Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 90
Текст из файла (страница 90)
b1 = · · · = b4 = 0), тоa1 = · · · = a4 = 0, т.е. u является крестом.(a) Докажем существование хорошего креста для любой седловой точки x0 . Пусть gvt —фазовый поток системы v. По лемме Морса существуют положительные вещественные числаh1 , h2 , h3 , h4 , ε и морсовское вложение u : Q → P в точке x0 (см. определение 4.2.7 (a)). БезГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ262ограниченися общности мы можем и будем считать, что u — это морсовское вложение наданном атоме (P, K)# , т.е. ε = ε0 в (4.23) (см. определение 4.2.7 (e)).Рассмотрим вместо граничных точек u(h1 , 0), u(0, h2 ), u(−h3 , 0), u(0, −h4 ) ветвей вложенияu точки(4.26)gvb1 (u(h1 , 0)), gv−b2 (u(0, h2 )), gvb3 (u(−h3 , 0)), gv−b4 (u(0, −h4 )).00Нетрудно построить морсовское погружение u : Q → M , ветви которого имеют своимиграничными точками в точности точки (4.26) (в порядке чередования входящих и исходящих ветвей) и такое, что ограничения погружений u и u0 на Q ∩ Q0 совпадают.
Пустьморсовскому погружению u0 отвечают константы h01 , h02 , h03 , h04 , ε > 0 и числа b01 , . . . , b04 . НоRhb1 − b01 = h01 ω(x,0)dx равно времени движения в силу системы от точки (h1 , 0) до точки (h01 , 0)x1(см. (4.22) из доказательства леммы 4.2.6), поэтому b1 − b01 = b1 (ввиду построения точек(4.26)), поэтому b01 = 0. Аналогично получаем равенства b02 = b03 = b04 = 0.
Значит, морсовскоепогружение u0 является хорошим крестом.(c) Пусть uj , u0j — два различных креста в вершине xj для одной и той же системыv ∈ H(P, K) на данном атоме, и пусть Λj , Λ0j — отвечающие им константы из соответствующих разложений вида (4.24) с a = 0. Обозначим время движения в этих разложениях00для крестов uj , u0j через Tj,` (f ), Tj,`(f ) соответственно. Тогда Tj,` (f ) − Tj,`(f ) → const при0f → F (x0 ). Отсюда и из упомянутых разложений следует, что Λj = Λj . Далее без ограничения общности можно считать, что ξ1 = uj (Ξ1 ) и ξ10 = u0j (Ξ01 ) — входящие ветви крестов uj и u0j(соотв.), соответствующие друг другу (т.е. имеющие непутое пересечение), и ветвь ξ1 получается из ветви ξ10 операцией выкидывания ленточки длины d > 0. Отсюда и из определениякреста получаем, что обе исходящие ветви ξ2 = uj (Ξ2 ) и ξ4 = uj (Ξ4 ) креста uj получаютсяиз исходящих ветвей ξ20 = u0j (Ξ02 ) и ξ40 = u0j (Ξ04 ) креста u0j операцией приклеивания ленточкидлины d. Аналогично получаем, что оставшаяся входящая ветвь ξ3 = uj (Ξ3 ) креста uj получается из входящей ветви ξ30 = u0j (Ξ03 ) креста u0j операцией выкидывания ленточки длины d,что и требовалось.Последнее утверждение п.(c) проверяется непосредственно.Для целей настоящего параграфа одинаково удобны как кресты (определение 4.2.7 (b)),так и хорошие кресты (определение 4.2.7 (c)).
Однако в построениях дальнейших параграфовнам будут важны именно кресты, так как их определение инвариантно, т.е. не зависит отвыбора морсовских (не обязательно регулярных) локальных координат в кресте. Хорошиекресты были введены как вспомогательный объект и в дальнейших параграфах не будутиспользоваться.Пусть теперь (P, K)# — седловой атом, v = (ω, F ) ∈ H(P, K) — гамильтонова система наэтом атоме, n — сложность атома (см.
определение 2.4.3 (B)). Пусть uj : Qj → P — крестдля системы v на атоме в вершине xj этого атома, 1 ≤ j ≤ n (кресты существуют согласноследствию 4.2.8 (a, b)). Рассмотрим 1–коцепьm(v) ∈ C 1 (K; R) ' R2n(4.27)графа K, значение которой на любом ориентированном ребре Ki графа K определим каквремя движения в силу системы v вдоль этого ребра от граничной точки A исходящей ветвиξ ⊂ Ki креста uj до граничной точки B входящей ветви ξ 0 ⊂ Ki креста uj 0 , где xj и xj 0 —начало и конец ребра Ki .
При этом время считается равным 0, если A = B, и отрицательным,если ветви ξ и ξ 0 имеют общую точку, отличную от их концов. Так определенная 1–коцепьm(v) будет зависеть от выбора крестов (кроме случая n = 1), однако она корректно определена с точностью до кограниц (в силу следствия 4.2.8 (c)). Другими словами, соответствующий1–коцикл[m(v)] ∈ H 1 (K; R) ' Rn+1(4.28)определен однозначно (т.е. не зависит от выбора крестов).ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ263Рассмотрим также n–мерный вектор, т.е. 0–коцепьΛ(v) = (Λj (v))nj=1 = (Λ1 (v), . . . , Λn (v)) ∈ C 0 (K; R) ' Rn(4.29)графа K, значение которой на вершине xj графа K определим равным константе Λj =Λj (v) > 0 из следствия 4.2.8 (с).Определение 4.2.9.
ОтображенияΛ : H(P, K) → C 0 (K; R) ' Rn ,v 7→ Λ(v) = (Λj (v))nj=1 ,[m] : H(P, K) → H 1 (K; R) ' Rn+1 , v →7 [m(v)],(4.30)назовем грубым Λ–инвариантом и грубым m–инвариантом Болсинова-Фоменко систем наседловом атоме (P, K)# . Их значения (4.29) и (4.28) на системе v ∈ H(P, K) назовем грубойΛ–меткой и грубой m–меткой Болсинова-Фоменко системы v на данном седловом атоме.Аналогично определяется грубый Λ–инвариант Λ : Hnondeg (M ) → Rn>0 на всем пространствеHnondeg (M ) формулой Λ(v) = (Λj (v))nj=1 , где n есть количество седловых критических точек,а Λj (v) есть значение константы Λj = Λj (v) > 0 из следствия 4.2.8 (с) для j–ой седловойкритической точки гамильтониана системы v.Поскольку грубые Λ– и m–метки (4.29) и (4.28) не зависят от выбора крестов, то грубыеΛ– и m–инварианты являются инвариантами симплектической сопряженности систем наатоме.
Оказывается, грубый Λ–инвариант является даже инвариантом C 1 –сопряженности(см. предложение 4.3.5). Однако (как показано в (4.41)) грубый m–инвариант не являетсяинвариантом C 1 –сопряженности (и тем более C 0 –сопряженности).Замечание 4.2.10. Итак, грубый m–инвариант (4.30) является сюръективной H 1 (K; R)–значной функцией на пространстве H(P, K) систем на данном атоме. Из такого H 1 (K; R)–значного инварианта легко получить R–значные инварианты на пространстве H(P, K), путемприменения к грубой m–метке (4.28) какой-либо линейной R–значной функции видаH 1 (K; R) → R,[m] 7→ hm, Zi,где Z ∈ H1 (K; R) — любой 1–цикл графа K. Такой R–значный инвариант симплектическойсопряженностиH(P, K) → R,v 7→ hm(v), Zi ∈ R,(4.31)систем на атоме назовем R–значной функцией от грубого m–инварианта систем на данном атоме, а его значение на конкретной системе v — R–значной функцией от грубой m–метки системы v.
Здесь мы используем, что значение (4.31) 1–коцепи m на любом 1–циклеZ ∈ H1 (K; R) графа K зависит лишь от 1–коцикла (4.28), отвечающего 1–коцепи m, т.е. полностью определяется грубой m–меткой системы v. Заметим, что любая R–значная функцияот грубого m–инварианта (4.31) однозначно определяет 1–цикл Z ∈ H1 (K; R). Поэтому множество всех R–значных функций от грубого m–инварианта (4.31) гамильтоновых систем наданном ориентированном седловом атоме (P, K)# сложности n естественно отождествляетсяс векторным пространством H1 (K; R) ' Rn+1 .Поясним мотивировку определения 4.2.9, т.е.
важность грубых Λ– и m–инвариантов систем на седловом атоме.Во-первых, с помощью этих инвариантов мы определим функцию Le;Λ(ev),[m(v)],c(ev) (f ) налюбом открытом ребре e графа возмущения W num , являющуюся хорошим приближениемфункции периода замкнутых траекторий возмущенной системы ve на этом ребре. С помощьюэтих функций мы докажем как открытость и плотность пространства невырожденных гамильтоновых систем Hnondeg (M ) в пространстве H(M ) (теорема 4.2.2 и утверждение 4.2.12),так и относительную продолжимость некоторых инвариантов (теорема 4.5.6).ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ264Во-вторых, в §4.3.1 для любого седлового атома (P, K)# сложности n будет определенΛ–инвариант C 0 –сопряженности систем на данном атоме (путем “проективизации” грубогоΛ-инварианта), сопоставляющий системе v 7→ RΛ(v) ∈ RP n−1 .
Также будут построены m–и mΛ –инварианты, являющиеся функциями от Λ–инварианта и грубого m–инварианта, которые являются инвариантами C 1 – и C 0 –сопряженности (соотв.) систем на данном атоме.Первый и последний инварианты назовем Λ– и mΛ –инвариантами Болсинова-Фоменко, аих значения RΛ(v) и [m(v)] mod LΛ(v) на системе v ∈ H(P, K) — Λ–меткой и mΛ –меткойБолсинова-Фоменко системы v на данном атоме. Согласно теореме А.В. Болсинова и А.Т.Фоменко [9], Λ– и mΛ –инварианты Болсинова-Фоменко образуют полный инвариант C 0 –сопряженности ростков систем на данном атоме (определения 4.1.18 и 4.3.10).4.2.4(Λ, m, c)-аппроксимация функции периода возмущенной системы.
Доказательство теоремы 4.2.2Здесь мы сформулируем и докажем утверждение 4.2.12, из которого легко вытекает теорема 4.2.2 об открытости подпространства Hnondeg (M ) в пространстве H(M ), а также в дальнейшем (в §4.5.2) будет выведена теорема 4.5.6 о продолжимых m–инвариантах систем набициклических атомах.Рассмотрим гамильтонову систему v = (ω, F ) ∈ H(P, K) на произвольном атоме (P, K)# .Пусть ve = (eω , Fe) ∈ H(P ) — возмущенная гамильтонова система (см. (4.12) и (4.13)). Рассмотрим граф возмущения W num . Если атом (P, K)# седловой, мы введем функцию L = L(f ) наобъединении открытых ребер этого графа возмущения и покажем, что она достаточно хорошо аппроксимирует функцию периода τ = τ (f ).Пусть πFe : P → W — каноническая проекция (см.
(2.4)). Фиксируем открытое внутреннееребро e ≈ (cj1 (Fe), cj2 (Fe)) графа возмущения W num , параметризуем его гомеоморфизмом f |e :e → f (e) = (cj1 (Fe), cj2 (Fe)) ⊂ R, где функция f : W → R определяется условием Fe = f ◦ πFe ,см. (4.19). Рассмотрим произвольную точку f ∈ (cj1 (Fe), cj2 (Fe)) на этом ребре. Ей отвечаетзамкнутая траекторияe−1 (f )γe = γe (f ) := πF−1(4.32)e (e) ∩ Fвозмущенной системы (т.е. связная компонента линии уровня возмущенного гамильтонианаFe).
Пусть Ze — ориентированный цикл графа K, вдоль которого проходят такие траекторииγe (для любых значений f ∈ (cj1 (Fe), cj2 (Fe))). На открытом ребре e рассмотрим функциюпериода τe = τe (f ) возмущенной системы и введем следующую вспомогательную функцию.Определение 4.2.11.
На каждом открытом ребре e ≈ Fe(πF−1e (e)) ⊂ R графа возмущенияnumWвведем функциюLe (f ) = Le;Λ(ev),[m(v)],c(ev) (f ) := h[m(v)], [Ze ]i −nXκj (e)Λj (ev ) ln |f − cj (ev )|,j=1f ∈ Fe(πF−1e (e)), где Ze — указанный выше ориентированный цикл графа K, отвечающийребру e, число κj (e) ∈ {0, 1, 2} равно числу прохождений цикла Ze через вершину xj графаK. Здесь вектор и 1–коциклΛ(ev ) = (Λj (ev ))nj=1 ∈ Rn>0 ,[m(v)] ∈ H 1 (K; R) ' Rn+1суть грубые Λ– и m–метки систем ve и v соответственно (см. определение 4.2.9), а векторc(ev ) = (cj (ev ))nj=1 ∈ Rn — это набор значений возмущенного гамильтониана Fe в его критических точках (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
