Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Действительно: так какe v ) из определения 4.1.20 (соотв. 4.1.22) является инвариан“возмущенный” инвариант Ie = I(eтом C 0 –сопряженности, то в силу теоремы 4.3.16 Болсинова-Фоменко он является функциейот меток Болсинова-Фоменко системы ve (т.е. функцией от Λ–, mΛ – и Π–меток системы ve навершинах и ребрах графа возмущения, см.
определение 2.5.1 (B)). При этом п.2 определения4.1.20 (соотв. п.2 определения 4.1.22) означает, что указанная функция в действительностине зависит от Π–меток на внешних ребрах графа возмущения (см. определение 2.5.1 (C)).Определение 4.1.20. Фиксируем сложный атом (P, K)# (сложности n > 1).
Пусть I = I(v)— вещественнозначный функционал, определенный на пространстве H(P, K) гамильтоновыхсистем v на данном атоме (определение 4.1.18). Мы будем предполагать, что этот функционал не является константой. Пусть существует инвариант Ie C 0 –сопряженности, заданныйв некоторой окрестности U ⊂ Hnondeg(P ) множества H(P, K) ∩ Hnondeg(P ) в H(P ), непрерыв00ный в смысле топологии на U ⊂ Hnondeg(P)⊂H(P)из§4.1.3иобладающийследующими0свойствами:e в Hnondeg (P ) (т.е. любой класс (4.16) топологи1) U содержит любой страт Максвелла H0ческой траекторной эквивалентности гамильтоновых систем в пространстве Hnondeg(P ), см.0nondeg(4.15) и (4.11)), примыкающий к страту Максвелла H(P, K) ∩ H0(P ) невырожденныхeсистем на данном атоме (т.е.
замыкание страта Максвелла H содержит страт МаксвеллаH(P, K) ∩ Hnondeg(P ), см. определение 2.7.9 (В)),02) для любой системы ve ∈ U существует инвариантная регулярная окрестность U0 ⊂ Pкрая ∂P поверхности P , замыкание которой не содержит особых точек системы ve, и такая,что для любой (меньшей) инвариантной регулярной окрестности U ⊂ U0 края ∂P поверхноe v ) = I(he ∗ (eсти P , замыкание которой содержится в U0 , выполнено I(ev |P \U )) для некоторогодиффеоморфизма h : P → P \ U , неподвижного на P \ U0 ,e v ) на пространство H(P, K) ∩ Hnondeg3) ограничения функционалов I = I(v) и Ie = I(e(P )0совпадают, т.е.
Ie является непрерывным продолжением функционала I|H(P,K)∩Hnondeg (P ) вокрестность U множества H(P, K) ∩ Hnondeg(P ) в H(P ).00Тогда функционал I = I(v) будем называть C r –продолжимым инвариантом (или просто продолжимым инвариантом) на пространстве H(P, K) систем на данном атоме.
Если при этом I является гладким (определение 4.1.17), то будем его называть гладким C r –продолжимым инвариантом (или просто гладким продолжимым инвариантом).ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ249Относительно-устойчиво C 0 -несопряженные системы на атоме, относительная продолжимость инварианта по отношению к возмущениям данного классаНапомним, что для каждого атома (P, K)# мы считаем фиксированной нумерацию его вершин, а также оснащения этих вершин.
Согласно с фиксированной нумерацией и оснащениемвершин атома, мы фиксируем нумерацию и оснащения критических точек x1 , . . . , xn гамильтониана F любой системы на этом атоме, — как невозмущенной, так и возмущенной. Длялюбой функции, близкой к некоторой морсовской функции, послойно эквивалентной F , обозначим через ci ее значение в критической точке, близкой к xi , 1 ≤ i ≤ n.Фиксируем атом (P, K)# с пронумерованными вершинами x1 , . .
. , xn и какое-нибудь упорядоченное разбиение J = (J1 , . . . , Js ) множества его вершин (см. (2.20) и (2.21)). Рассмотримспециальные возмущения систем на этом атоме, при которых критические значения возмущенного гамильтониана удовлетворяют соответствующему отношению частичного порядка,т.е. соответствующей цепочке (2.22) равенств и строгих неравенств видаcj1 = · · · < · · · = . .
. < · · · = cjn ,(4.17)где cj — критические значения возмущенного гамильтониана, между которыми стоят знакиравенства “=” и строгого неравенства “<”, j = (j1 , . . . , jn ) — некоторая перестановка. Множество таких возмущений будем иногда называть классом возмущений систем на данноматоме. Ясно, что для каждого атома существует лишь конечное число классов возмущений.При этом случаю, когда все знаки в (4.17) являются неравенствами, отвечают простые возмущения, а случаю одних равенств отвечают тривиальные возмущения. Далее под классомвозмущений вида (4.17) будем понимать класс (4.16) топологической траекторной эквивалентности в пространстве Hnondeg(P ), содержащий все возмущенные системы, полученные0достаточно малыми возмущениями вида (4.17). Такие системы действительно принадлежатодному классу (4.16), так как их функции Гамильтона топологически послойно эквивалентныдруг другу согласно утверждению 2.5.2.Пусть седловой атом (P, K)# задается функцией Морса F с ровно одним критическимзначением.
Фиксируем класс (4.16) возмущений функции F , задаваемый системой равенстви неравенств между возмущенными критическими значениями c1 , . . . , cn (см. (4.17) выше).Определение 4.1.21 (ср. определение 4.1.19). Мы скажем, что две гамильтоновы системыv1 и v2 из пространства H(F ) = H(P, K) на атоме (P, K)# относительно-устойчиво C 0 eнесопряжены вблизи седловых уровней по отношению к данному классу возмущений H,если они удовлетворяют следующим двум условиям:1) Эти системы не являются C 0 -сопряженными в любых сколь угодно малых (инвариантных регулярных) окрестностях U1 и U2 седловых уровней.e обеих систем2) Существует ε > 0 такое, что при любых ε-малых возмущениях класса H0v1 и v2 (в смысле топологии из §4.1.3) возмущенные системы остаются C –несопряженнымиe1 и Ue2 своих множеств критических точек.в любых инвариантных связных окрестностях UОпределение 4.1.22 (ср. определение 4.1.20).
Фиксируем сложный атом (P, K)# (сложности n > 1) и класс (4.16) возмущений вида (4.17) систем на этом атоме. Пусть I = I(v)— вещественнозначный функционал, определенный на пространстве H(P, K) гамильтоновых систем v на данном атоме (определение 4.1.18) и непрерывный в смысле топологии наH(P, K) ⊂ H(P ) из §4.1.3. Мы будем предполагать, что этот функционал является инвариантом симплектической сопряженности ростков гамильтоновых систем на атоме в смыслеопределения 4.1.18 (т.е. I(v1 ) = I(v2 ), если системы v1 и v2 на данном атоме симплектическисопряжены в некоторых окрестностях U1 и U2 седловых уровней) и не является констанe ⊂ Hnondeg (P )той.
Пусть существует инвариант Ie C 0 –сопряженности на пространстве H0ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ250(“возмущенных”) гамильтоновых систем вида (4.17), см. (4.16), непрерывный в смысле инe ⊂ Hnondeg (P ) ⊂ H(P ) из §4.1.3 и обладающий следующимидуцированной топологии на H0двумя свойствами:e выполнен аналог свойства 2) из определения 4.1.20,2) для любой системы ve ∈ H3) для любой гамильтоновой системы v ∈ H(P, K) ∩ Hnondeg(P ) на атоме и ее возмущений0eve ∈ H данного класса имеем:e v ) при ve → v,I(v) = lim I(e(4.18)где предел понимается в смысле индуцированной топологии на подмножестве (H(P, K) ∩e ⊂ Hnondeg (P ) ⊂ H(P ) из §4.1.3 (см. (4.14)).Hnondeg(P )) ∪ H00Тогда функционал I = I(v) будем называть относительно–C r –продолжимым инвариантом (или просто относительно–продолжимым инвариантом) относительно класса возмущений (4.17).
Если при этом I является гладким (определение 4.1.17), то будем его называтьгладким относительно–C r –продолжимым инвариантом (или просто гладким относительно–продолжимым инвариантом).В определении 4.1.22 мы (i) рассматриваем лишь относительную продолжимость инвариантов систем на атоме (т.е. продолжимость по отношению к некоторому классу малых возмущений систем на данном атоме, в отличие от определения 4.1.20), кроме того(ii) функционал I предполагается инвариантом лишь симплектической (но не обязательно C 0 -) сопряженности. Это мотивируется тем, что (i) для систем на некоторых атомахсуществуют лишь относительно–продолжимые инварианты и не существуют продолжимых(см.
следствие 4.5.19), а (ii) некоторые относительно–продолжимые инварианты являются1лишь инвариантами C 1 – (но не C 0 –) сопряженности, по крайней мере для атомов V2k+1, Vk2бесконечной серии V — вполне бициклических атомов (см. теорему 4.5.21).Комментарий 4.1.23. Поясним, почему важно требовать, чтобы возмущенный инвариант Ie являлся инвариантом C 0 –сопряженности. Если откинуть это требование, то нетруднопостроить много новых (относительно) продолжимых инвариантов. Например, существуют простые примеры инвариантов C 1 –сопряженности, которые остаются инвариантами C 1 –сопряженности после возмущения.
Однако, чтобы гарантировать (относительно-) устойчивую C 0 –несопряженность систем на атоме, нам нужны именно продолжимые инварианты,которые при нетривиальном возмущении становятся инвариантами C 0 –сопряженности.Кроме упомянутой серии V вполне бициклических атомов, мы построим серию бициклических атомов (см. §4.5.2). Для каждого атома этой серии мы укажем класс простых возмущений вида (4.17) систем на этом атоме, и для этого класса возмущений решим следующиеаналоги вопросов (Q1) и (Q2).(Q1’) (А.В. Болсинов, А.Т. Фоменко, 1997) Существуют ли на том или ином атоме относительно–устойчиво C 0 –несопряженные системы по отношению к заданному классу возмущений? (Следствие 4.5.10.)(Q2’) (А.В.
Болсинов, А.Т. Фоменко, 1997) При каких условиях две системы на атомебудут относительно–устойчиво C 0 –несопряжены по отношению к заданному классу возмущений? (Следствия 4.5.9 и 4.5.9’.)Кроме того, для указанных атомов и классов простых возмущений, а также для произвольных атомов и произвольных сложных (т.е. не являющихся простыми) возмущенийсистем на них, мы получим положительные ответы на следующие вопросы:(Q3) (А.В. Болсинов, А.Т. Фоменко, 1997) Существует ли на заданном атоме продолжимый инвариант? (Утверждение 4.4.2 и следствие 4.5.19.) Существует ли на заданном атоме относительно–продолжимый инвариант по отношению к заданному классу возмущений?(Предложение 4.4.1, утверждение 4.4.2, теоремы 4.5.1, 4.5.6 (B) и 4.5.18.)ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ251(Q4) Является ли этот относительно–продолжимый инвариант I инвариантом C 0 – (илихотя бы C 1 –) сопряженности систем? (Предложение 4.4.1, теоремы 4.5.1, 4.5.6 (C) и 4.5.21.)Наши построения будут использовать (построенный А.В.
Болсиновым и А.Т. Фоменко)полный инвариант C 0 –сопряженности систем в Hnondeg (M ) (см. теорему 4.3.16). В связи сэтим возникает следующий вопрос, поставленный А.С. Мищенко, на который мы в §4.2 дадимположительный ответ при любом r ≥ 5:(Q5) (А.С. Мищенко, 1999) Являются ли подпространства Hnondeg (M ) и Hnondeg(M ) невы0рожденных гамильтоновых систем открытыми и/или всюду плотными в пространстве H(M )всех (почти невырожденных) гамильтоновых систем на поверхности M в смысле топологиииз §4.1.3? (Теорема 4.2.2, утверждение 4.2.12.)Если вопрос (Q3) имеет положительный ответ, то вопрос (Q1’) тоже имеет положительныйответ, и с помощью относительно-продолжимого инварианта из (Q3) нетрудно явно получитьответ на вопрос (Q2’).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
