Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Еще один возникающий вопрос (Q4’) мы сформулируем в §4.3.3 ниже.В работах Болсинова–Фоменко [9, 10, 54, 11] и в поставленных выше вопросах (Q1)—(Q4),(Q1’) и (Q2’) фактически рассматривается разбиение пространства Hnondeg (M ) невырожденных гамильтоновых систем на M на страты Максвелла — связные компоненты классовтраекторной эквивалентности (определение 4.1.11), т.е. любой страт Максвелла состоит изгамильтоновых систем (ω, F ) ∈ Hnondeg (M ) таких, что функция Морса F принадлежит фиксированному классу топологической послойной эквивалентности (определение 2.2.4 (C)) ификсировано количество “Π–меток” на каждом ребре графа W num .
Более точно: А.В. Болсинов и А.Т. Фоменко [9, 10, 54, 11] построили полный инвариант C 0 -сопряженности гамильтоновых систем (оснащенная молекула Болсинова–Фоменко) на отдельно взятом стратеМаксвелла из пространства Hnondeg (M ). А в вопросах (Q3) и (Q4) фактически рассматриваются два страта Максвелла, один из которых открыт и примыкает (определение 2.7.9 (В))к другому страту Максвелла, и спрашивается о непрерывной продолжимости (в смысле топологии из §4.1.3) какого-либо инварианта C 0 -сопряженности, определенного на открытомстрате Максвелла, на объединение этих двух стратов.4.2Открытость пространства невырожденных гамильтоновых систем в пространстве всех гамильтоновых систем на поверхностиВ этом параграфе мы докажем открытость пространства Hnondeg (M ) невырожденных гамильтоновых систем в пространстве H(M ) гамильтоновых систем на поверхности M в смысле топологии из §4.1.3, т.е. дадим положительный ответ на вопрос (Q5) из §4.1.5.Напомним и дадим более подробное определение невырожденной гамильтоновой системына поверхности M (см.
(4.11)).Рассмотрим гамильтонову систему v = (ω, F ) ∈ H(M ) на M (см. (4.10)) с морсовскимгамильтонианом F ∈ F(M ) ⊂ C ∞ (M, ∂M ). Множество таких систем открыто и всюду плотнов H(M ), поскольку F(M ) открыто и всюду плотно в C ∞ (M, ∂M ), как хорошо известно.Поэтому далее без ограничения общности мы можем и будем считать, что F ∈ Fnum,fr (M )(см. (4.9)), т.е. вместо пространства F(M ) будем рассматривать его конечнолистное накрытиеFnum,fr (M ).Рассмотрим любое открытое ребро e графа Кронрода-Риба W num функции F (определение2.4.1).
На ребре e рассмотрим естественную параметризациюf |e : e → (cj1 (F ), cj2 (F ))(4.19)и функцию τe = τe (f ) периода замкнутых траекторий системы, отвечающих этому ребру, гдеf = F ◦ πF−1 (см. (2.4) и (2.11)), j1 – один из номеров, приписанных начальной вершине ребраГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ252e, j2 – один из номеров, приписанных его конечной вершине. Заметим, что функция периодаτe = τe (f ) определена на ограниченном интервале (cj1 (F ), cj2 (F )).Определение 4.2.1.
Пусть v = (ω, F ) ∈ H(M ) — (почти невырожденная) гамильтоновасистема на поверхности M (см. (4.10), т.е. F ∈ Fnum,fr (M ) — функция Морса с оснащеннонумерованными критическими точками, а симплектическая структура ω согласована с ориентацией M ). Предположим, что функция периода τe (f ) является морсовской для каждогоребра e, причём, если начало или конец f = c ребра e имеет степень 1, то существует ненулевой предел limf →c τe0 (f ) 6= 0. Тогда гамильтонова система v = (ω, F ) называется невырожденной, см. (4.11).
Пусть Hnondeg (M ) — пространство всех невырожденных гамильтоновыхсистем на M .Пусть M — компактная гладкая ориентированная поверхность (возможно, с краем) иP ⊆ M — ее подповерхность. Следующая теорема дает положительный ответ на вопрос,поставленный А.С. Мищенко в 1999 г.Теорема 4.2.2. Пространство Hnondeg (M ) невырожденных гамильтоновых систем на поверхности M открыто и всюду плотно в пространстве H(M ) всех почти невырожденных гамильтоновых систем на M в смысле любой C r –топологии на H(M ) из §4.1.3, апространство Hnondeg(M ) открыто, где r ≥ 5 (см.
(4.12) и (4.13)). Кроме того, при до0статочно малом возмущении ve = (eω , Fe) любой невырожденной системы v = (ω, F ) ∈H(P, K) ∩ Hnondeg (P ), заданной на атоме (P, K)# , на любом внутреннем (т.е. “новом”, см.f num функция периода τee (fe)§2.5.2, п.(2’)) ребре e соответствующего графа возмущения Wимеет ровно одну критическую точку — точку минимума; на любом “старом” ребре графаf num (т.е. отвечающем некоторому ребру графа W num , см. §2.5.2, п.(2’)) числовозмущения Wкритических точек функции периода не меняется при малом возмущении системы.Нижняя оценка r ≥ 5 неулучшаема, т.е. подпространства Hnondeg (M ) и Hnondeg(M ) не04являются открытыми в H(M ) в смысле C –топологии на H(M ). Кроме того, количествокритических точек “возмущенной” функции периода на любом “старом” ребре, одному изконцов которого отвечает критическая точка локального экстремума невозмущенного гамильтониана, можно сделать на 1 большим, чем у “невозмущенной” функции периода насоответствующем ребре путем сколь угодно малого возмущения ve ∈ Hnondeg (P ) в смыслеC 4 –топологии на H(P ).Доказательство теоремы 4.2.2 дано в §4.2.4, где доказано более сильное утверждение 4.2.12.Из теоремы 4.2.2 получаем, что пространство Hnondeg (M ) открыто и всюду плотно в H(M ).Так как в Hnondeg (M ) траекторная эквивалентность систем равносильна послойной эквивалентности (определение 2.2.4 (C)) их функций Гамильтона, то разбиение пространства F(M )на страты Максвелла — классы топологической послойной эквивалентности (см.
§2.5.2) индуцирует стратификацию в Hnondeg (M ), где каждый страт (тоже называемый стратом Максвелла) состоит из топологически траекторно-эквивалентных систем из Hnondeg (M ).4.2.1Метки Болсинова-Фоменко (Π–инвариант) на ребрах молекулы Фоменко.
Полнота Π–инварианта для простого морсовскогогамильтонианаРассмотрим, как выше, гамильтонову систему v = (ω, F ) ∈ H(M ) с морсовским гамильтонианом F ∈ Fnum,fr (M ).Рассмотрим функцию периода τe = τe (f ) на открытом ребре e ≈ (cj1 (F ), cj2 (F )) графаnumWфункции F (см. определение 4.2.1). Как мы покажем в следующем техническом §4.2.2,функция периода τe (f ) всюду положительна и имеет ненулевые предельные значения (конечные или бесконечные) на концах интервала, более точно:ГЛАВА 4.253ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ(i) если начальная вершина ребра e имеет степень > 1 (т.е.
этой вершине отвечает седловойатом функции F ), то limf →cj1 (F ) τe (f ) = +∞ (см. первое равенство леммы 4.2.6); аналогичноесвойство верно для f → cj2 (F ) и конечной вершины ребра e;(ii) если начальная вершина ребра e имеет степень 1 (т.е. этой вершине отвечает граничнаяокружность поверхности M или минимаксный атом функции F ), то оба предела lim τe (f )иlimf →cj1 (F )τe0 (f )f →cj1 (F )существуют, конечны и непрерывно зависят от системы v (см. первое и второеравенства леммы 4.2.5); аналогичное свойство верно для f → cj2 (F ) и конечной вершиныребра e.В случае п.(ii) мы можем доопределить функцию τe (f ) по непрерывности в начальную(соотв.
конечную) вершину ребра e, тогда продолженная функция периода на ребре (включаяконцы ребра степени 1) будет класса C 1 .Если теперь v ∈ Hnondeg (M ), то функция периода τe (f ) на ребре является морсовской и неимеет критических точек в концах ребра и в некоторых окрестностях концов ребра, поэтомуколичество ее критических точек конечно.Определение 4.2.3. Π–меткой системы v на ребре e графа W num функции Гамильтона Fназовем векторk(e)Πe (v) = (Π1e (v), .
. . , Πk(e)(4.20)e (v)) ∈ R>0 ,являющийся упорядоченным (по возрастанию параметра f вдоль ребра) набором критических значений функции периода τe (f ), включая её конечные предельные значения в конk(e)цах интервала. Более точно, Π1e (v) := limf →cj1 (F ) τe (f ), если этот предел конечен, Πe (v) :=limf →cj2 (F ) τe (f ), если этот предел конечен, а остальные числа Πle (v) имеют вид Πle (v) := τe (fl ),где cj1 (F ) < fl < cj2 (F ). Здесь cj1 (F ) ≤ f1 < · · · < fk(e) ≤ cj2 (F ) — возрастающая последовательность критических точек и концов интервала — области определения функции τe (f ).В результате на каждом ребре e графа W num возникает “метка” Πe (v), являющаяся непустым конечным набором положительных вещественных чисел; длина этого набора k(e) ≥ 1.Пусть E(W num ) — множество ребер графа W num , H(M, W num , k) ⊆ Hnondeg (M ) — пространство невырожденых гамильтоновых систем v = (ω, F ) на M с фиксированными графом W numфункции Гамильтона и набором k : E(W num ) → N длин Π–меток на его ребрах.
ОтображениеΠ = (Πe )e∈E(W num ) : H(M, W num , k) →×k(e)R>0 ,v 7→ (Πe (v))e∈E(W num ) ,e∈E(W num )сопоставляющее любой гамильтоновой системе v ∈ H(M, W num , k) набор ее Π–меток, назовемΠ–инвариантом на пространстве H(M, W num , k).Ясно, что граф W num вместе с метками Π = (Πe )e∈E(W num ) на всех его рёбрах являетсяинвариантом C 0 –сопряжённости для невырожденных гамильтоновых систем на M . То есть,C 0 –сопряжённые системы имеют одинаковые графы W num и одинаковые метки Πe на егорёбрах.Оказывается (см. предложение 4.2.4), что для невырожденных гамильтоновых систем,гамильтониан которых является простой функцией Морса (определение 1.6.6), верно обратное, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
