Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 76
Текст из файла (страница 76)
“конфигураций”) поверхности M , снабженных |Cf0 | положительными и |Cmaxf0 | отрицательными вещественными метками (по одной метке в каждойточке подмножества) общей суммы 0. Значит, A0 (f0 ) гомеоморфно открытому подмножеству ϕ(A0 (f0 )) ⊆ Q(f0 ), состоящему из “меченых конфигураций”, отвечающих 1-формам ωбез кратных нулей.Нетрудно выводится из (3.98) при r = s (см. (3.97) и замечание 3.2.6, т.е. [143, замечание2.6]), что наше многообразие B гомеоморфно пространству A∗0 (f0 ) функций R ∈ A0 (f0 ) илипар (λ, R) ∈ A0 (f0 ), снабженных f0 -метками (см. §3.7.3) в нулях и полюсах 1-формы ω =R(z)dz и в некоторых других |Ctrivf0 | точках, а также “вертикальной” меткой, состоящей из(i) вещественного числа и (ii) либо положительного вещественного числа в случае |Ctrivf0 | =saddleextr|Cf0 | = 0, либо |Cf0 | интегральных кривых поля ker (Re ω), отделяющих полюса от другихотмеченных точек.
Значит, имеет местоУтверждение 3.7.5 ([144, §4]). В условиях теоремы 3.7.1 классифицирующее многообразие B ∼ F гомеоморфно пространству, полученному из “меченого конфигурационного подпространства” ϕ(A0 (f0 )) ⊆ Q(f0 ) введением f0 -меток и (несущественной для топологии)“вертикальной” метки.ГЛАВА 3.3.7.5ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА222Случай поверхности M с краемПусть M — гладкая связная компактная ориентируемая поверхность с непустым краем∂M = ∂ + M t ∂ − M , где ∂ + M — объединение некоторых граничных окружностей M . Определим подпространство C ∞ (M, ∂ + M, ∂ − M ) ⊂ C ∞ (M ) как в определении 2.2.1 (Б). Пустьфункция f0 ∈ C ∞ (M, ∂ + M, ∂ − M ) имеет только критические точки типов Aµ , µ ∈ N.
ПустьF = F(f0 ) — множество функций f ∈ C ∞ (M, ∂ + M, ∂ − M ), имеющих те же типы локальных особенностей, что и f0 . Пусть D0 (M ) — компонента единицы в группе D(M ) = Diff + (M )сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов M . Группа D(R)×D(M ) действует на F “левоправыми заменами координат”.Положим s := 0 при χ(M ) < 0, s := 1 при χ(M ) ≥ 0.Теорема 3.7.6. Предположим, что поверхность M компактна и имеет непустой край.Тогда для любой функции f0 ∈ C ∞ (M, ∂ + M, ∂ − M ), все критические точки которой имеюттипы Aµ , µ ∈ N, справедлив аналог теоремы 3.7.1 для размерностей dim B = s + |π0 (∂M )| +extrsaddlebextr2|Ctriv| = dim E − 2.f0 | + |Cf0 | + |Cf0 | + 3|Cf0Доказательство.
Опишем построение классифицирующих многообразий и классифицирующих отображений. Пусть x1 , x2 , · · · ∈ ∂0 M — попарно различные точки на одной граничной окружности ∂0 M ⊆ ∂M , причем любая начальная конечная подпоследовательностьx1 , . . . , xn расположена в циклическом порядке (согласованным с ориентацией поверхности)на окружности ∂0 M . Аналогично §3.7.2 определим группы Dr0 (M ), r ∈ Z+ , универсальныепространства модулейBr := F/Dr0 (M ),Er := (M × F)/Dr0 (M )оснащенных функций (соотв.
оснащенных функций с одной отмеченной точкой) в F, r ∈ Z+ ,и классифицирующие многообразия B := Bs и E := Es . Тогда верны аналоги всех утверждений из §3.7.2 для размерностейextrsaddlebextrdim Br = r + |π0 (∂M )| + 2|Ctriv| = dim Er − 2.f0 | + |Cf0 | + |Cf0 | + 3|Cf0В частности, верны утверждения лемм 3.7.2 и 3.7.3. С их помощью определяются отображения kr = Evr ◦ i : F → Br и κr , r ∈ Z+ , и классифицирующие отображения k = ks и κ = κs ,и выводится теорема 3.7.6.Сформулируем аналог утверждения 3.7.4. Пусть M — гладкая замкнутая поверхность,полученная из M заклеиванием дисками всех граничных окружностей.
Обозначим через−maxMorse(f0 ) пространство функций Морса на M , имеющих ровно |Cminf0 | + |π0 (∂ M )| и |Cf0 | +|π0 (∂ + M )| точек локальных минимумов и максимумов и |Csaddle| седловых точек, причемf0−+|π0 (∂ M )| и |π0 (∂ M )| точек локальных минимумов и максимумов фиксированы на M иmaxобразуют |π0 (∂ − M )|- и |π0 (∂ + M )|-точечные подмножества Cmin⊂ M (состояfix ⊂ M и Cfixщие из центров заклеивающих дисков). Пусть для определенности выделенная граничнаяокружность ∂0 M ⊆ ∂ − M и x0 ∈ Cminfix — одна из фиксированных точек. Фиксируем ненулевой+maxкасательный вектор e0 ∈ Tx0 M и биекции π0 (∂ − M ) ≈ Cminfix и π0 (∂ M ) ≈ Cfix , при которыхmaxвыделенной граничной окружности ∂0 M отвечает точка x0 . Положим Cfix := Cminfix ∪ Cfix .Функцию Морса f ∈ Morse(f0 ) назовем f0 -меченой, если каждая ее нефиксированная критическая точка x ∈ Cf \ Cfix помечена целым числом, а если это число ненулевое и x ∈ Cextrf ,trivто также 1-мерным подпространством `x ⊂ Tx M , более того |Cf0 | некритических точек fпомечены ненулевыми целыми числами так, что уровень (см.
§3.7.1) любой критической точки функции f0 совпадает с целой меткой соответствующей (нефиксированной) отмеченнойminmaxточки функции f для некоторых биекций Cmin\ Cfix , Cmax\ Cfix , Csaddle≈ Csaddlef0 ≈ C ff0 ≈ C ff0fи биекции между Ctrivимножествомотмеченныхнекритическихточекf.f0ГЛАВА 3.223ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСАОбозначим через Morse∗ (f0 ) пространство оснащенных (см. §3.7.2) f0 -меченых функцийМорса. Пусть D 0 (M , Cfix ) — компонента единицы группыD(M , Cfix ) := {h ∈ D(M ) | h|Cfix = idCfix }.Пусть D 0 (M , Cfix , e0 ) — компонента единицы группыD(M , Cfix , e0 ) := {h ∈ D(M ) | h|Cfix = idCfix , dh(x0 )e0 = λe0 , λ ∈ R>0 }.◦dОбозначим ∆ := {(t1 , .
. . , td ) ∈ Rd | 0 < t1 < · · · < td < 1}, d ∈ N. Нетрудно доказываетсяследующий аналог утверждения 3.7.4.Утверждение 3.7.7. Имеют место гомеоморфизмыB0 ≈ Morse∗ (f0 )/D 0 (M , Cfix ),E0 ≈ (M × Morse∗ (f0 ))/D 0 (M , Cfix ),а также при любом r ∈ N гомоморфизмы◦r−1Br ≈ (Morse∗ (f0 )/D 0 (M , Cfix , e0 )) × ∆3.7.6◦,r−1Er ≈ ((M × Morse∗ (f0 ))/D 0 (M , Cfix , e0 )) × ∆.Примеры: топология и стратификация Максвелла пространствFq+1,q,1 функций Морса на сфере при q = 0, 1, 2Пусть M — гладкая связная ориентированная замкнутая поверхность и f0 — функция Морсана M , имеющая nλ критических точек индекса λ при λ = 0, 1, 2. Обозначим пространствоF(f0 ) через F = Fn0 ,n1 ,n2 , а пространство F(f0 ) через F = Fn0 ,n1 ,n2 . Имеемsaddlen0 = |Cmin| = |Cf0 ,1 |, n2 = |Cmaxf0 | = |Cf0 ,0 |, n1 = |Cf0f0 | = |Cf0 ,2 |, n0 − n1 + n2 = χ(M ).HОбозначим через F− ⊂ F подмножество, состоящее из пар (f, α) ∈ F таких, что ∂Dx,ε α =1 для любой точки x ∈ Cminf , где Dx,ε есть “круг с центром в точке x радиуса ε”, точнеекомпонента связности точки x в f −1 (−∞, f (x) + ε], где 0 < ε 1.
ОбозначимBr− := F− /Dr0 (M ),Er− := (M × F− )/Dr0 (M ),r ∈ Z+ ,B − := Bs− и E − := Es− . Будем также обозначать B − через B − (f0 ).Рассмотрим подпространство A− (f0 ) ⊂ A(f0 ) (в случае M = S 2 , T 2 , см. §3.7.4), состоящееиз мероморфных функций R ∈ A(f0 ) или пар (R, λ) ∈ A(f0 ) таких, что все положительные−вычеты мероморфной 1-формы ω = R(z)dz равны 1. Положим A−0 (f0 ) := A (f0 ) ∩ A0 (f0 ).Рассмотрим также “меченое конфигурационное пространство” Q− (f0 ) := ϕ(A− (f0 )), состоящее из |Cextrf0 |-точечных подмножеств поверхности M , снабженных вещественными меткамиmaxminmaxобщей суммы 0 в |Cminf0 | + |Cf0 | точках, где |Cf0 | меток равны 1 и |Cf0 | меток отрицательны.Заметим, что доказательства лемм 3.7.2 и 3.7.3 дословно повторяются для пространствF− и Br− .
Поэтому верно следующееУтверждение 3.7.8. Верны аналоги теоремы 3.7.1 и лемм 3.7.2, 3.7.3 для подпространствF− ⊂ F, Br− ⊂ Br , B − ⊂ B, E − ⊂ E. Если M = S 2 и количество точек локальных мак−симумов n2 = |Cmaxf0 | = 1, то пространство Q (f0 ) есть обычное (немеченое) конфигурационное пространство (точнее, пространство всех меченых (n0 + 1)-точечных конфигураций с метками 1 во всех точках кроме одной), а потому классифицирующее многообразиеB − ∼ F гомеоморфно пространству, полученному из конфигурационного подпространства−ϕ(A−0 (f0 )) ⊆ Q (f0 ) введением (несущественной для топологии) “вертикальной” метки.ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА224Обозначим через Qn0 (M ) множество n0 -элементных подмножеств в M , а черезA = {x, y, z} ∈ Q3 (S 2 )фиксированную конфигурацию трех точек на экваторе сферы в вершинах правильного треугольника.
ПустьΓ ⊂ S2— вложенный граф, состоящий из трех маленьких окружностей вокруг точек x, y, z ∈ A итрех дуг экватора (называемых хордами), попарно соединяющих эти окружности. Для любойпары взаимно простых натуральных чисел m, n ∈ N, n ≤ m, рассмотрим 3-мерное линзовоепространствоL(m, n) := {(z, w) ∈ C × C | |z|2 + |w|2 = 1}/((z, w) ∼ (e2πi/m z, e2πin/m w)).Отметим, что SO(3) ≈ RP 3 ≈ L(2, 1).Примеры 3.7.9. (A) Пространство функций Морса F = Fq+1,q,1 при q = 0, 1, 2 имеет следующий гомотопический тип:• двумерной сферы S 2 при q = 0;• 3-мерного линзового пространства L(4, 1) при q = 1;[• 4-мерного полиэдра{h(A)} × (h(Γ)) ⊂ Q3 (S 2 ) × S 2 при q = 2.h∈SO(3)(B) Пространство Fq+1,q,1 при q = 0 состоит из одной лево-правой орбиты (т.е.
D(R) ×D(S 2 )-орбиты). При q = 1 оно состоит из двух лево-правых орбит, имеющих коразмерности0 и 1, причем открытая орбита гомотопически эквивалентна SO(3), а неоткрытая орбита —1⊂ Fq+1,q,1 состоит из двух орбит, имеющихлинзе L(4, 1). При q = 2 подпространство Fq+1,q,1коразмерности 0 и 1, причем открытая орбита гомотопически эквивалентна SO(3) × S 1 , анеоткрытая орбита — линзе L(4, 1).Обоснование примеров. Из утверждения 3.7.8 получаем три гомотопические эквивалентности, гомеоморфизм и включение:−−−−Fq+1,q,1 ∼ F−q+1,q,1 ∼ B (f0 ) ∼ A0 (f0 ) ≈ ϕ(A0 (f0 )) ⊆ Q (f0 ).−(A) При q = 0, 1 последнее включение является равенством, так как A−0 (f0 ) = A (f0 ) ввидулибо отсутствия нулей у 1-форм ω = R(z)dz при R ∈ A− (f0 ) (так как отсутствуют седловыеточки у f ∈ Fq+1,q,1 ) при q = 0, либо невырожденности единственного нуля у 1-форм ω приq = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
