Диссертация (1102653), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Äåéñòâèòåëüíî, âîçüì¼ì â êà÷åñòâå A ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç îäíîé ìàòðèöû Q. Òîãäà äëÿ ëþáîãî λ ∈ [0, 1) âåðíî, ÷òîE (0, λQ) ⊆ M (A), íî λQ, î÷åâèäíî, íå ëåæèò â A.Äëÿ âèçóàëèçàöèè ìíîæåñòâà M (A) â ñëó÷àå âûïóêëîãî A íàì ïîòðåáóåòñÿñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.Ëåììà 8.Ïóñòü ρ (L, A) îïîðíàÿ óíöèÿ ìàòðè÷íîãî ìíîæåñòâà A, L ∈Rn×n. Òîãäàρ (l, M (A)) =Äîêàçàòåëüñòâî. Äåéñòâèòåëüíî,pρ (ll′, A), l ∈ Rn .ρ (l, M (A)) = sup hx, li = sup sup hx, li =Q∈A x∈E(0,Q)x∈M(A)= supQ∈A÷òî è òðåáîâàëîñü ïîêàçàòü.phl, Qli = supQ∈Apphll′, Qi = ρ (ll′, A),Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìíîæåñòâà M (A) íàì äîñòàòî÷íî çíàòüîïîðíóþ óíêöèþ ìíîæåñòâà A òîëüêî íà íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåë¼ííûõ íàïðàâëåíèÿõ L, ó êîòîðûõ rank L = 1.Äëÿ íåêîòîðûõ ìíîæåñòâ M (A) ìîæíî óêàçàòü ÿâíî.
Òàê, îêàçûâàåòñÿ, ÷òîäëÿ âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà â ïðîñòðàíñòâå ìàòðèö ìíîæåñòâî M (A) óñòðîåíî ñëåäóþùèì îáðàçîì.Ëåììà 9.àññìîòðèì âûïóëûé ìíîãîãðàííèê â ïðîñòðàíñòâå ìàòðèöP = conv{V1 , V2 , . . . , VN }59êàê âûïóêëóþ îáîëî÷êó N åãî âåðøèí. ÒîãäàM (P ) = conv{E (0, V1) , E (0, V2) , . . .
, E (0, VN )},ò.å. M (P ) åñòü âûïóêëàÿ îáîëî÷êà îáúåäèíåíèÿ ýëëèïñîèäîâ, ïîðîæä¼íûõâåðøèíàìè P .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ëåììå 8 ïîëó÷àåìρ (l, M (P )) =pρ (ll′, P )=rmax hll′, Vii =i=1,...,N= maxi=1,...,N÷òî è òðåáîâàëîñü ïîêàçàòü.phl, Vili = ρ l, convN[i=1!E (0, Vi) ,Âèä ìíîæåñòâà M (A) äëÿ øàðà óñòàíàâëèâàåò ñëåäóþùàÿ ëåììà. ïðîñòðàíñòâå ìàòðèö ðàññìîòðèì øàð ñ öåíòðîì â ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ìàòðèöå Q0 ðàäèóñà r, Br (Q0 ) = E Q0 , r2 I .
ÒîãäàËåììà 10.M (Br (Q0)) = E (0, Q0 + rI) .Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ëåììå 8 èìååì:qpρ (l, M (Br (Q0))) = hll′, Q0i + r hll′, ll′i.Ïðåîáðàçóåì âòîðîå ñëàãàåìîå ïîä êîðíåì. Ïóñòü l = klk s, ksk = 1. Ïîñêîëüêóâ ïîçèöèè (i, j) ó ìàòðèöû ss′ áóäåò ñòîÿòü ïðîèçâäåíèå si sj , ïîëó÷àåì:′′4′′4= klkn XnX′ 24hll , ll i = klk hss , ss i = klk kss k = klk4Çíà÷èò,s2i s2j=i=1 j=1nX((ss′ )ij )2 =i,j=1nnXX42klksis2ji=1j=1= klk4nXi=1s2i = klk4 .qppρ (l, M (Br (Q0))) = hll′, Q0i + r klk2 = hl, Q0li + r hl, li = hl, (Q0 + rI)li,÷òî è òðåáîâàëîñü ïîêàçàòü.6021.51x20.50−0.5−1−1.5−2−2−1.5−1−0.50x10.511.52èñ.
3.1: Íàáîð êîíöåíòðè÷åñêèõ øàðîâ M (Br (Q0 )) ïðè r = 0.5,1,1.5,2 (ïóíêòèðíûå ýëëèïñû). Ñïëîøíîé ëèíèåé èçîáðàæåí ýëëèïñ, îòâå÷àþùèé öåíòðó Q0 .Íà ðèñ. 3.1 èçîáðàæåíî íåñêîëüêî êîíöåíòðè÷åñêèõ øàðîâ ñ öåíòðîì â ìàòðèöå1 −1.Q0 = −1 2\Ëåììà 8 äà¼ò àëãîðèòì äëÿ ÷èñëåííîãî ïîñòðîåíèÿ M(A), ïðèáëèæåíèÿìíîæåñòâ M (A):1. Âçÿòü íåêîòîðûé íàáîð íàïðàâëåíèé {li }Ki=1 íà åäèíè÷íîé ñåðå â ïðîñòðàíñòâå Rn ;2.
Ïîëó÷èòü ñîîòâåòñòâóþùèå ãðàíè÷íûå òî÷êè Qi , i = 1, . . . , K íà êîòîðûõäîñòèãàåòñÿ ìàêñèìóì â ìàòðè÷íîé îïîðíîé óíêöèè ρ (L, A) ïî íàïðàâëåíèÿì Li = li li′ ;3. Ïîñòðîèòü âûïóêëóþ îáîëî÷êó îáúåäèíåíèÿ ýëëèïñîèäîâ E (0, Qi ):\M(A) = convK[i=161E (0, Qi) .2.521.51x20.50−0.5−1−1.5−2−2.5−1.5−1−0.50x10.511.5èñ. 3.2: Ìíîæåñòâî M (A1 ). Ïóíêòèðîì èçîáðàæåí ýëëèïñ, îòâå÷àþùèé öåíòðóM.Ôàêòè÷åñêè, êàê âèäíî èç ëåììû 9, â ýòîì àëãîðèòìå ñòðîèòñÿ âíóòðåíÿÿàïïðîêñèìàöèÿ ìíîæåñòâà M (A) âûïóêëûì ìíîãîãðàííèêîì.Ïðèâåä¼ì ïðèìåðû ïîñòðîåíèÿ M (A) äëÿ íåêîòîðûõ êîíêðåòíûõ ìíîæåñòâA ïî òàêîìó àëãîðèòìó.Ïðèìåð 1.àññìîòðèì ýëëèïñîèä â ïðîñòðàíñòâå ìàòðèö âèäàA1 = {Q : hQ − M, D(Q − M)i 6 1},êîòîðûé âñòðå÷àåòñÿ â ïîñòàíîâêå çàäà÷è (3.1)(3.3).
Ïóñòü2 −0.51 0.5, M = .D=−0.5 10.5 4Ìíîæåñòâî M (A1 ) èçîáðàæåíî íà ðèñóíêå 3.2.Ïðèìåð 2.àññìîòðèì ¾êóá¿ ñî ñòîðîíîé S , ñäâèíóòûé îò íà÷àëà êîîðäè-íàò íà ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííóþ ìàòðèöó M ,6210.80.60.4x20.20−0.2−0.4−0.6−0.8−1−2−1.5−1−0.50x10.511.52èñ. 3.3: Ìíîæåñòâî M (A2 ). Ïóíêòèðîì èçîáðàæåí ýëëèïñ, îòâå÷àþùèé M .A2 = M + S · {Q :Ïóñòümax |Qij | 6 1},i,j=1,...,n2 −0.5 , S = 0.5.M =−0.5 0.2Ìíîæåñòâî M (A2 ) èçîáðàæåíî íà ðèñóíêå 3.3.àññìîòðèì ìàòðè÷íûé ¾òðåóãîëüíèê¿ A3 ñ âåðøèíàìè1 −0.53 01 0.5 , V2 = , V3 = .V1 = −0.5 10 0.10.5 1Ïðèìåð 3.Ìíîæåñòâî M (A3 ) èçîáðàæåíî íà ðèñóíêå 3.4. ïðèìåðàõ 2 è 3 ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ñîãëàñóåòñÿ ñ ëåììîé 9.6310.80.60.4x20.20−0.2−0.4−0.6−0.8−1−2−1.5−1−0.50x10.511.52èñ.
3.4: Ìíîæåñòâî M (A3 ). Ïóíêòèðîì èçîáðàæåíû ýëëèïñû, îòâå÷àþùèå âåðøèíàì V1 , V2 , V3 .3.3×èñëåííûé ïðèìåðàññìîòðèì çàäà÷ó (3.1)(3.3) ïðè ñëåäóþùèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ:−1 0.51 0.52 −0.51 0.5, B = , D = , M = ,T =0.5 −10.5 2−0.5 10.5 4t0 = 0, θ = 0.5, µ = 10. Òðóáêà M (W [t]) èçîáðàæåíà íà ðèñ. 3.5.
Íà ðèñóíêå 3.6èçîáðàæåíû ñå÷åíèÿ îòäåëüíûõ ýëëèïñîèäîâ M (E[α0 , β(·)]) èç îðìóëû (3.14).64èñ. 3.5: Òðóáêà M (W [t]).32y10−1−2−3−6−4−20x246èñ. 3.6: Îòäåëüíûå ìíîæåñòâà M (E[α0 , β(·)]) â ìîìåíò âðåìåíè t = 0.5.653.4Ýëëèïñîèäàëüíûå îöåíêè ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè3.4.1Ïîñòàíîâêà çàäà÷èàññìàòðèâàåòñÿ óïðàâëÿåìàÿ ëèíåéíàÿ ìàòðè÷íàÿ ñèñòåìà:Q̇(t) = T (t)Q(t) + Q(t)T ′(t) + B(t)U (t)B ′(t),Q(t0) ∈ E Q0, Q0 ,U (t) ∈ E (P (t), P(t)) ,(3.15)(3.16)(3.17)Çäåñü E (M, M) îçíà÷àåò ýëëèïñîèä â ïðîñòðàíñòâå ìàòðèö:E (M, M) = {Q ∈ Rn×n : Q − M, M−1(Q − M) 6 1},è îïåðàòîðû Q0 è P(t) ïðåäïîëàãàþòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííûìè.×åðåç Q(t; t0 , Q0 , U ) áóäåì îáîçíà÷àòü ìàòðèöó Q, â êîòîðóþ ïåðåâåä¼ò âìîìåíò t óïðàâëåíèå U ìàòðèöó Q0 èç ìîìåíòà t0 â ñèëó ñèñòåìû (3.15).Ñëåäóùåå îïðåäåëåíèå ââîäèòñÿ àíàëîãè÷íî îïðåäåëåíèþ äëÿ âåêòîðíûõñèñòåì [1, 7℄.Îïðåäåëåíèå 4.Ìíîæåñòâîì äîñòèæèìîñòè íà ìîìåíò t íàçûâàåòñÿ ìíîæå-ñòâîX (t; t0, X0) = Q ∈ Rn×n : ∃Q0 ∈ X0 , U (·), óäâ.
(3.17), ò.÷. Q = Q(t; t0, Q0, U ) .Äëÿ ñèñòåìû (3.15) òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü â ìàòðè÷íîé îðìå òóãèå ýëëèïñîèäàëüíûå îöåíêè ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè X (t; t0 , E Q0 , Q0 ).663.4.2Îðòîãîíàëüíûå è ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííûå îïåðàòîðû â ïðîñòðàíñòâàõ ìàòðèöÊàê èçâåñòíî [29, 17℄, äëÿ ëþáîé ñèììåòðè÷íîé ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííîé ìàòðèöû Q ∈ Rn×n íàéäóòñÿ îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà S è äèàãîíàëüíàÿìàòðèöà Λ ñ ïîëîæèòåëüíûìè ýëåìåíòàìè íà äèàãîíàëè, òàêèå, ÷òî Q = SΛS ′ .Ïîñêîëüêó â äàëüíåéøåì íàì ïðèä¼òñÿ ðàáîòàòü ñ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííûìè ìàòðè÷íûìè îïåðàòîðàìè, çàäàþùèìè ýëëèïñîèäàëüíûå îöåíêè â ïðîñòðàíñòâå ìàòðèö, â ýòîì ðàçäåëå èçó÷èì íåêîòîðûå ñâîéñòâà îðòîãîíàëüíûõ èïîëîæèòåëüíî îïðåäåë¼ííûõ ìàòðè÷íûõ îïåðàòîðîâ.Ïîêàæåì, ÷òî íàä ïðîñòðàíñòâàìè ìàòðèö îðòîãîíàëüíûå îïåðàòîðû èìåþòñïåöèàëüíóþ ñòðóêòóðó.
Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùèì óòâåðæäåíèåì[43, 44, 45℄.Ëåììà 11.Ïóñòü A ïðîèçâîëüíûé ëèíåéíûé îïåðàòîð íàä Rn×n . Òîãäàñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû:1. A ñîõðàíÿåò ñïåêòðàëüíóþ íîðìó.2. A îòîáðàæàåò ìíîæåñòâî îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö íà ñåáÿ.3. A∗ ñîõðàíÿåò íîðìó Ôðîáåíèóñà.4. A∗ îòîáðàæàåò ìíîæåñòâî ìàòðèö ñ ñèíãóëÿðíûìè ÷èñëàìè âèäà[1, 0, . . . , 0]íà ñåáÿ.5. Ñóùåñòâóþò òàêèå îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû U1 , V1 , ÷òî ëèáî AX == U1 XV1 , ëèáî AX = U1X ′ V1 äëÿ âñåõ ìàòðèö X .6. Ñóùåñòâóþò òàêèå îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû U2 , V2 , ÷òî ëèáî A∗ X == U2 XV2 , ëèáî A∗ X = U2X ′ V2 äëÿ âñåõ ìàòðèö X .67Ïîñêîëüêó ñîïðÿæåííûé ê îðòîãîíàëüíîìó îïåðàòîðó, î÷åâèäíî, ñîõðàíÿåòíîðìó Ôðîáåíèóñà, òî ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíîãî îðòîãîíàëüíîãî îïåðàòîðà S íàéäóòñÿ òàêèå îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû U è V , ÷òî ëèáîSX = U XV , ëèáî SX = U X ′ V .Ñëåäóþùàÿ ëåììà óêàçûâàåò ñïîñîá íàõîæäåíèÿ ñïåêòðà ìàòðè÷íîãî îïå-ðàòîðà ÷åðåç åãî ïðåäñòàâëåíèå.Ëåììà 12.Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ìàòðè÷íîãî îïåðàòîðà M ∈ L (Rn1 ×m1 , Rn2 ×m2 )åãî ñïåêòð ñîâïàäàåò ñî ñïåêòðîì ìàòðèöû M̊ , îïðåäåë¼ííîé ïî îðìóëå(2.3).Äîêàçàòåëüñòâî.
àññìîòðèì öåïî÷êó ðàâíîñèëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé:MX = λX ⇔⇔nXi,j=1nXi,j=1ijM Xij = λnXi,j=1Xij E ij ⇔2Mklij Xij = λXkl , k, l = 1, . . . , n ⇔nXα=1Mβα Xα = λXβ , β = 1, . . . , n2 ⇔⇔ M̊ X̊ = λX̊,÷òî è îçíà÷àåò, ÷òî λ ëåæèò â ñïåêòðå M òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà λ ëåæèòâ ñïåêòðå M̊ . âåêòîðíîì ñëó÷àå, äåéñòâèå äèàãîíàëüíîé ìàòðèöûM = diag{m1 , m2, . . . , mn }íà ýëåìåíòàõ áàçèñà âûãëÿäèò êàê Mek = mk ek . Ïî àíàëîãèè ââåä¼ì ¾äèàãîíàëüíûé¿ îïåðàòîð â ìàòðè÷íîì ñëó÷àå.
Äëÿ ýòîãî íàì ïîòðåáóåòñÿ îïðåäåëåíèå ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö ïî Àäàìàðó [31℄.Îïðåäåëåíèå 5.Ïðîèçâåäåíèåì äâóõ ìàòðèö îäèíàêîâîãî ðàçìåðà A = {aij },B = {bij } ∈ Rn×m ïî Àäàìàðó íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà C ∈ Rn×m , òàêàÿ, ÷òîC = A ◦ B = {cij }n,mi,j=1 , cij = aij bij .68Îïðåäåëåíèå 6.Îïåðàòîð D ∈ L (Rn×m , Rn×m) íàçûâàåòñÿ äèàãîíàëüíûì, åñ-ëè ñóùåñòâóåò òàêàÿ ìàòðèöà M ∈ Rn×m, ÷òî äëÿ âñåõ X ∈ Rn×m âûïîëíåíîDX = M ◦ X.Èç ëåìì 11,12 ñðàçó æå ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ òåîðåìó.Òåîðåìà 5.Åñëè íàéäóòñÿ òàêèå îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû U è V , à òàê-æå ïîëîæèòåëüíàÿ (ò.å. âñå ýëåìåíòû êîòîðîé ïîëîæèòåëüíû) ìàòðèöàΛ, ÷òî äëÿ ëþáîãî X ∈ Rn×n âåðíî ëèáîAX = V (Λ ◦ (U XV ))U ′,ëèáîAX = V (Λ ◦ (U X ′ V ))U ′.òî A ñèììåòðè÷íûé ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûé îïåðàòîð íàä Rn×n .3.4.3Âíåøíèå îöåíêè ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòèÂåðí¼ìñÿ ê çàäà÷å ïîñòðîåíèÿ îöåíêè ìíîæåñòâà äîñòèæèìîñòè äëÿ ìàòðè÷íîé ñèñòåìû (3.15)(3.17).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
