Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 79
Текст из файла (страница 79)
они изначально не были C -сопряжены и остаются C –несопряженными (в любых инвариантных связных окрестностях множеств критическихe при любом r ≥ 5.точек гамильтонианов) при любых C r -малых возмущениях класса H,e бициклических возмущений, пары (v1 , v2 ) относительно(D) По отношению к классу Hустойчиво C 0 –несопряженных гамильтоновых систем из пространства H(F ) систем наэтом атоме образуют подпространство полной меры в пространстве H(F ) × H(F ) (см.комментарий 4.5.3).1Теорема 4.1.2 (см. следствия 4.5.16 и 4.5.17). Предположим, что род поверхности P положителен, а топологическая пара (P, K) имеет максимальную и абелеву дискретную группусимметрий, т.е.
принадлежит серии V (определения 4.5.11, 4.5.12 и теорема 4.5.13), т.е.является вполне бициклическим атомом (см. теорему 4.5.15). Пусть O1 , . . . , Oν — атомные окружности атома (P, K), т.е. регулярные погруженные замкнутые кривые в графеK ⊂ P , с произвольно фиксированной ориентацией. Тогда:(A) Если пара гамильтоновых систем v1 , v2 ∈ H(F ) на этом атоме удовлетворяет условиям Λj (v1 ) : Λj 0 (v1 ) 6= Λj (v2 ) : Λj 0 (v2 ) для любых j 6= j 0 и B(v1 ) 6= B(v2 ) для любого функционала B = B(v) вида B(v) = h[m(v)], [O1 ] ± · · · ± [Oν ]i (для всевозможных знаков в сумме),то системы v1 и v2 устойчиво C 0 –несопряжены (определение 4.1.19), т.е. они изначальноне были C 0 –сопряжены, и остаются C 0 –несопряженными (в любых инвариантных связных окрестностях множеств критических точек гамильтонианов) при любых C r -малыхвозмущениях этих систем, при любом r ≥ 5.(B) Пары (v1 , v2 ) устойчиво C 0 -несопряженных гамильтоновых систем из пространстваH(F ) на этом атоме образуют подпространство полной меры в пространстве H(F )×H(F )(см.
комментарий 4.5.3).Отметим, что обнаруженный нами относительно-продолжимый m-инвариант B = B(v)на подпространстве H(F ) ⊂ H(P ) имеет простой геометрический смысл: значение B(v) налюбой системе v ∈ H(F ) равно сумме главных значений Ai (v) = h[m(v)], [Oi ]i периода системы v на атомных окружностях Oi данного атома, взятых с подходящими ориентациями(определение 4.3.7): B(v) = A1 (v) + . . . + Aν (v).Для полноты изложения мы также получаем следующие дополнительные результаты:• доказано, что пространство Hnondeg (M ) невырожденных гамильтоновых систем на компатной поверхности M C 5 -открыто, но не C 4 -открыто (§4.1.3) в пространстве H(M )почти невырожденных гамильтоновых систем на M (теорема 4.2.2), тем самым получен положительный ответ на вопрос (Q5) А.С.
Мищенко (1999 г.);• доказано, что для любого плоского атома и любого атома серии V (в том числе любоговполне бициклического атома) не существует продолжимых инвариантов на пространстве гамильтоновых систем на этом атоме (следствие 4.5.19);ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ231• доказано, что для любого плоского атома и любого атома серии V (в том числе любоговполне бициклического атома) и любого класса простых возмущений (т.е. возмущений общего положения) систем на нем, обнаруженный нами набор из g относительнопродолжимых m–инвариантов по отношению к этому классу возмущений является полным (утверждение 4.4.2 и теорема 4.5.18), т.е. любой относительно-продолжимый инвариант является функцией от инвариантов данного набора, где количество g инвариантов данного набора равно роду атома (т.е.
роду несущей поверхности P ); в частности,в случае любого плоского атома не существует относительно-продолжимых инвариантов и любые две системы на этом атоме можно сделать C 0 -сопряженными путем скольугодно малых возмущений этих систем в данном классе возмущений;• доказано, что пространство IBnondeg (Q) невырожденных интегрируемых несжимаемыхтечений на компактном 3-многообразии Q с краем (соотв. пространство IHnondeg (Q)невырожденных интегрируемых гамильтоновых систем с 2 степенями свободы на невырожденном изоэнергетическом 3-мерном многообразии QE ≈ Q) C 5 -открыто в пространстве IH(Q) интегрируемых несжимаемых течений на Q (соотв.
в пространствевсех интегрируемых гамильтоновых систем с 2 степенями свободы), тем самым получен положительный ответ на вопрос (Q5)3D А.С. Мищенко 1999 г. (замечание 4.1.7);• обнаружены относительно-продолжимые C 0 -траекторные m–инварианты интегрируемых несжимаемых течений (соответственно интегрируемых гамильтоновых систем с2 степенями свободы) на бициклических 3-атомах (точнее, на отвечающих им стратах Максвелла) по отношению к соответствующим открытым классам “бициклическихвозмущений” (определение 4.5.5, теорема 4.5.6 и замечание 4.1.7),• получены эффективные достаточные условия (следствия 4.5.9, 4.5.10 и замечание 4.1.7)относительно-устойчивой C 0 -траекторной неэквивалентности (определяемой аналогично определению 4.1.21) пары интегрируемых несжимаемых 3-мерных течений (соответственно пары интегрируемых гамильтоновых систем с 2 степенями свободы) на бициклическом 3-атоме по отношению к классу бициклических возмущений; этим условиямудовлетворяют почти все пары интегрируемых течений (соответственно интегрируемыхсистем) на 3-атоме (см.
комментарий 4.5.3);• получены эффективные достаточные условия (следствия 4.5.16 и 4.5.17) устойчивойC 0 -траекторной неэквивалентности (аналог определения 4.1.19) пары интегрируемыхнесжимаемых 3-мерных течений (соответственно пары интегрируемых гамильтоновыхсистем с 2 степенями свободы) на вполне бициклическом 3-атоме; этим условиям удовлетворяют почти все пары интегрируемых течений (соответственно интегрируемыхсистем) на 3-атоме.Перейдем к точным формулировкам задач и результатов.4.1.1Мотивировка: непрерывные траекторные инварианты интегрируемых 3-мерных несжимаемых течений и интегрируемых гамильтоновых систем на 3-мерных изоэнергетических многообразияхВ данном параграфе рассматриваются интегрируемые гамильтоновы системы X = sgrad Hна симплектических четырехмерных многообразиях (M, Ω).
Здесь Ω — невырожденная замкнутая 2-форма на M , называемая симплектической структурой, X — векторное поле наM , определяемое условием dH = Ω(·, X). Такая система задается четверкой(M, Ω, H, F ),ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ232где H ∈ C ∞ (M ) — функция Гамильтона, F ∈ C ∞ (M ) — дополнительный первый интеграл(т.е. dF (X) = 0) такой, что 2-форма dH ∧ dF почти всюду отлична от нуля.
Посколькугамильтониан H всегда является первым интегралом, то можно ограничиться изучениемсистем на трехмерных инвариантных изоэнергетических регулярных 3-поверхностяхQ3E = {H = E = const}.Напомним, что две системы указанного типа считаются C 0 -лиувиллево эквивалентными,если существует сохраняющий ориентацию диффеоморфизм, переводящий торы Лиувилляодной системы в торы Лиувилля другой системы. Как в работе [9], рассмотрим следующийестественный класс IHnondeg (Q) невырожденных интегрируемых систем XE = sgrad H|Q3E наизоэнергетических 3-поверхностях QE , диффеоморфных фиксированному ориентированному 3-многообразию Q.
Пусть:1) Q3E является компактным гладким замкнутым 3-мерным многообразием, на которомdH не имеет нулей,2) существует дополнительный гладкий первый интеграл F (в окрестности 3-поверхностиQE в M ), ограничение которого на QE является невырожденным (=боттовским), т.е. всекритические многообразия функции F |QE являются невырожденными и ориентируемыми(см. [33]). Кроме того, мы будем предполагать, что исследуемые нами системы на QE неимеют критических окружностей с неориентируемыми сепаратрисными диаграммами (эторавносильно тому, что дифференциал отображения Пуанкаре для каждой периодическойтраектории поля XE , являющейся в то же время критической окружностью интеграла F |QE ,не имеет отрицательных вещественных собственных значений).
Другими словами, в терминологии [33, 35, 8] мы будем считать, что молекулы W изучаемых нами здесь систем неимеют “звездочек”. Системы со “звездочками” будут рассмотрены нами в отдельной работе. Предположим, что критические окружности функции F |QE пронумерованы и снабженыориентациями своих сепаратрисных диаграмм (аналогично определению 2.2.2 (В));3) Q3E является C 0 -лиувиллево устойчивым для данной системы, т.е. при малом изменении значения E энергии H C 0 -лиувиллев тип системы XE не меняется (т.е. система остаетсяC 0 -лиувиллево эквивалентной исходной; см. [8]); последнее равносильно тому, что для любого критического уровня LE ⊂ QE функции F |QE существует сечение Пуанкаре, т.е. 2-мернаяповерхность PE ⊂ QE , трансверсальная векторному полю XE и пересекающая каждую интегральную траекторию векторного поля XE , содержащуюся в LE ;4) дифференциал отображения Пуанкаре для каждой периодической траектории поля XE ,являющейся в то же время критической окружностью интеграла F |QE , отличен от тождественного отображения и от “минус тождественного”.
Другими словами, будем считать, чтовсе седловые критические окружности интеграла F |QE являются гиперболическими траекториями потока;5) система является нерезонансной, т.е. иррациональные торы Лиувилля всюду плотны вQE ;6) функции вращенияp ρ = ρE системы XE (т.е. зависимости отношения угловых частот(ω1 : ω2 ) = (ω1 , ω2 )/ ω12 + ω22 ∈ S 1 на семействах торов Лиувилля от значения дополнительного первого интеграла на торе Лиувилля в QE ) должны иметь лишь конечное число локальных экстремумов (минимумов и максимумов), причем все локальные экстремумыневырождены (т.е. являются морсовскими).А.В. Болсинов и А.Т. Фоменко классифицировали [9, теорема 4.1 или 8.1] динамическиесистемы указанного типа невырожденности с точностью до C 0 -траекторной эквивалентности(определение 4.1.11).Определим более точно множество таких систем и введем на нем топологию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
