Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 83
Текст из файла (страница 83)
непрерывное) продолжение внекоторую окрестность своих областей определения? Более точно, возникают следующиевопросы:(Q5)3D (А.С. Мищенко, 1999) Рассмотрим пространство IH(Q) интегрируемых гамильтоновых систем X = sgrad H|Q3E на изоэнергетических 3-многообразиях, обладающих только свойствами 1)–4) выше (аналогично определяется пространство IB(Q) интегрируемых3-мерных несжимаемых течений). Открыто ли пространство IHnondeg (Q) невырожденных интегрируемых систем в пространстве IH(Q) всех интегрируемых систем? Эквивалентный вопрос: открыто ли пространство IBnondeg (Q) невырожденных интегрируемых 3-мерных несжимаемых течений в пространстве IB(Q) всех интегрируемых 3-мерных несжимаемых течений?(Q3’)3D (А.В.
Болсинов, А.Т. Фоменко, 1997) Какие из “частичных” инвариантов Болсинова-Фоменко (и их комбинаций), определенные на заданном страте Максвелла в пространстве IHnondeg (Q) (соответственно IBnondeg (Q)), т.е. на классе C 0 -лиувиллевой эквивалентности, непрерывно продолжаются в некоторую окрестность этого страта Максвелла?При этом понятия открытости из вопроса (Q5)3D и непрерывности из вопроса (Q3’)3DГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ241понимаются в смысле какой-либо C r –топологии на пространстве IHnondeg (Q) (соответственноIBnondeg (Q)), где r ∈ N достаточно велико.Отметим, что инварианты Болсинова-Фоменко непрерывны на C ∞ -открытом C ∞ -плотномподмножестве в IHnondeg (Q), состоящем из систем, у которых любая связная компонентамножества уровня дополнительного первого интеграла F |QE содержит лишь одну критическую окружность функции F |QE (это следует из предложения 4.2.4).
Более того, здесьC ∞ -топологию можно заменить более сильной C 5 -топологией ввиду теоремы 4.2.2. Системы с указанным свойством — это в точности те системы, у которых все 3-атомы являютсяпростыми (определение 1.6.6). Поэтому сформулированный выше вопрос (Q3)3D естественнопереформулировать так:(Q3)3D (А.В. Болсинов, А.Т. Фоменко, 1997) Какие из инвариантов Болсинова-Фоменко (иих комбинаций) систем на данном сложном 3-атоме продолжимы, т.е.
их можно непрерывно продолжить в некоторую окрестность множества IHnondeg (R, L) систем на данном 3-атоме(R, L) в пространстве IHnondeg (R)? Какие из инвариантов Болсинова-Фоменко (и их комбинаций) систем на данном сложном 3-атоме относительно-продолжимы, т.е.
их можнонепрерывно продолжить в некоторый открытый страт Максвелла, примыкающий к данномустрату Максвелла IHnondeg (R, L)?Замечание 4.1.7. Согласно предложению 4.1.6 (а), любой инвариант C 0 -сопряженности наH(P ) индуцирует при отображении (4.7) C 0 -траекторный инвариант на IH(R), где P = P 2и R = S 1 × P . Но тождественное отображение Hr−1,r (P ) → H(P ), где H(P ) снабжено топологией из §3.2.2, непрерывно при r ≥ 3. Поэтому любой непрерывный (в смысле топологиииз §3.2.2) инвариант C 0 -сопряженности на Hnondeg (P ) индуцирует непрерывный (в смыслетопологии из (4.4)) траекторный инвариант на IHnondeg (R).
Аналогично, если мы докажемоткрытость подпространства Hnondeg (P ) в H(P ) в смысле топологии из §3.2.2, то отсюдасразу получим открытость подпространства IHnondeg (R) в IH(R), т.е. решим вопрос (Q5)3D .Таким образом, с учетом замечания 4.1.7, мы свели “3-мерные” вопросы (Q5)3D , (Q3’)3Dи (Q3)3D к их 2-мерным аналогам (т.е. к вопросам (Q5) и (Q3) из §4.1.5). Значит, из нашегоположительного ответа на вопрос (Q5) из §4.1.5 при любом r ≥ 5 (теорема 4.2.2) следует, с учетом замечания 4.1.7, положительный ответ на вопрос (Q5)3D .
А из нашего ответа на вопрос (Q3) из §4.1.5 сразу будет следовать ответ на вопрос (Q3)3D , поскольку всеотносительно-продолжимые инварианты C 0 -сопряженности систем на 2-атомах индуцируютпри отображении (4.7) относительно-продолжимые C 0 -траекторные инварианты систем на3-атомах.4.1.2Основные типы эквивалентности гамильтоновых системПусть (M, ω) — компактное симплектическое многообразие (возможно, с краем). То есть,M — это гладкое компактное многообразие, на котором задана дифференциальная 2–формаω, являющаяся замкнутой (dω = 0) и невырожденной в каждой точке многообразия (т.е.определитель кососимметричной матрицы, составленной из компонент этой 2–формы, отличен от нуля).
Пусть F : M → R — гладкая функция на этом многообразии, постоянная налюбой связной компоненте края поверхности M и не имеющая критических точек на крае.Множество всех таких функций обозначим черезC ∞ (M, ∂M ).(4.8)Пару (ω, F ), где ω и F — 2-форма и функция с указанными выше свойствами, назовемгамильтоновой системой с гамильтонианом F и симплектической структурой ω на M .Напомним, что любое симплектическое многообразие (M 2k , ω) обладает естественной ориентацией, задаваемой 2k–формой объема ω ∧k = ω ∧ .
. . ∧ ω (k = dim M/2 сомножителей) на M .ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ242Хорошо известно, что пространство F(M ) функций Морса на M открыто и всюду плотно впространстве C ∞ (M ), снабженном C r -топологией, для любого r ∈ [2, +∞]. Поэтому изучениегамильтоновых систем с морсовскими функциями Гамильтона представляет первоочереднойинтерес.Всюду далее мы будем предполагать, что dim M = 2n = 2 и функция Гамильтона Fявляется морсовской функцией с оснащенно-нумерованными критическими точками (определение 2.2.2 (В)) на M , т.е.
принадлежит пространствуFnum,fr = Fnnum,fr= Fnnum,fr(M )0 ,n1 ,n20 ,n1 ,n2(4.9)для некоторых фиксированных чисел n0 , n1 , n2 ∈ Z+ (см. (2.10)). Будем также предполагать,что на поверхности M фиксирована ориентация при помощи некоторого кососимметрического тензорного поля v ∈ Γ∞ (Λ2 T M ) без нулей на M , и что симплектическая 2-форма ωсогласована с этой ориентацией. Полученное множество гамильтоновых систем на M обозначим черезH(M ) := {(ω, F ) ∈ Ω2 (M ) × Fnum,fr | dω = 0, ω(v) > 0}(4.10)и назовем пространством почти невырожденных гамильтоновых систем на ориентированной поверхности M , или просто пространством гамильтоновых систем на M .С каждой гамильтоновой системой v = (ω, F ) ∈ H(M ) мы всегда будем ассоциировать векторное поле sgrad F (называемое гамильтоновым с функцией Гамильтона F ), двойственное1–форме dF относительно 2–формы ω:ω(·, sgrad F ) = dF.Заметим, что край многообразия M компактен и состоит из компонент множеств уровняtфункции F , поэтому поток gsgradF векторного поля sgrad F является полным.
Этот потокназовем фазовым потоком гамильтоновой системы v = (ω, F ) и обозначим через gvt , а траектории этого потока назовем фазовыми траекториями системы.Мы будем рассматривать следующие четыре типа эквивалентности на пространстве H(M )гладких (т.е. класса C ∞ ) гамильтоновых систем:1) симплектическая сопряженность,2) C 1 –сопряженность (не обязательно симплектическая),3) C 0 –сопряженность и4) траекторная эквивалентность систем (непрерывная, т.е. класса C 0 , или класса C 1 , иликласса C ∞ ).Определение 4.1.8.
Будем говорить, что гамильтоновы системы v = (ω, F ) ∈ H(M ) иv 0 = (ω 0 , F 0 ) ∈ H(M 0 ) симплектически сопряжены, если существует симплектический диффеоморфизм A : M → M 0 соответствующих симплектических многообразий (M, ω) и (M 0 , ω 0 ),такой, что A∗ F 0 = F + const. Если M = M 0 и указанный диффеоморфизм изотопен тождественному, то системы назовем топологически симплектически–сопряженными.Определение 4.1.9. Гамильтоновы системы v = (ω, F ) ∈ H(M ) и v 0 = (ω 0 , F 0 ) ∈ H(M 0 )называются C 1 –сопряженными, если существует сохраняющий ориентацию C 1 –диффеоморфизм многообразия M в M 0 , переводящий фазовый поток gvt первой системы в фазовый потокgvt 0 второй системы.
Если M = M 0 и указанный диффеоморфизм изотопен тождественному,то системы назовем топологически C 1 –сопряженными.Определение 4.1.10. Гамильтоновы системы v = (ω, F ) ∈ H(M ) и v 0 = (ω 0 , F 0 ) ∈ H(M 0 ) будем называть C 0 –сопряженными, если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизммногообразия M в M 0 , переводящий фазовый поток gvt первой системы в фазовый поток gvt 0второй системы. Если M = M 0 и указанный гомеоморфизм изотопен тождественному, тосистемы назовем топологически C 0 –сопряженными.ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ243Определение 4.1.11. Гамильтоновы системы v = (ω, F ) ∈ H(M ) и v 0 = (ω 0 , F 0 ) ∈ H(M 0 ) будем называть C 0 –траекторно эквивалентными (или просто траекторно эквивалентными),если существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм многообразия M в M 0 , переводящий фазовые траектории первой системы в фазовые траектории второй системы с сохранением направления роста времени на неособых траекториях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
