Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 81
Текст из файла (страница 81)
принадлежит (расширенному) классу интегрируемых систем eIH(Q)(см. замечание 4.1.4). По-видимому (см. [12]), эта гамильтонова система не обладает, вообщеговоря, дополнительным первым интегралом в целой 4-мерной окрестности гиперповерхности QE в M , т.е. не принадлежит классу IH(Q) вполне интегрируемых систем.Лемма 4.1.5. Пусть на 3-мерном компактном многообразии Q с краем заданы 3-формаобъема µ и несжимаемый поток, обладающий боттовским первым интегралом, т.е. заданы замкнутая 2-форма B без нулей на Q и боттовская гладкая функция f на Q такие,что B|∂Q = 0, все критические многообразия функции f одномерны и содержатся во внутренности Q, и f постоянна на любой интегральной траектории поля ядер 2-формы B ина любой компоненте края. Предположим, что существует сечение Пуанкаре этого потока, т.е.
такая 2-мерная компактная поверхность P ⊂ Q с краем ∂P ⊂ ∂Q, что B|Pне имеет нулей и P пересекает любую интегральную кривую поля ядер 2-формы B. Пустьψ : P → P — отображение Пуанкаре, т.е. отображение последования, отвечающее потоку.Тогда верны импликации (a)=⇒(b) и (b)=⇒(c) между следующими условиями:(a) поверхность P пересекает каждую критическую окружность функции f ровно в одной точке, значения функции f |P во всех ее критических точках совпадают, и собственныеГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ236значения линеаризации отображения Пуанкаре ψ в любой критической точке вещественныи положительны и отличны от 1;(b) существует морсовская функция G на P (называемая гамильтонианом Пуанкаре),постоянная на любой граничной окружности поверхности P и такая, что отображениеПуанкаре ψ является действием гамильтонова потока за время 1 с гамильтонианом Gотносительно симплектической структуры B|P ;(c) на 4-мерном многообразии M = Q × R существует симплектическая структура Ω,относительно которой функция H := πR находится в инволюции с функцией g ◦ πQ (а вслучае (a) также с функцией f ◦ πQ ), и такая что Ω|Q×{0} = B при отождествлении Q сQ × {0}, где πR : M → R и πQ : M → Q — проекции, а функция g на Q постоянна вдольинтегральных кривых поля ядер 2-формы B и g|P = G.
То есть, интегрируемый поток, полученный из исходного интегрируемого несжимаемого потока некоторой заменой временивдоль фазовых траекторий, продолжается в некоторую 4-мерную окрестность гиперповерхности Q в M до интегрируемой (на всех уровнях энергии) гамильтоновой системы.В частности, при выполнении условия (a) (соответственно (b)) все компактные связные неособые множества уровня функции f (соответственно g) являются двумернымиторами, и движение по ним в силу потока условно-периодично после указанной заменывремени вдоль траекторий потока.Доказательство.
Пусть CFP — множество критических точек функции FP := f |P .(a)=⇒(b): Отображение Пуанкаре ψ : P → P является симплектоморфизмом поверхности (P, B|P ), и сохраняет функцию Морса FP . Пусть e ⊂ P — открытое ребро графаK := FP−1 (FP (CFP )), т.е. связная компонента линии K \ CFP . Из условия (a) следует, чтоψ(e) = e.
Опишем построение гамильтониана Пуанкаре G в достаточно малой регулярнойокрестности Ue дуги e в проколотой поверхности P \ CFP . По теореме Дарбу в Ue существуютканонические локальные координаты вида (ye , FP ), т.е. такие координаты, в которых симплектическая структура B|P имеет канонический вид B|Ue = dFP ∧ dye . Тогда отображениеПуанкаре в Ue имеет вид (ye , FP ) 7→ (ye + ∆(ye , FP ), FP ). То, что оно является симплектоморфизмом, означает, что якобиан этого отображения тождественно равен 1, т.е.
функция∆(ye , FP ) = ∆(FP ) не зависит от координаты ye . Но любое отображение такого вида является гамильтоновым потоком за время 1 с гамильтонианом вида Ge = Ge (FP ) на U , гдеdGe (FP )/dFP = ∆(FP ). Прибавим к функции Ge константу так, чтобы Ge (e) = 0.Полученные функции Ge = Ge (FP ) склеиваются в единую гладкую функцию G на P(гамильтониан Пуанкаре), так как на любой связной компоненте поверхности P \ K гамильтонианы Ge , Ge0 , отвечающие разным ребрам e, e0 , совпадают.(b)=⇒(c): Так как отображение Пуанкаре ψ сохраняет гамильтониан Пуанкаре G, то существует функция g на Q, постоянная вдоль интегральных кривых поля ядер 2-формы B итакая, что g|P = G. Пусть (y, x) — канонические локальные координаты в некоторой областиU в P относительно симплектической структуры B|P , т.е.
B|U = dx ∧ dy. На P × S 1 имеемлокальные координаты (y, x, t), где t ∈ R/Z — координата на окружности S 1 = R/Z. На4-мерном многообразии M1 := P × S 1 × R имеем локальные координаты (y, x, t, H).Определим 2-форму B1 на P × S 1 равнойB1 := πP∗ (B|P ) − d(G ◦ πP ) ∧ dπS 1 ,т.е. в локальных координатах имеем B1 |U ×S 1 = dx ∧ dy − dG ∧ dt.
Далее, для любой функцииJ на Y , функцию J ◦ πY на X × Y тоже будем обозначать через J, где πY : X × Y → Y —проекция. Определим симплектическую структуру Ω1 на M1 формулойΩ1 := πP∗ ×S 1 B1 + dH ∧ dt,т.е. в локальных координатах имеем Ω1 |U ×S 1 ×R = dx ∧ dy − dG ∧ dt + dH ∧ dt = dx ∧ dy + d(H −G) ∧ dt. Поэтому на (M1 , Ω1 ) любая функция на P (т.е. любая функция от переменных x, yГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ237на U × S 1 × R, в частности любая из функций FP , G) находится в инволюции с функциейH − G. Отсюда 0 = {G, H − G} = {G, H}, т.е. G — первый интеграл гамильтоновой системы(M1 , Ω1 , H) на всем 4-мерном многообразии M1 .
В случае (a) имеем G = Ge (FP ), откуда0 = {FP , H−G} = {FP , H}, т.е. FP тоже является первым интегралом гамильтоновой системы(M1 , Ω1 , H).Проверим, что ограничение интегрируемой гамильтоновой системы (M1 , Ω1 , H, G) на уровень энергии P × S 1 × {0} траекторно эквивалентно исходной системе на Q, т.е. что тройка(P ×S 1 , B1 , G) диффеоморфна исходной тройке (Q, B, g). Векторное поле B 1 := ∂/∂t+sgrad Gна P × S 1 принадлежит ядру 2-формы B1 = Ω1 |P ×S 1 ×{0} , так как iB 1 B1 = dG − dG = 0. Поэтому отображение Пуанкаре, отвечающее 2-форме B1 , совпадает с отображением ψ, т.е. сотображением Пуанкаре, отвечающим 2-форме B. Отсюда следует, что существует диффеоморфизм пар (P × S 1 , P × {0}) → (Q, P ), индуцирующий тождественный диффеоморфизмP × {0} → P и переводящий B в B1 (а потому первый интеграл g в G, а в случае (a) первыйинтеграл f в FP ).
Лемма доказана.Итак, А.В. Болсинов и А.Т. Фоменко классифицировали [9, теорема 4.1 или 8.1] динамические системы класса IHnondeg (Q) ≈ IBnondeg (Q) (т.е. невырожденные вполне интегрируемые3-мерные несжимаемые течения) с точностью до C 0 -траекторной эквивалентности. В действительности, их классификация распространяется также на системы расширенного классаeIHnondeg (Q) ≈ eIBnondeg (Q) (т.е. являющиеся интегрируемыми, но необязательно вполне интегрируемыми), по крайней мере на такие интегрируемые системы, которые являются интегрируемыми возмущениями систем из леммы 4.1.5 (a).
Действительно: в силу леммы 4.1.5 излюбого такого интегрируемого течения (B, µe, f ) ∈ eIB(Q) можно получить вполне интегрируемое течение вида (B, µ, f ) ∈ IB(Q) путем изменения положительной 3-формы объема µe,0а течения (B, µ, f ) и (B, µe, f ) автоматически C -траекторно эквивалентны для любых положительных 3-форм объема µ, µe на Q.В качестве вспомогательного инструмента для доказательства C 0 -траекторной классификации систем указанного типа невырожденности Болсинов и Фоменко доказали следующееутверждение (см.
предложение 4.1.6 ниже).Прежде, чем его сформулировать, напомним, что ориентированным 3-атомом (далее —3-атомом) называется малая инвариантная окрестность RE,c,ε в QE особого слоя LE,c слоенияЛиувилля с точностью до C 0 -лиувиллевой эквивалентности (т.е. сохраняющего ориентациюпослойного гомеоморфизма). Здесь LE,c есть связная компонента множества QE ∩ F −1 (c),содержащая критическую точку функции F |QE , и RE,c,ε есть компонента связности LE,c вQE ∩ F −1 [c − ε, c + ε], где число ε > 0 достаточно мало. Хорошо известно [9], что для систем класса IHnondeg (Q) (т.е.
класса IBnondeg (Q)) любой 3-атом есть прямое произведениеориентированного 2-атома (далее — 2-атома) на окружность с точностью до послойного гомеоморфизма (а в случае 3-атомов со “звездочками” — косое произведение 2-атома наокружность, отвечающее некоторой инволюции 2-атома). А именно: согласно [9] существуетгладкая 2-мерная поверхностьPE,c,ε ⊂ RE,c,ε(называемая трансверсальной 2-площадкой реализации 3-атома) в QE такая, что существуетпослойный диффеоморфизм(RE,c,ε , F |RE,c,ε ) ≈ (S 1 × PE,c,ε , F ◦ pPE,c,ε ),а в случае 3-атомов со “звездочками” — послойный диффеоморфизм(RE,c,ε , F |RE,c,ε ) ≈ (S 1 hχ PE,c,ε , F ◦ pPE,c,ε )косому произведению 2-атома на окружность, отвечающему некоторой инволюции χ : PE,c,ε →PE,c,ε 2-атома.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
