàòðè÷íîé) ïîçèöèåé ñèñòåìû áóäåì ïîíèìàòü ïàðó{t, Q}, ïðèíàäëåæàùóþ ïðîñòðàíñòâó [t0 , θ] × Rn×n . Ââåä¼ì óíêöèþ öåíûV (t0, Q0) = min {Ψ(U (·)) | Q(t0 ) = Q0} .U (·)20Ýòà óíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì êëàññè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ àìèëüòîíàßêîáèÁåëëìàíà (ßÁ) [51℄∂V∂V+ min, AQ + BU + U (t), U(t) = 0,∂t∂QU(1.3)ïðè òåðìèíàëüíîì óñëîâèè V (θ, Q) = Q(θ), (D ⊗ I)Q(θ) + Q(θ), DM + hM, DMi .(1.4)Òîãäà ìèíèìóì â (1.3) äîñòèãàåòñÿ íà îïòèìàëüíîì óïðàâëåíèè1 ∂V.U = − B′2 ∂QÏîäñòàâèâ óïðàâëåíèå U â óðàâíåíèå (1.3), ïîëó÷èì∂V∂V∂V1 ∂V+, AQ −, BB ′= 0.∂t4∂Q∂Q∂QÏîëó÷åííîå âûðàæåíèå åñòü êâàäðàòè÷íàÿ îðìà îò àçîâûõ êîîðäèíàò è ïðîñòðàíñòâåííûõ ïðîèçâîäíûõ óíêöèè öåíû.Ïîñëåäíåå ïîçâîëÿåò èñêàòü óíêöèþ öåíû òàêæå â âèäå êâàäðàòè÷íîé îðìû, à èìåííî, V (t, Q) = Q, P(t)Q + Q, κ(t) + γ(t).(1.5)Ïîäñòàâèì ýòó êâàäðàòè÷íóþ îðìó â ñèñòåìó:DE ˙ + 2P(t)Q + κ(t), AQ +Q, Ṗ(t)Q + Q, κ̇(t) + γ(t)+ 2P(t)Q + κ(t), BB ′(2P(t)Q + κ(t)) .Ïðèðàâíèâàÿ ê íóëþ êîýèöèåíòû ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòåïåíÿõ Q, ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé:Ṗ + A′ P + PA − PBB ′P = 0, P(θ) = D ⊗ I,(1.6)κ̇ + A′ κ + PBB ′κ = 0, κ(θ) = −2DM ,1γ̇ − (hκ, BB ′κi) = 0, γ(θ) = hM, DMi = 0.4(1.7)21(1.8)Âîçâðàùàÿñü ê èñõîäíûì îáîçíà÷åíèÿì, çàïèøåì óðàâíåíèÿ (1.6)(1.8) â âèäåṖ + (T ′ ⊗ I + I ⊗ T ′ )P + P(T ⊗ I + I ⊗ T ) − P(BB ′ ⊗ BB ′ )P = 0,P(θ) = D ⊗ I,κ̇ + (T ′ ⊗ I + I ⊗ T ′ )κ + P(BB ′ ⊗ BB ′ )κ = 0,(1.9)κ(θ) = −2DM ,γ̇ −1(hκ, (BB ′ ⊗ BB ′ )κi) = 0,4γ(θ) = hM, DMi .Èòàê, ñ ïîìîùüþ ýòèõ óðàâíåíèé ïîëó÷åíû óðàâíåíèÿ äëÿ ïàðàìåòðîâ îðìû(1.5).

Ïðè íåïðåðûâíîé äèåðåíöèðóåìîñòè ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû îíè îäíîçíà÷íî çàäàþò êëàññè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è (1.3), (1.4), ÿâëÿþùååñÿ åäèíñòâåííûì [60℄. Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíàÒåîðåìà 1.Ôóíêöèÿ öåíû (1.5), ãäå ïàðàìåòðû îïèñûâàþòñÿ ñèñòåìîé (1.9),îïðåäåëÿåò ðåøåíèå çàäà÷è îïòèìèçàöèè (1.1), (1.2). Ïðè ýòîì ñèíòåçèðóþùåå îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå U (t, Q) äà¼òñÿ îðìóëîé∂V1.U = − (B ⊗ B)′2∂Q1.3(1.10)Âîçâðàùåíèå ê ìàòðè÷íûì îáîçíà÷åíèÿìÓðàâíåíèÿ (1.9) çàïèñàíû ïóò¼ì ïåðåõîäà îò ìàòðèö ê âåêòîðàì ÷åðåç âûòÿãèâàíèå. Ïîëó÷åííîå ðåøåíèå èìååò âåêòîðíûé âèä, äëÿ âîçâðàùåíèÿ ê èñõîäíûì ìàòðè÷íûì îáîçíà÷åíèÿì íóæíû äîïîëíèòåëüíûå îïåðàöèè. Ïåðåõîäîò ìàòðèö ê âåêòîðàì ïðîèçâîäèëñÿ ïî ïðîñòûì è ÿâíûì îðìóëàì, ïîýòîìóåñòåñòâåííî çàäàòü âîïðîñ âîçìîæåí ëè ïåðåõîä îò ïîëó÷åííîãî âåêòîðíîãîðåøåíèÿ îáðàòíî ê ìàòðè÷íîìó ñ ïîìîùüþ àíàëîãè÷íûõ ñîîòíîøåíèé?Èíûìè ñëîâàìè, âîçìîæíî ëè ïîëó÷èòü ÷åðåç ïàðàìåòðû P(t) ∈ Rn222×n2,2κ(t) ∈ Rn ìàòðèöû P(t) ∈ Rn×n , K(t) ∈ Rn×n òàê, ÷òî áûQ, P(t)Q = hQ, P(t)Qi , Q, κ(t) = hQ, K(t)i äëÿ âñåõ Q, t,(1.11)ò.å.

âîçìîæíî ëè ïîëó÷èòü ìàòðè÷íûå ðåøåíèÿ, íå ïðèáåãàÿ ïðåäâàðèòåëüíîê âûòÿãèâàíèþ ðåøåíèÿ â ñòîëáåö? È, åñëè ýòî âîçìîæíî, òî êàê ñâÿçàíû ïàðàìåòðû P(t), K(t) ñ óðàâíåíèÿìè (1.9)? Òàêàÿ âîçìîæíîñòü ïîçâîëèëà áû íåâûõîäèòü èç êëàññà ìàòðèö ïðè ðåøåíèè çàäà÷è.Âîñïîëüçîâàâøèñü ëåììîé 1, ïîëó÷àåì, ÷òî ïåðâîå ñîîòíîøåíèå â (1.11) ýêâèâàëåíòíî âûïîëíåíèþP(t) = P(t) ⊗ I äëÿ âñåõ t.(1.12)Åñëè îíî èìååò ìåñòî, äëÿ ïàðàìåòðà K(t), K(t) = κ(t), èç (1.9) âûòåêàåòK̇ + T ′ K + KT ′ + PBB ′ KBB ′ = 0, K(θ) = −DM.(1.13)Ïðè ýòîì óðàâíåíèå íà γ(t) ïðèìåò âèäγ̇ −1(hK, BB ′KBB ′i) = 0, γ(θ) = hm, Dmi + hM, DMi .4(1.14)Òàêèì îáðàçîì, òðåáóåòñÿ ïðîâåðèòü âîçìîæíîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ (1.12).Îêàçûâàåòñÿ, â îáùåì ñëó÷àå ýòî ïðåäñòàâëåíèå íå èìååò ìåñòà â ñèëó ñëåäóþùåãî ðàññóæäåíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè îíî âåðíî äëÿ P, òî ïî ëåììå 1P−1 = P −1 (t) ⊗ I . Ïðè ýòîì èç (1.9) èìååì, ÷òîd P−1+ P−1 (T ′ ⊗ I + I ⊗ T ′) + (T ⊗ I + I ⊗ T )P−1 − BB ′ ⊗ BB ′ = 0.dtÅñëè âûáðàòü0 01 1, B = ,T =0 00 1òî ïðè ëþáûõ íà÷àëüíûõ äàííûõ D ïîëó÷àåì, ÷òî P−1 (t)12Çíà÷èò, ïðåäñòàâëåíèå (1.12) â îáùåì ñëó÷àå íå èìååò ìåñòà.236= 0 ïðè t 6= 0.Ïðèâåäåì äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ, êîãäà ïðåäñòàâëåíèå (1.12) ñïðàâåäëèâî.Îíî ðàâíîñèëüíî âûïîëíåíèþ äâóõ óñëîâèé, P(θ) = P(θ) ⊗ I , è Ṗ(t) = Ṗ(t) ⊗ I .Ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî â ñèëó (1.9) ïåðâîå óëîâèå âûïîëíåíî, è P(θ) = D.

Ïóñòüäî ìîìåíòà t (1.12) âåðíî. àññìîòðèì ïðîèçâîäíóþ â ìîìåíò t:Ṗ + (T ′P + PT ) ⊗ I + P ⊗ (T + T ′) + (PBB ′P) ⊗ (BB ′ ) = 0.Ëåììà 2.Âûïîëíåíèå P ⊗ (T + T ′ ) + (PBB ′P) ⊗ (BB ′) = f (t, Q) ⊗ I äëÿ âñåõP âîçìîæíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàT (t) + T ′ (t) = µ(t)I, B(t)B ′(t) = ν(t)I, t ∈ [t0 , θ],(1.15)ãäå µ(t), ν(t) ñêàëÿðíûå óíêöèè.Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íîñòü î÷åâèäíà. Íåîáõîäèìîñòü ñëåäóåò èç òîãî, ÷òîìàòðèöà f (t, Q) ⊗ I ñîñòîèò èç äèàãîíàëüíûõ áëîêîâ (f (t, Q))ij I äèàãîíàëü-íûõ ìàòðèö ñ îäèíàêîâûìè ÷èñëàìè íà äèàãîíàëÿõ.

Ïóñòü ó T (t) + T ′ (t) èëè óB(t)B ′(t) èìååòñÿ íåíóëåâîé âíåäèàãîíàëüíûé ýëåìåíò â ïîçèöèè (i, j). Âûáåðåì P = kI , ãäå k íåêîòîðîå ÷èñëî. Òîãäà ñóììà êðîíåêêåðîâûõ ïðîèçâåäåíèéáóäåò èìåòü áëî÷íîäèàãîíàëüíûé âèä ñ áëîêàìè k(T + T ′ ) + k 2 (BB ′ )p,q BB ′ , èñóùåñòâóåò òàêîå k , ÷òî â áëîêå íà ïîçèöèè (i, j) áóäåò ñòîÿòü íå íîëü. Àíàëîãè÷íî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî íà äèàãîíàëè ñòîÿò îäèíàêîâûå ýëåìåíòû.Èòàê, ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî âûïîëíåíèå (1.12) äëÿ ëþáîãî âîçìîæíîãî P âîçìîæ-íî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ìàòðèöû T (t), B(t) óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ(1.15). Òîãäà óðàâíåíèÿ (1.9) ïðèìóò ñëåäóþùèé âèä:Ṗ + PT + T ′ P − ν 2P 2 = 0,P(θ) = D,K̇ + T ′ K + KT ′ + ν 2KP = 0, K(θ) = −2DM,γ̇ − ν 2 hK, Ki = 0,(1.16)γ(θ) = hM, DMi .Çàìåòèì, ÷òî èç óñëîâèÿ (1.15) ñëåäóåò, ÷òî â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè tóïðàâëåíèå â ñèñòåìå ëèáî îòñóòñòâóåò (B = 0), ëèáî âëèÿåò íà êàæäóþ èç24êîìïîíåíò ñèñòåìû (ðàçìåðíîñòü óïðàâëåíèÿ äîëæíà ñîâïàäàòü ñ ðàçìåðíîñòüþ àçîâîé ïåðåìåííîé, ò.å.

m = n).Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî ïðåäëîæåííûé àëãîðèòì ðåøåíèÿ íå ïîçâîëÿåò êàêèì-ëèáî ïðîñòûì ñïîñîáîì âåðíóòüñÿ ê èñõîäíûì ìàòðè÷íûì îáîçíà÷åíèÿì.25ëàâà 2åøåíèå ìàòðè÷íîéëèíåéíî-êâàäðàòè÷íîéçàäà÷è îïåðàòîðíûì ìåòîäîìÂâåäåíèå ïðåäûäóùåé ãëàâå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ïðè ðåøåíèè ëèíåéíî-êâàäðàòè÷íîé çàäà÷è ÷åðåç ñâåäåíèå ê âåêòîðàì îêàçûâàåòñÿ çàòðóäíèòåëüíî âåðíóòüñÿê èñõîäíûì ìàòðè÷íûì îáîçíà÷åíèÿì. Åñëè òðåáóåòñÿ ïðîâåðñòè äîïîëíèòåëüíûé àíàëèç ïîëó÷åííîé îïòèìàëüíîé òðàåêòîðèè íà êàêèå-ëèáî äîïîëíèòåëüíûå, íàïðèìåð, ãåîìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà, òî áûëî áû ïðåäïî÷òèòåëüíåå èìåòüðåøåíèå â âèäå ìàòðèö.Ýòà ãëàâà ïîñâÿùåíà ïîëó÷åíèþ ìàòðè÷íîãî âèäà ðåøåíèÿ ëèíåéíî-êâàäðàòè÷íîé çàäà÷è, ò.å.

ïîëó÷åíèþ îðìóë, íå âûõîäÿùèõ èç êëàññà ìàòðèö íàïðîòÿæåíèè âñåãî ðåøåíèÿ. Äëÿ ýòîãî ââîäèòñÿ ñïåöèàëüíàÿ îðìà çàïèñè ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ íàä ïðîñòðàíñòâàìè ìàòðèö, ïðåäñòàâëåíèÿ îïåðàòîðîâ, èèññëåäóþòñÿ îñíîâíûå èõ ñâîéñòâà è îïåðàöèè íàä íèìè â ïåðâóþ î÷åðåäü,26ñîïðÿæåíèå è êîìïîçèöèÿ. Èçó÷àþòñÿ âçàèìîñâÿçü ïðåäñòàâëåíèé ñ îáû÷íûìïåðåìíîæåíèåì ìàòðèö. Äàëåå ðåøåíèå èñõîäíîé çàäà÷è êîíñòðóèðóåòñÿ â òåðìèíàõ ïðåäñòàâëåíèé îïåðàòîðîâ, ÷òî ïîçâîëÿåò ñîõðàíèòü åãî ìàòðè÷íóþ îðìó.

Êðîìå òîãî, â ãëàâå ïîêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïîñòðîåííûé â íåé àëãîðèòì àëãîðèòìè÷åñêè ýåêòèâíåå (â ñìûñëå ÷èñëà òðåáóåìûõ àðèìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé)ðåøåíèÿ ÷åðåç âûòÿãèâàíèå. Ýòî ïðîèñõîäèò èç-çà òîãî, ÷òî â í¼ì ìîæíî ÿâíîèñïîëüçîâàòü ýåêòèâíûå àëãîðèòìû äëÿ ïåðåìíîæåíèÿ ìàòðèö.2.1Ïîñòàíîâêà çàäà÷èàññìîòðèì òó æå çàäà÷ó, ÷òî è â ïðåäûäóùåé ãëàâå (ñì. (1.1),(1.2)): íàçàäàííîì âðåìåííîì îòðåçêå [t0 , θ] ðàññìàòðèâàåòñÿ ìàòðè÷íàÿ ñèñòåìà äèåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé,Q̇(t) = T (t)Q(t) + Q(t)T ′(t) + B(t)U (t, Q)B ′(t), Q(t0) = Q0 .Ñèñòåìà ðàññìàòðâèàåòñÿ íà èêñèðîâàííîì âðåìåííîì èíòåðâàëå [t0 , θ]. Òðåáóåòñÿ íàéòè ïîçèöèîííîå óïðàâëåíèå U (t, Q), äîñòàâëÿþùåå ìèíèìóì óíêöèîíàëóZθΨ(U (·, ·)) = hU (t, Q(t)), U (t, Q(t))i dt + hQ(θ) − M, D(Q(θ) − M)it0íà òðàåêòîðèÿõ ñèñòåìû (1.1). Çäåñü, êàê è ðàíåå, D = D′ > 0.Çàäà÷à (1.1),(1.2) òàêæå ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðè íàëè÷èè äîïîëíèòåëüíûõ àçîâûõ îãðàíè÷åíèé:λ2− 6 hQ, Qi 6 λ2+ , 0 < λ− < λ+ .(2.1)Çäåñü ïåðâîå íåðàâåíñòâî çàäà¼ò âûïóêëîå îãðàíè÷åíèå, à âòîðîå êîìïëåìåíòàðíîå ê âûïóêëîìó.

Характеристики

Список файлов диссертации