Главная » Просмотр файлов » Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей

Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 88

Файл №1097915 Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей) 88 страницаТопология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915) страница 882019-03-13СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 88)

граф W num вместе с метками Πe на его рёбрах является полным инвариантом C 0 –сопряжённости невырожденных гамильтоновых систем.Пусть, как в (4.9), Fnum,fr = Fnum,fr (M ) — пространство всех функций Морса с оснащённонумерованными критическими точками на компактной ориентированной поверхности M .Рассмотрим подпространствоnum,frFsimple⊂ Fnum,frпростых функций Морса (определение 1.6.6), т.е.

таких функций F ∈ Fnum,fr , что каждыйособый слой слоения p : M → W , определяемого функцией F , содержит ровно одну критическую точку этой функции. Рассмотрим ориентированный граф Кронрода-Риба W numГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ254функции F , вместе с нумерацией его вершин, отвечающей нумерации критических точекфункции F . Кроме того, определим оснащения вершин степени 3 графа W num , отвечающиеоснащениям (определение 2.2.2 (В)) седловых точек функции F ∈ Fnum,fr : оснащение такойвершины Xi графа W num — это входящее или исходящее из вершины Xi ребро e ⊂ W , такое,что граница ∂(πF−1 (e)) соответствующего цилиндра πF−1 (e) в M (см. (2.4)) не содержит ребраграфа πF−1 (Xi ), служащего оснащением вершины xi графа πF−1 (Xi ), отвечающим оснащению(определение 2.2.2 (В)) седловой критической точки xi функции F ∈ Fnum,fr (см. определение2.4.3 (iv)).

Ясно, что если вершина имеет два входящих и одно исходящее ребро, то её оснащение — это одно из входящих рёбер; в противном случае — это одно из исходящих рёбер.Поэтому оснащение вершины графа W num можно интерпретировать как выбор циклическогопорядка на множестве входящих и исходящих из этой вершины рёбер.Следующее предложение следует из более общих фактов [9].num,frПредложение 4.2.4 (А.В. Болсинов, А.Т. Фоменко [9]). Пусть F1 , F2 ∈ Fsimple(M ) — простые функции Морса с оснащённо-нумерованными критическими точками на ориентиро(M ) — гамильтоновы системы с функциями гамильванной поверхности M , v1 , v2 ∈ Hnondeg0тона F1 , F2 . Тогда:1) Функции F1 , F2 послойно эквивалентны в том и только том случае, когда существуетсохраняющий ориентацию изоморфизм графов Кронрода-Риба W1num , W2num этих функций,переводящий нумерацию и оснащения вершин графа W1num в нумерацию и оснащения вершинграфа W2num .2) Гамильтоновы системы v1 , v2 C 0 –сопряжены в том и только том случае, когда существует сохраняющий ориентацию изоморфизм W1num → W2num графов Кронрода-Риба, переводящий нумерацию и оснащения вершин графа W1num в нумерацию и оснащения вершинграфа W2num , а Π–метки Π1 системы v1 на рёбрах графа W1num — в Π–метки Πnumсистемы2v2 на рёбрах графа W2 .4.2.2Асимптотическое поведение функции периода вблизи морсовских критических точек гамильтонианаВ этом параграфе мы докажем две технические леммы (близкие факты доказаны в [66, 9]).Изучим сначала поведение функции периода вблизи локально минимального (или локально максимального) значения функции Гамильтона, т.е.

вблизи ее минимаксного атома.Лемма 4.2.5. Пусть ω = ω(x, y) — гладкая положительная функция, заданная в круге x2 +y 2 ≤ h2 в R2 , где x, y — стандартные координаты в R2 , h > 0. Рассмотрим гамильтоновусистему с гамильтонианом x2 + y 2 и симплектической структурой ω(x, y)dx ∧ dy. ПустьT (f ) — время движения (период) в силу этой системы по линии уровня {x2 +y 2 = f }. Тогдапри 0 < f ≤ h2 2 2 √3X∂ ω ∂ ω ∂ 3ω 3!πfπ0b ≤ cmax 2 + max 2 f, T (f ) − Λmax i 3−i ,|T (f ) − πΛ| ≤4∂x∂y4i!(3−i)!∂x ∂yi=0b=где Λ = ω(0, 0), Λ∂ 2 ω(0,0)∂x2+∂2 ω(0,0)∂y 2,c=√2 2−13и максимумы берутся по кругу {x2 + y 2 ≤ f }.Доказательство. Шаг 1.

Нам понадобятся значения следующих собственных интегралов:Z √f /2Z √f /2dxπx2π−2I1 := √ p= ,I2 := √ pdx =f,2224f −xf −x− f /2− f /2Z √f /2Z √f /2 p√ pπ+2|x|dxI3 := √f − x2 dx =f,I4 := √ p= (2 − 2) f ,4f − x2− f /2− f /2ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ255√√Z f /2Z f /2p√dx2|x3 |dx,I:=I5 := √==(32−4)f.6√2 3/22 3/2f− f /2 (f − x )− f /2 (f − x )Далее частную производную любой функции g = g(x, y) по переменной x (соотв. y) будемобозначать через gx (x, y) (соотв.

gy (x, y)), положимnX ∂ ng n!(n)max i n−i .kg k :=i!(n−i)!∂x ∂yi=0ГЛАВА 4.Условимся также обозначать через θi = θi (f ) вещественнозначную функцию на полуинтервале (0, h2 ] со свойством |θi | ≤ 1, i = 1, . . . , 24.Шаг 2. Рассматриваемая гамильтонова система имеет видydx=−,dt2ω(x, y)dyx=.dt2ω(x, y)Обозначим через γ+ (соотв. γ− ) часть линии уровня {x2 + y 2 = f }, лежащую в секторе{|x| ≤ y} (соотв. {|x| ≤ −y}). Возьмем в качестве параметра на этом участке координату x.Тогда ограничение гамильтоновой системы на участок γ+ (соотв. γ− ) имеет видppf − x2dxp=∓,|x| ≤ f /2.dt2ω(x, ± f − x2 )Поэтому время T+ (f ) (соотв. T− (f )) движения в силу системы по участку γ+ (соотв.

γ− )равноpZ √f /2Z √f /2ω(x, ± f − x2 )dxdxp= √T± (f ) = ∓ √.2 f − x2− f /2 dx/dt− f /2Оценим этот интеграл с помощью разложения числителя подынтегральной функции в суммуppω(x, ± f − x2 ) = ω(0, 0) + (ω(x, 0) − ω(0, 0)) + (ω(x, ± f − x2 ) − ω(x, 0)).Интегралы трех слагаемых этой суммы суть√Zf /2πω(0, 0)dxΛp= I1 = Λ,242 f − x2√−√Zf /2−f /2√Zf /2ω(x, 0) − ω(0, 0)pdx =2 f − x2√θ1ω(x, 0) − ω(0, 0) − xωx (0, 0)pdx = max |ωxx |I2 ,42 f − x2√− f /2√ − f /2√f /2pppZZf /2ω(x, ± f − x2 ) − ω(x, 0)ω(x, ± f − x2 ) − ω(x, 0) ∓ ωy (x, 0) f − x2b1ppdx =dx±22 f − x22 f − x2√√f /2−f /2θ2,3b1π+2b1=max |ωyy |I3 ±= θ2,3max |ωyy |f ±42162при подходящих значениях θi = θi (f ) ∈ R, −1 ≤ θi ≤ 1, где θ2,3 := θ2 для γ+ , θ2,3 := θ3 дляγ− ,√Zf /2b1 :=ωy (x, 0)dx.√−Значит,πT+ (f ) + T− (f ) = Λ + θ42f /2π−2π+2max |ωxx | +max |ωyy | f.88ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ256Аналогично для двух других участков окружности {x2 + y 2 = f } получаемππ+2π−2T (f ) − T+ (f ) − T− (f ) = Λ + θ5max |ωxx | +max |ωyy | f.288Отсюда получаем первую требуемую оценку:πT (f ) = T+ (f ) + T− (f ) + (T (f ) − T+ (f ) − T− (f )) = πΛ + θ6 (max |ωxx | + max |ωyy |) f.4Шаг 3.

Дифференцируя функцию T+ (f ) (соотв. T− (f )) по f , получим сумму трех слагаемых:pppppZ √f /2ω( f /2, ± f /2) + ω(− f /2, ± f /2)ω(x, ± f − x2 )dxd0pT± (f ) ==df −√f /24f2 f − x2√√ppZ f /2Z f /2ωy (x, ± f − x2 )dxω(x, ± f − x2 )dx± √− √=: S1± + S2± + S3± .223/24(f − x )4(f − x )− f /2− f /2Для первого слагаемого воспользуемся тейлоровским разложением гладкой функции с остаточным членом в форме Лагранжа:ω(x, y) − ω(0, 0) = (ω(x, y) − ω(0, y)) + (ω(0, y) − ω(0, 0))|x|3y2|y|3x2max |ωxxx |) + (yωy (0, 0) + ωyy (0, 0) + θ8max |ωyyy |)= (xωx (0, y) + ωxx (0, y) + θ7262622xy= x(ωx (0, 0) + yωxy (0, 0) + θ9 max |ωxyy |) + (ωxx (0, 0) + θ10 |y| max |ωxxy |)22|x|3y2y3+θ7max |ωxxx | + yωy (0, 0) + ωyy (0, 0) + θ8 max |ωyyy |626 2x2y= xωx (0, 0) + yωy (0, 0) + ωxx (0, 0) + xyωxy (0, 0) + ωyy (0, 0) 322 3|x2 y||xy 2 ||y ||x |max |ωxxx | +max |ωxxy | +max |ωxyy | +max |ωyyy | ,+θ116226откудаq qq qqqqqfffffffω( 2 , 2 ) + ω(− 2 , 2 ) + ω( 2 , − 2 ) + ω(− 2 , − f2 )+−S1 + S1 =4fpΛ 1θ12= + (ωxx (0, 0) + ωyy (0, 0)) + √ kω (3) k f .f412 2Обозначим√Zf /2ω (x, 0)pyyb3 :=dx = I1 ωyy (0, 0) + θ13 I4 max |ωxyy | =2f−x√−f /2=Тогда второе слагаемоеS2±√Zf /2= ±b2 ±−√f /2√Zf /2=±√−ωy (x, ±p√πωyy (0, 0) + θ13 (2 − 2) max |ωxyy | f .

(4.21)2pωy (x, ± f − x2 )dx4(f − x2 )f /2ppf − x2 ) − ωy (x, 0) ∓ f − x2 ωyy (x, 0)1dx + b324(f − x )4ГЛАВА 4.где θ14,15ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМpb3θ14,15= ±b2 + √ max |ωyyy | f +44 2+−:= θ14 для S2 , θ14,15 := θ15 для S2 ,√Zf /2ωy (x, 0)dxb2 :=,2)4(f−x√−откудаS2+ + S2− =Наконец, третье слагаемоеS3±√Zf /2f /2pb31+ θ16 √ max |ωyyy | f .22 2√Zf /2=−−√pω(x, ± f − x2 )dx4(f − x2 )3/2f /22ω(x, 0) − ω(0, 0) − xωx (0, 0) − x2 ωxx (0, 0)I1 − I5 fI5dx +ωxx (0, 0)= − ω(0, 0) −23/244(f−x)8√− f /2√pp2Zf /2ω(x, ± f − x2 ) − ω(x, 0) ∓ f − x2 ωy (x, 0) − f −xωyy (x, 0)b32−dx ∓ b2 −23/24(f − x )8√− f /2pb3Λθ174−πθ18=−+max |ωxxx |I6 −ωxx (0, 0) + √ max |ωyyy | f ∓ b2 −2f24 √16812 2pp3−2 24−πθ18b3Λ√ max |ωxxx | f −+ θ17ωxx (0, 0) + √ max |ωyyy | f ∓ b2 − ,=−2f16812 212 2откуда√pp3−2 2θ18b3Λ 4−π+−ωxx (0, 0) + θ17 √max |ωxxx | f + √ max |ωyyy | f − .S3 + S3 = − −f846 26 2Таким образом,T+0 (f ) + T−0 (f ) = (S1+ + S1− ) + (S2+ + S2− ) + (S3+ + S3− )pπ+2θ12π−2ωxx (0, 0) +ωyy (0, 0) + √ kω (3) k f=8!12 2 √√ 8√p2−123−2 2+ θ13 √ max |ωxyy | + θ18max |ωyyy | + θ17 √max |ωxxx |f.32 26 2Аналогично для двух других участков окружности {x2 + y 2 = f } получаемpπ+2π−2θ12T 0 (f ) − T+0 (f ) − T−0 (f ) =ωxx (0, 0) +ωyy (0, 0) + √ kω (3) k f8812 2!√√√p2−123−2 2+ θ19 √ max |ωxxy | + θ20max |ωxxx | + θ21 √max |ωyyy |f.32 26 2Отсюда получаем вторую требуемую оценку:pθ12T 0 (f ) = T+0 (f ) + T−0 (f ) + (T 0 (f ) − T+0 (f ) − T−0 (f )) + √ kω (3) k f6 2√√pp7−2 22−1+θ22 √ (max |ωxxx | + max |ωyyy |) f + θ23 √ (max |ωxxy | + max |ωxyy |) f6 22√ 2π2 2 − 1 (3) p= (ωxx (0, 0) + ωyy (0, 0)) + θ24kω k f .43Лемма 4.2.5 доказана.257ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ258Теперь изучим поведение функции периода вблизи седлового уровня (т.е.

Характеристики

Список файлов диссертации

Свежие статьи
Популярно сейчас
Почему делать на заказ в разы дороже, чем купить готовую учебную работу на СтудИзбе? Наши учебные работы продаются каждый год, тогда как большинство заказов выполняются с нуля. Найдите подходящий учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее