Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 88
Текст из файла (страница 88)
граф W num вместе с метками Πe на его рёбрах является полным инвариантом C 0 –сопряжённости невырожденных гамильтоновых систем.Пусть, как в (4.9), Fnum,fr = Fnum,fr (M ) — пространство всех функций Морса с оснащённонумерованными критическими точками на компактной ориентированной поверхности M .Рассмотрим подпространствоnum,frFsimple⊂ Fnum,frпростых функций Морса (определение 1.6.6), т.е.
таких функций F ∈ Fnum,fr , что каждыйособый слой слоения p : M → W , определяемого функцией F , содержит ровно одну критическую точку этой функции. Рассмотрим ориентированный граф Кронрода-Риба W numГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ254функции F , вместе с нумерацией его вершин, отвечающей нумерации критических точекфункции F . Кроме того, определим оснащения вершин степени 3 графа W num , отвечающиеоснащениям (определение 2.2.2 (В)) седловых точек функции F ∈ Fnum,fr : оснащение такойвершины Xi графа W num — это входящее или исходящее из вершины Xi ребро e ⊂ W , такое,что граница ∂(πF−1 (e)) соответствующего цилиндра πF−1 (e) в M (см. (2.4)) не содержит ребраграфа πF−1 (Xi ), служащего оснащением вершины xi графа πF−1 (Xi ), отвечающим оснащению(определение 2.2.2 (В)) седловой критической точки xi функции F ∈ Fnum,fr (см. определение2.4.3 (iv)).
Ясно, что если вершина имеет два входящих и одно исходящее ребро, то её оснащение — это одно из входящих рёбер; в противном случае — это одно из исходящих рёбер.Поэтому оснащение вершины графа W num можно интерпретировать как выбор циклическогопорядка на множестве входящих и исходящих из этой вершины рёбер.Следующее предложение следует из более общих фактов [9].num,frПредложение 4.2.4 (А.В. Болсинов, А.Т. Фоменко [9]). Пусть F1 , F2 ∈ Fsimple(M ) — простые функции Морса с оснащённо-нумерованными критическими точками на ориентиро(M ) — гамильтоновы системы с функциями гамильванной поверхности M , v1 , v2 ∈ Hnondeg0тона F1 , F2 . Тогда:1) Функции F1 , F2 послойно эквивалентны в том и только том случае, когда существуетсохраняющий ориентацию изоморфизм графов Кронрода-Риба W1num , W2num этих функций,переводящий нумерацию и оснащения вершин графа W1num в нумерацию и оснащения вершинграфа W2num .2) Гамильтоновы системы v1 , v2 C 0 –сопряжены в том и только том случае, когда существует сохраняющий ориентацию изоморфизм W1num → W2num графов Кронрода-Риба, переводящий нумерацию и оснащения вершин графа W1num в нумерацию и оснащения вершинграфа W2num , а Π–метки Π1 системы v1 на рёбрах графа W1num — в Π–метки Πnumсистемы2v2 на рёбрах графа W2 .4.2.2Асимптотическое поведение функции периода вблизи морсовских критических точек гамильтонианаВ этом параграфе мы докажем две технические леммы (близкие факты доказаны в [66, 9]).Изучим сначала поведение функции периода вблизи локально минимального (или локально максимального) значения функции Гамильтона, т.е.
вблизи ее минимаксного атома.Лемма 4.2.5. Пусть ω = ω(x, y) — гладкая положительная функция, заданная в круге x2 +y 2 ≤ h2 в R2 , где x, y — стандартные координаты в R2 , h > 0. Рассмотрим гамильтоновусистему с гамильтонианом x2 + y 2 и симплектической структурой ω(x, y)dx ∧ dy. ПустьT (f ) — время движения (период) в силу этой системы по линии уровня {x2 +y 2 = f }. Тогдапри 0 < f ≤ h2 2 2 √3X∂ ω ∂ ω ∂ 3ω 3!πfπ0b ≤ cmax 2 + max 2 f, T (f ) − Λmax i 3−i ,|T (f ) − πΛ| ≤4∂x∂y4i!(3−i)!∂x ∂yi=0b=где Λ = ω(0, 0), Λ∂ 2 ω(0,0)∂x2+∂2 ω(0,0)∂y 2,c=√2 2−13и максимумы берутся по кругу {x2 + y 2 ≤ f }.Доказательство. Шаг 1.
Нам понадобятся значения следующих собственных интегралов:Z √f /2Z √f /2dxπx2π−2I1 := √ p= ,I2 := √ pdx =f,2224f −xf −x− f /2− f /2Z √f /2Z √f /2 p√ pπ+2|x|dxI3 := √f − x2 dx =f,I4 := √ p= (2 − 2) f ,4f − x2− f /2− f /2ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ255√√Z f /2Z f /2p√dx2|x3 |dx,I:=I5 := √==(32−4)f.6√2 3/22 3/2f− f /2 (f − x )− f /2 (f − x )Далее частную производную любой функции g = g(x, y) по переменной x (соотв. y) будемобозначать через gx (x, y) (соотв.
gy (x, y)), положимnX ∂ ng n!(n)max i n−i .kg k :=i!(n−i)!∂x ∂yi=0ГЛАВА 4.Условимся также обозначать через θi = θi (f ) вещественнозначную функцию на полуинтервале (0, h2 ] со свойством |θi | ≤ 1, i = 1, . . . , 24.Шаг 2. Рассматриваемая гамильтонова система имеет видydx=−,dt2ω(x, y)dyx=.dt2ω(x, y)Обозначим через γ+ (соотв. γ− ) часть линии уровня {x2 + y 2 = f }, лежащую в секторе{|x| ≤ y} (соотв. {|x| ≤ −y}). Возьмем в качестве параметра на этом участке координату x.Тогда ограничение гамильтоновой системы на участок γ+ (соотв. γ− ) имеет видppf − x2dxp=∓,|x| ≤ f /2.dt2ω(x, ± f − x2 )Поэтому время T+ (f ) (соотв. T− (f )) движения в силу системы по участку γ+ (соотв.
γ− )равноpZ √f /2Z √f /2ω(x, ± f − x2 )dxdxp= √T± (f ) = ∓ √.2 f − x2− f /2 dx/dt− f /2Оценим этот интеграл с помощью разложения числителя подынтегральной функции в суммуppω(x, ± f − x2 ) = ω(0, 0) + (ω(x, 0) − ω(0, 0)) + (ω(x, ± f − x2 ) − ω(x, 0)).Интегралы трех слагаемых этой суммы суть√Zf /2πω(0, 0)dxΛp= I1 = Λ,242 f − x2√−√Zf /2−f /2√Zf /2ω(x, 0) − ω(0, 0)pdx =2 f − x2√θ1ω(x, 0) − ω(0, 0) − xωx (0, 0)pdx = max |ωxx |I2 ,42 f − x2√− f /2√ − f /2√f /2pppZZf /2ω(x, ± f − x2 ) − ω(x, 0)ω(x, ± f − x2 ) − ω(x, 0) ∓ ωy (x, 0) f − x2b1ppdx =dx±22 f − x22 f − x2√√f /2−f /2θ2,3b1π+2b1=max |ωyy |I3 ±= θ2,3max |ωyy |f ±42162при подходящих значениях θi = θi (f ) ∈ R, −1 ≤ θi ≤ 1, где θ2,3 := θ2 для γ+ , θ2,3 := θ3 дляγ− ,√Zf /2b1 :=ωy (x, 0)dx.√−Значит,πT+ (f ) + T− (f ) = Λ + θ42f /2π−2π+2max |ωxx | +max |ωyy | f.88ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ256Аналогично для двух других участков окружности {x2 + y 2 = f } получаемππ+2π−2T (f ) − T+ (f ) − T− (f ) = Λ + θ5max |ωxx | +max |ωyy | f.288Отсюда получаем первую требуемую оценку:πT (f ) = T+ (f ) + T− (f ) + (T (f ) − T+ (f ) − T− (f )) = πΛ + θ6 (max |ωxx | + max |ωyy |) f.4Шаг 3.
Дифференцируя функцию T+ (f ) (соотв. T− (f )) по f , получим сумму трех слагаемых:pppppZ √f /2ω( f /2, ± f /2) + ω(− f /2, ± f /2)ω(x, ± f − x2 )dxd0pT± (f ) ==df −√f /24f2 f − x2√√ppZ f /2Z f /2ωy (x, ± f − x2 )dxω(x, ± f − x2 )dx± √− √=: S1± + S2± + S3± .223/24(f − x )4(f − x )− f /2− f /2Для первого слагаемого воспользуемся тейлоровским разложением гладкой функции с остаточным членом в форме Лагранжа:ω(x, y) − ω(0, 0) = (ω(x, y) − ω(0, y)) + (ω(0, y) − ω(0, 0))|x|3y2|y|3x2max |ωxxx |) + (yωy (0, 0) + ωyy (0, 0) + θ8max |ωyyy |)= (xωx (0, y) + ωxx (0, y) + θ7262622xy= x(ωx (0, 0) + yωxy (0, 0) + θ9 max |ωxyy |) + (ωxx (0, 0) + θ10 |y| max |ωxxy |)22|x|3y2y3+θ7max |ωxxx | + yωy (0, 0) + ωyy (0, 0) + θ8 max |ωyyy |626 2x2y= xωx (0, 0) + yωy (0, 0) + ωxx (0, 0) + xyωxy (0, 0) + ωyy (0, 0) 322 3|x2 y||xy 2 ||y ||x |max |ωxxx | +max |ωxxy | +max |ωxyy | +max |ωyyy | ,+θ116226откудаq qq qqqqqfffffffω( 2 , 2 ) + ω(− 2 , 2 ) + ω( 2 , − 2 ) + ω(− 2 , − f2 )+−S1 + S1 =4fpΛ 1θ12= + (ωxx (0, 0) + ωyy (0, 0)) + √ kω (3) k f .f412 2Обозначим√Zf /2ω (x, 0)pyyb3 :=dx = I1 ωyy (0, 0) + θ13 I4 max |ωxyy | =2f−x√−f /2=Тогда второе слагаемоеS2±√Zf /2= ±b2 ±−√f /2√Zf /2=±√−ωy (x, ±p√πωyy (0, 0) + θ13 (2 − 2) max |ωxyy | f .
(4.21)2pωy (x, ± f − x2 )dx4(f − x2 )f /2ppf − x2 ) − ωy (x, 0) ∓ f − x2 ωyy (x, 0)1dx + b324(f − x )4ГЛАВА 4.где θ14,15ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМpb3θ14,15= ±b2 + √ max |ωyyy | f +44 2+−:= θ14 для S2 , θ14,15 := θ15 для S2 ,√Zf /2ωy (x, 0)dxb2 :=,2)4(f−x√−откудаS2+ + S2− =Наконец, третье слагаемоеS3±√Zf /2f /2pb31+ θ16 √ max |ωyyy | f .22 2√Zf /2=−−√pω(x, ± f − x2 )dx4(f − x2 )3/2f /22ω(x, 0) − ω(0, 0) − xωx (0, 0) − x2 ωxx (0, 0)I1 − I5 fI5dx +ωxx (0, 0)= − ω(0, 0) −23/244(f−x)8√− f /2√pp2Zf /2ω(x, ± f − x2 ) − ω(x, 0) ∓ f − x2 ωy (x, 0) − f −xωyy (x, 0)b32−dx ∓ b2 −23/24(f − x )8√− f /2pb3Λθ174−πθ18=−+max |ωxxx |I6 −ωxx (0, 0) + √ max |ωyyy | f ∓ b2 −2f24 √16812 2pp3−2 24−πθ18b3Λ√ max |ωxxx | f −+ θ17ωxx (0, 0) + √ max |ωyyy | f ∓ b2 − ,=−2f16812 212 2откуда√pp3−2 2θ18b3Λ 4−π+−ωxx (0, 0) + θ17 √max |ωxxx | f + √ max |ωyyy | f − .S3 + S3 = − −f846 26 2Таким образом,T+0 (f ) + T−0 (f ) = (S1+ + S1− ) + (S2+ + S2− ) + (S3+ + S3− )pπ+2θ12π−2ωxx (0, 0) +ωyy (0, 0) + √ kω (3) k f=8!12 2 √√ 8√p2−123−2 2+ θ13 √ max |ωxyy | + θ18max |ωyyy | + θ17 √max |ωxxx |f.32 26 2Аналогично для двух других участков окружности {x2 + y 2 = f } получаемpπ+2π−2θ12T 0 (f ) − T+0 (f ) − T−0 (f ) =ωxx (0, 0) +ωyy (0, 0) + √ kω (3) k f8812 2!√√√p2−123−2 2+ θ19 √ max |ωxxy | + θ20max |ωxxx | + θ21 √max |ωyyy |f.32 26 2Отсюда получаем вторую требуемую оценку:pθ12T 0 (f ) = T+0 (f ) + T−0 (f ) + (T 0 (f ) − T+0 (f ) − T−0 (f )) + √ kω (3) k f6 2√√pp7−2 22−1+θ22 √ (max |ωxxx | + max |ωyyy |) f + θ23 √ (max |ωxxy | + max |ωxyy |) f6 22√ 2π2 2 − 1 (3) p= (ωxx (0, 0) + ωyy (0, 0)) + θ24kω k f .43Лемма 4.2.5 доказана.257ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ258Теперь изучим поведение функции периода вблизи седлового уровня (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
