Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 94
Текст из файла (страница 94)
. . , Λn (v)) ∈ Rn>0и будет нас интересовать лишь с точностью до положительного множителя. Если все числа Λi (v) равны между собой, то введенное нами скалярное произведение превращается встандартное евклидово скалярное произведение в C1 (K; R) (точнее, пропорциональное ему).В дальнейшем скалярное произведение h, iΛ нам потребуется лишь на подпространстве 1–циклов H1 (K; R) ⊆ C1 (K; R) в пространстве C1 (K; R) всех 1–цепей графа K.Заметим, что фазовый поток любой гамильтоновой системы v = (ω, F ) сопряжен фазовому потоку системы va = (ea ω, e−a F ) для любого a ∈ R при помощи тождественного диффеоморфизма (в качестве сопрягающего). Так как тождественный диффеоморфизмявляется гладким класса C ∞ и сохраняющим ориентацию, то системы v и va C 0 – и C 1 –сопряжены по определениям 4.1.9 и 4.1.10.
Нетрудно проверяется, что если v ∈ Hnondeg (M ),то va ∈ Hnondeg (M ) и у систем v и va совпадают молекулы Фоменко с Π–метками и грубымиΛ–метками, а их грубые m–метки (4.28) на любом седловом атоме связаны соотношением[m(va )] = [m(v)] + aΛ(v) · [K](4.41)ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ275(см. обозначение 4.3.3), где [K] ∈ H1 (K; R) — фундаментальный класс графа K. Поэтомугрубая m–метка не является инвариантом C 1 –сопряженности, и мы приходим к следующемуопределению.b∈Определение 4.3.4.
Пусть (P, K)# — седловой атом сложности n. Фиксируем вектор Λb множество всех систем v ∈ H(P, K) на данном атоме сRn>0 и обозначим через H(P, K, Λ)b Пусть [K] ∈ H1 (K; R) — фундаментальный класс графаодинаковой Λ-меткой RΛ(v) = RΛ.b · [K] ∈ H 1 (K; R) — ему Λ–сопряженныйbK, Λ1–коцикл графа K (см.
обозначение 4.3.3), а1bRΛ · [K] ⊂ H (K; R) — линейная оболочка этого 1–коцикла. Композициюb · [K]) : H(P, K, Λ)b → H 1 (K; R)/(RΛb · [K]) ' Rn[m] mod (RΛ(4.42)b · [K]) ' Rnгрубого m–инварианта [m] и канонической проекции H 1 (K; R) → H 1 (K; R)/(RΛназовем m–инвариантом, а его значение [m(v)] mod (RΛ(v) · [K]) на системе v ∈ H(P, K) —m–меткой системы v на данном атоме.Отметим, что не только m–метка, но и область значений m–инварианта на данном атоме зависят от Λ–метки RΛ(v) системы v на данном атоме. Тем не менее сопоставлениелюбой системе v ∈ H(P, K) (необязательно принадлежащей какому-либо фиксированномуb ее m–метки [m(v)] mod (RΛ(v) · [K]) мы тоже будем называть m–пространству H(P, K, Λ))инвариантом систем на атоме (P, K)# .Покажем, что построенные выше m–метка и грубая Λ–метка в рёбрах и вершинах седлового атома являются инвариантами C 1 –сопряжённости гамильтоновых систем на атоме.Мы также установим непрерывность этих инвариантов в смысле топологии из §4.1.3 на пространстве H(P, K) (безусловно, они непрерывны в смысле C ∞ –топологии и даже являютсягладкими, однако изучаемая нами C r –топология при r ≥ 5 сильнее, поэтому их непрерывность в смысле нашей топологии неочевидна).Предложение 4.3.5 ([145, предложение 1.1], ср.
[9, 7]). (A) Грубый Λ–инвариант и m–инвариант (а значит, и Λ– и mΛ –инварианты, см. определения 4.2.9, 4.3.4, 4.3.1 и (4.45))являются инвариантами C 1 –сопряженности гамильтоновых систем на атоме (P, K)# ,т.е. их значения совпадают на любой паре гамильтоновых систем v, vb ∈ H(P, K), сопряb седловых уровней при помощиженных в некоторых (инвариантных) окрестностях U и U1диффеоморфизма класса C .b ∈ Rn .(B) Пусть дано семейство 1–циклов zΛb ∈ H1 (K; R), зависящих от параметра Λ>0Рассмотрим R–значную функцию I(v) := h[m(v)], zΛ(v) i, v ∈ H(P, K), от грубых Λ– и m–инвариантов на пространстве H(P, K). Функция I = I(v) является инвариантом C 1 –сопряженности гамильтоновых систем на атоме (P, K)# тогда и только тогда, когдаbh[K], zΛb iΛb = 0 для любого значения Λ.(C) При любом r ≥ 3 грубый Λ–инвариант непрерывен относительно C r –топологиина пространстве Hnondeg (P ), а грубый m–инвариант (а значит, и m– и mΛ –инварианты)непрерывен относительно C r –топологии на пространстве H(P, K).являютсяДоказательство.
(A) Как хорошо известно (см. [9] или лемму 4.2.6), числа Λ±1j (v)собственными числами линеаризации векторного поля v в особой точке xj . Отсюда следует, что если две почти невырожденные системы v, vb ∈ H(P ) (например, v, vb ∈ H(P, K))C 1 –сопряжены, то их грубые Λ–метки совпадают: Λ(v) = Λ(bv ). Таким образом, грубый Λ–инвариант является инвариантом C 1 –сопряженности систем.Покажем, что для любых двух C 1 –сопряженных гамильтоновых систем v и vb на данноматоме их m–метки [m(v)] mod (RΛ(v) · [K]) и [m(bv )] mod (RΛ(v) · [K]) тоже совпадают (а нетолько грубые Λ–метки, см.
выше). В самом деле, пусть ψ — C 1 –диффеоморфизм, осуществляющий C 1 –сопряженность систем v = (ω, F ) и vb = (bω , Fb). Пусть критические значенияГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ276гамильтонианов F и Fb суть c и bc. Для каждой вершины xj данного атома рассмотрим координатный крест Uj , отвечающий системе v (см. определение 4.2.7 (b)). Для наглядностибудем считать, что кресты Uj вложены и попарно не пересекаются. Достаточно показать,bj = ψ(Uj ) этой окрестности при C 1 –диффеоморфизме ψ может служить почтичто образ Uкрестом (см. (4.24)) для системы vb (напомним, что грубый m–инвариант [m(v)] полностьюопределяется временами движения в силу системы v по ребрам графа K вне крестов Uj ). Поопределению 4.2.7 (b) креста, время движения в силу системы v по любому отрезку траектории F −1 (f ) внутри креста Uj имеет видτj (f ) = −Λj ln |f − c| + o(1),f → c,где числа Λj = Λj (v) зависят только от номера вершины j (но не зависят от координатнойчетверти в кресте).
Так как при C 1 –диффеоморфизме ψ −1 в окрестности любого ребра графаbK функция F − c переходит в функцию вида (F − c) ◦ ψ −1 = (Fb − bc)ea◦F , где a — близкая к 0непрерывная функция одной переменной (зависящая от выбора указанного ребра графа K),bj = ψ(Uj ) имеет видто время τj (f ) = τbj (fb) движения в силу системы vb внутри окрестности U−Λj ln |f − c| + o(1) = −Λj ln |fb − bc| − Λj a(fb) + o(1) = −Λj ln |fb − bc| − Λj a(bc) + o(1)bj = ψ(Uj ) в случае a(bпри fb → bc. Поэтому окрестности Uc) = 0 являются крестами, а в противbj можноном случае — почти крестами для системы vb в смысле (4.24). Значит, окрестность Uполучить из некоторого креста в точке xbj , отвечающего системе vb, путем одновременногоc)| к каждому из четырех концовприклеивания (или отрезания) ленточек длины dj = 21 Λj |a(bэтого креста (ср.
следствие 4.2.8 (c)). При этом ленточки длины dj приклеиваются к j–мукресту в случае a(bc) < 0, отрезаются от j–го креста в случае a(bc) > 0. Так как время дви1жения сохраняется при C –сопряжении систем, то указанным крестам системы vb отвечает1–коцепь m(bv ) = m(v) + a(bc)GΛ(v) ([K]) (см.
(4.40)). Таким образом, грубые m–метки системv и vb связаны соотношением[m(bv )] = [m(v)] + a(bc)Λ(v) · [K].Отсюда и из равенства Λ(bv ) = Λ(v) получаем совпадение m–меток:[m(v)] mod (RΛ(v) · [K]) = [m(bv )] mod (RΛ(v) · [K]).(Отметим, что мы существенно использовали важное свойство гамильтоновости систем vи vb; это свойство также необходимо для корректности определения m–меток.) Заодно мыдоказали (4.41).b и системы v, v 0 ∈ H(P, K)(B) Предположим, что h[K], zΛb iΛb = 0 для любого значения Λ1C –сопряжены. Так как m–инвариант и грубый Λ–инвариант являются инвариантами C 1 –сопряженности согласно п.(A), то Λ(v) = Λ(v 0 ) и m–метки систем v, v 0 совпадают.
Поэтомуразность [m(v)] − [m(v 0 )] их грубых m–меток пропорциональна 1–коциклу Λ(v) · [K], т.е.равна cΛ(v) · [K] для некоторого c ∈ R. Поэтому I(v) − I(v 0 ) = h[m(v)] − [m(v 0 )], zΛ(v) i =ch[K], zΛ(v) iΛ(v) = 0, т.е. I = I(v) является инвариантом C 1 –сопряженности. Обратно: еслиI = I(v) является инвариантом C 1 –сопряженности, то в силу C 1 –сопряженности систем v иv1 из (4.41) имеем 0 = I(v1 )−I(v) = h[m(v1 )]−[m(v)], zΛ(v) i = h[K], zΛ(v) iΛ(v) , что и требовалось.(C) Фиксируем любое натуральное число r ≥ 3. Так как число 1/Λj (v) является положительным собственным числом линеаризации векторного поля v в особой точке xj , то ономало меняется при C 2 –малом возмущении гамильтониана и C 0 –малом возмущении симплектической структуры, поэтому грубый Λ–инвариант непрерывен относительно C r –топологиина пространстве Hnondeg (M ).Докажем, что грубый m–инвариант непрерывен на пространстве H(P, K) относительно C r –топологии.
Пусть r ≥ 3 и v, ve ∈ H(P, K) — две гамильтоновы системы на атомеГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ277(P, K)# , причем (“возмущенная”) система ve ε–близка к (“невозмущенной”) системе v в смысле C r –топологии из §4.1.3. В доказательстве утверждения 4.2.12 (б) построены “возмущенныеej в седловых критических точках xкресты” Uej .
Из этого доказательства следует, что вернаej приформула (4.35) для времени движения в силу системы ve в “возмущенном кресте” U|f − cj | = O(ε), где cj1 = cj2 для любых j1 , j2 (так как у нас возмущение тривиально, т.е.все возмущенные седловые критические значения cj = Fe(exj ) совпадают). Отсюда, с учетомопределения (4.24) с a = 0 и существования крестов (следствие 4.2.8 (a)—(b)), следует, чтоbj возмущенной системы ve, O(√ε)–близкие к “возмущенным крестам”существуют кресты Uej . Пусть 1–коцепь m(ebj .Uv ) системы ve отвечает набору крестов UИз начала доказательства п.(в) утверждения 4.2.12 следует, что время движения в силуe = Fe−1 (cj ) и i–ой “возмущенной ленточки”системы ve по пересечению i–го ребра графа KO(ε)–близкок hm(v), Ki i по C r−2 –норме.
Аналогично крестам, ленточки системы ve√тоже√O( ε)–близки к√“возмущенным ленточкам”, поэтому hm(ev ), Ki i = hm(v), Ki i+O(ε)+O( ε) =−1v )] = [m(v)] +hm(v),√ Ki i + O( ε) для любого ребра Ki графа K = F (F (xj )). Поэтому [m(eO( ε), что и требовалось.В действительности, Λ– и mΛ –инварианты являются инвариантами C 0 –сопряженностисистем на данном атоме (см. [9] или предложение 4.3.11).Пример R–значной функции от m–инварианта: главное значение периода движения в силу системы по атомной окружности (инвариант Ai (v))Пусть (P, K)# — ориентированный седловой атом сложности n.Замечание 4.3.6. Аналогично замечанию 4.2.10 определяются R–значные функции от Λ–и m–инвариантов (и отвечающие им метки) гамильтоновых систем на данном атоме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
