Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 91
Текст из файла (страница 91)
(2.7) или (2.11)). Функцию Le = Le (f ) = Le;Λ(ev),[m(v)],c(ev) (f ) назовем(Λ, m, c)–аппроксимацией функции периода τe = τe (f ) возмущенной системы на ребре e.ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ265Если атом (P, K)# седловой, то всем вершинам графа возмущения W num сопоставим грубые Λ–метки, а всем его внутренним ребрам — Π–метки, отвечающие возмущенной системеve (см. (4.29) и (4.20)).
А именно: грубая Λ–метка на вершине X графа возмущения W numестьΛX (ev ) := (Λj1 (ev ), . . . , Λjk (ev )),(4.33)#где j1 , . . . , jk — набор номеров вершин исходного атома (P, K) , приписанных данной вершине графа возмущения W num (см. определение 2.4.1). Далее, Π–метку на внутреннем ребреe ∈ Eint (W num ) можно (как мы покажем в утверждении 4.2.12 (в) чуть ниже) определитьравнойΠe (ev ) := min τe ∈ R>0 ,(4.34)где τe — функция периода системы ve на ребре e (указанный минимум достигается в силу (4.24) и следствия 4.2.8 (a, b)), Eint (W num ) — множество внутренних ребер графа W num(определение 2.5.1 (C)).Утверждение 4.2.12 (см.
[145, утверждение 4.1]). Пусть 3 ≤ r ≤ +∞ и (P, K)# — произвольный атом (седловой, минимаксный или тривиальный, см. определение 2.4.3). Пусть(“возмущенная”) система ve ∈ H(P ) ε–близка к (“невозмущенной”) системе v ∈ H(P, K) относительно C r –топологии на пространстве H(P ) (см. §4.1.3, (4.12) и (4.13)), где ε > 0 — достаточно малое вещественное число.
Рассмотрим граф Кронрода-Риба W num возмущеннойфункции Fe (т.е. граф возмущения). Если r ≥ 5 и невозмущенная система v невырождена(т.е. v ∈ Hnondeg (P )), то возмущенная система ve тоже невырождена (т.е. ve ∈ Hnondeg (P )).Более того:(а) Предположим, что r ≥ 3. Если атом (P, K)# седловой, то для любой вершины Xграфа возмущения W num грубая Λ–метка (4.33) O(ε)–близка к своему невозмущенному значению ΛX (v) := (Λj1 (v), .
. . , Λjk (v)). Если атом (P, K)# минимаксный с вершиной xj , тоаналогичные невозмущенное и возмущенное значения Λj (v) и Λj (ev ) в вершине атома O(ε)–bbблизки, а в случае r ≥ 5 также значения Λj (v) и Λj (ev ) (см. лемму 4.2.5) O(ε)–близки, есливозмущение ε–мало (см. (4.12) и (4.13)).(б) Предположим, что r ≥ 3 и атом (P, K)# седловой. Для любого внутреннего ребра eграфа возмущения W num разность τe (f ) − Le (f ) функции периода τe и функции Le на этомребре мала, если выполнено (4.13) и возмущение (4.12) достаточно мало.Существуют δ > 0 и ε > 0 такие, что на любом открытом внешнем ребре графа возмущения W num первая производная τe0 (f ) не имеет нулей при f ∈ [c − δ, c + δ], если возмущениеε–мало, т.е.
удовлетворяет условиям (4.12) и (4.13), где c — критическое значение гамильтониана системы v.(в) Предположим, что r ≥ 4 и атом (P, K)# седловой. Для любого внутреннего ребраe ∈ Eint (W num ) графа возмущения W num функция τe = τe (f ) выпукла на ребре графа W num ,причем ее вторая производная τe00 (f ) отделена от нуля, если возмущение (4.12) достаточномало и удовлетворяет условию (4.13). В частности, на каждом внутреннем ребре e графавозмущения W num имеется ровно одна критическая точка функции τe , и в этой точкефункция τe достигает своего минимума Πe (ev ).(г) Предположим, что r ≥ 3 и атом (P, K)# тривиальный (определение 2.4.3 (D)), т.е.P ≈ [0, 1] × S 1 и невозмущенный гамильтониан F не имеет критических точек на P .Обозначим Su := {u} × S 1 ⊂ P , u ∈ {0, 1}.
Тогда “масштабированная” функция периодаτe((1 − u)Fe(S0 ) + uFe(S1 )), u ∈ [0, 1], замкнутых траекторий системы ve близка к “масштабированной” функции периода τ ((1 − u)F (S0 ) + uF (S1 )), u ∈ [0, 1], замкнутых траекторийсистемы v вместе со всеми производными порядка ≤ r − 3 на отрезке [0, 1].(д) Предположим, что r ≥ 5 и атом (P, K)# минимаксный с вершиной xj , являющейся критической точкой минимума (соотв. максимума) невозмущенного гамильтонианаF . Функция периода τ (f ) замкнутых траекторий системы v вблизи точки xj , доопределенная в левом (соотв. правом) конце промежутка (F (xj ), F (xj ) + δ] (соотв. [F (xj ) −ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ266δ, F (xj ))) значением τ (F (xj )) := πΛj (v), является C 1 –гладкой на отрезке [F (xj ), F (∂P )]b j (v) (соотв.
τ 0 (F (xj )) = − π Λb (v)) (см. п.(а) или(соотв. [F (∂P ), F (xj )]) и τ 0 (F (xj )) = π4 Λ4 jлемму 4.2.5).Аналогичная (доопределенная по непрерывности при u = 0) “масштабированная” функция периода τe((1−u)Fe(exj )+uFe(∂P )) замкнутых траекторий возмущенной системы ve близка вместе со своей производной к “масштабированной” функции периода τ ((1 − u)F (xj ) +uF (∂P )) замкнутых траекторий системы v на отрезке [0, 1].Подчеркнем, что в пп.(а)—(д) утверждения 4.2.12 системы v, ve не предполагаются невырожденными.Доказательство. В данном доказательстве все морсовские локальные координаты (x, y) (втом числе координатные кресты) предполагаются C ∞ –регулярными, а не только непрерывными (ср. определение 4.2.7 (a, b)).
Кроме того, допуская некоторую вольность изложения, вслучае седлового атома мы предполагаем (для наглядности), что эти локальные координаты(т.е. кресты) являются вложениями (а не только погружениями), и называем крестами несами погружения, а их образы (ср. определение 4.2.7 (a, b)).Пусть для определенности атом седловой, и пусть Uj — регулярный (например, хороший)координатный крест точки xj для невозмущенной системы v (см. определение 4.2.7 (a, c)).
Внем введены регулярные координаты x, y, в которых F = c + xy, ω = ω(x, y)dx ∧ dy. Пустьε > 0 — величина возмущения системы по C 3 –норме, см. (4.12) и (4.13). Из доказательства леммы Морса (см. [104], или доказательство леммы 2.5.5, или (3.11)–(3.16) и следствие3.2.17) следует, что (при r ≥ 3) аналогичные координаты (ex, ye) для любой возмущеннойrr+1eфункции F , ε–близкой к F по C –норме и ограниченной по C –норме, получаются из (x, y)применением диффеоморфизма P → P , O(ε)–близкого к тождественному по C r−2 –норме иограниченного по C r−1 –норме. Поэтому выражение возмущенной симплектической структуры ωe , ε–близкой к ω по C r−3 –норме и ограниченной по C r−2 –норме, через координаты (ex, ye)тоже будет ограниченным по C r−2 –норме и O(ε)–близким по C r−3 –норме к выражению ωчерез (x, y).ej регулярного креста Uj (при указанном диффеоморНиже мы будем использовать образ Uej , и будем называть его “возмущеннымфизме) вместе с регулярными координатами xe, ye на Uкрестом” (хотя он не обязан являться крестом для возмущенной системы в смысле определения 4.2.7 (b)).(а) Пусть атом седловой.
По лемме 4.2.6 (a) значение Λj (v) равно Λj (v) = ω(0, 0). Поэтому оно непрерывно, т.е. O(ε)–мало изменяется при ε–малых по C 3 –норме возмущенияхгамильтониана и ε–малых по C 0 –норме возмущениях симплектической структуры (т.е. приr ≥ 3). В случае минимаксного атома непрерывность аналогичного значения Λj (v) при r ≥ 3b j (v) при r ≥ 5 будет доказана в п.(д)доказывается аналогично, а непрерывность значения Λниже.(б) Докажем первое утверждение п.(б).
Второе утверждение докажем в п.(в) чуть ниже.Напомним, что 1–коцепь m(v) ∈ C 1 (K; R) графа K определялась в (4.27) так, что ее значение на ребре Ki графа K есть время движения в силу системы v по “ленточке” — участкуэтого ребра, остающемуся после выкидывания из поверхности P всех “крестов” Uj (т.е. морсовских координатных окрестностей вершин xj графа K, обладающих специальным свойством, см. определение 4.2.7 (b)).
Определим аналогичную 1–коцепь m(ev , f ) (соотв. m(v, f ))графа K: ее значение на ребре Ki графа K есть время движения в силу системы ve (соотв. v)по “возмущенной ленточке” (соотв. невозмущенной ленточке) — участку траектории {Fe = f }ej(соотв. {F = f }) в окрестности ребра Ki , заключенному между “возмущенными крестами” Uej 0 , см. начало доказательства (соотв. невозмущенными крестами Uj и Uj 0 ), отвечающимииUначалу xj и концу xj 0 этого ребра.ГЛАВА 4.267ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМej O(ε)–близки к Uj (см. начало доказательства), то дляТак как “возмущенные кресты” Uлюбого внутреннего ребра e графа Кронрода-Риба W имеемhm(ev , f ), Zi = hm(v), Zi + O(ε),где Z = Ze — цикл графа K, отвечающий рассматриваемому внутреннему ребру, f ∈ (cj1 , cj2 )— параметр на ребре, cj := cj (ev ) = Fe(exj ).
То есть, слагаемое hm(v), Zi в сумме Le (f ) совпадает с точностью до величины O(ε) с временем движения hm(ev , f ), Zi в силу системы ve поучасткам траектории γe (f ), остающимся после выкидывания из атома всех крестов Uj .Рассмотрим теперь время движения Tej (f ) по участку траектории γe (f ), попавшему в “возej . Как будет показано чуть ниже, это время равномущенный крест” U√(4.35)Tej (f ) = −Λj (ev ) ln |f − cj | + O( ε).PДругими словами, каждое слагаемое в сумме j , участвующей в Le (f ), равно (с точностью√до величины O( ε)) времени Tej (f ) движения по участку траектории γe (f ), попавшему вej .“возмущенный крест” UВ результате суммирования мы получаем, что время τe (f ) движения по всей траекторииγe (f ) в силу возмущенной системы ve равноτe (f ) = hm(ev , f ), Zi +nX√κj (e)Tej (f ) = Le (f ) + O( ε).(4.36)j=1PВ сумме j в (4.36), допуская некоторую вольность, мы обозначили κj (e) ∈ {0, 1, 2} слагаемых одним и тем же символом Tej (f ).
В случае κj (e) = 2 эти слагаемые отвечают разнымej и, вообще говоря, различны.координатным четвертям “возмущенного креста” UОсталось доказать (4.35), т.е. что функция Tej (f ) + Λj (ev ) ln |f − cj | в “возмущенном кресте”√eUj имеет порядок O( ε) при f ∈ (cj1 , cj2 ) и ε–малом возмущении. По построению (см. началоej . Согласно лемме 4.2.6доказательства леммы) имеем Fe = xeye + cj в “возмущенном кресте” U(a), с учетом |f − cj | = O(ε), имеем√ωxe| + max |eωye|)),Tej (f ) = −Λj (ev ) ln |f − cj | + ea + O( ε(max |eгдеZ h2ωe (ex, 0) − ωe (0, 0)ωe (0, ye) − ωe (0, 0)ea = ln(h1 h2 ) +dex+deyxeye00(здесь мы считаем, не ограничивая общности, что участок траектории γe (f ), попавший вej , лежит в положительной координатной четверти 0 ≤ x“возмущенный крест” Ue ≤ h1 , 0 ≤ye ≤ h2 ).
Так как r ≥ 3, то max |eω − ω| = O(ε),max|eω|+max|eω|=O(1),ипоопределениюxeye√креста a = 0, поэтому |ea| = |ea − a| = O( ε) (дляполученияпоследней оценки отрезок√√интегрирования [0, hi ] разбивается на подотрезки [0, ε] и [ ε, hi ], i = 1, 2). Отсюда получаемтребуемую оценку (4.35).(в) Пусть Ki — это i–ое ребро графа K. Согласно началу доказательства, любая дуга границы любой “возмущенной ленточки” O(ε)–близка к соответствующей дуге границы“невозмущенной ленточки” по C r−2 –норме (и ограничена по C r−1 –норме) при условиях (4.12)и (4.13). Отсюда нетрудно выводится, что функция hm(ev , f ), Ki i (равная времени движенияпо i–ой “возмущенной ленточке” в силу системы ve) O(ε)–близка к невозмущенной функцииhm(v, f ), Ki i по C r−2 –норме (и ограничена по C r−1 –норме) при r ≥ 3.2nPОбозначим через b максимум функции|hm00 (v, f ), Ki i| на отрезке f ∈ [min(cj ), max(cj )].Тогда при r ≥ 4Zh1i=1|hm00 (ev , f ), Zi| ≤ b + O(ε).jjГЛАВА 4.268ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМВозьмем столь малое возмущение ε, при котором правая часть последнего неравенства меньше, чем 2b.Из леммы 4.2.6 (c) следует, что при r ≥ 4, f ∈ [mini (ci ), maxi (ci )] и f 6= cj в каждомej выполнено“возмущенном кресте” UTej00 (f ) =Λj (ev)Λj (ev ) + O(ε)O(max |eωxexe| + max |eωxeye| + max |eωyeye|)=+,2(f − cj )|f − cj |(f − cj )2так как функция ωe (ex, ye) ограничена по C r−2 –норме (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
