Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 89
Текст из файла (страница 89)
вблизи седловогоатома) функции Гамильтона. Следующая лемма аналогична результатам [66] и [9, лемма 8.2],однако не вытекает из них.Лемма 4.2.6 ([145]). Пусть ω = ω(x, y) — гладкая положительная функция, заданная впрямоугольнике 0 ≤ x ≤ h1 , 0 ≤ y ≤ h2 в R2 , где x, y — стандартные координаты вR2 , hi > 0. Рассмотрим гамильтонову систему с гамильтонианом xy и симплектическойструктурой ω(x, y)dx∧dy.
Пусть T (f ) — время движения в силу этой системы по участкулинии уровня {xy = f }, лежащему в прямоугольнике {0 ≤ x ≤ h1 , 0 ≤ y ≤ h2 }. Тогда при0 < f ≤ min(h21 , h22 )(a)(b)|T (f ) + Λ ln f − a| ≤ 2(max ||f T 0 (f ) + Λ| ≤ 2 max(|∂ω p∂ω| + max | |) f ,∂x∂y∂ω∂ω p| + | |) f ,∂x∂y∂ 2ω∂ 2ω∂ 2ω|+max||+max||)f,∂x2∂x∂y∂y 2RhRhгде Λ = ω(0, 0), a = Λ ln(h1 h2 ) + 0 1 ω(x,0)−ω(0,0)dx + 0 2 ω(0,y)−ω(0,0)dy, максимумы берутся поxyмножеству {0 ≤ x ≤ h1 , 0 ≤ y ≤ h2 , xy ≤ f }.(c)|f 2 T 00 (f ) − Λ| ≤ (max |Доказательство. Рассматриваемая гамильтонова система имеет видdxx=−,dtω(x, y)dyy=.dtω(x, y)Обозначим через γ1 (соотв.
γ2 ) участок линии уровня {xy = f }, лежащий в треугольнике{0 ≤ y ≤ x ≤ h1 } (соотв. {0 ≤ x ≤ y ≤ h2 }). Возьмем в качестве параметра на этом участкекоординату x (соотв. y).√Тогда ограничение гамильтоновой системы на участок γ1 имеет видdx/dt = −x/ω(x, f /x), f ≤ x ≤ h1 , откуда время движения в силу системы по участку γ1равноZ h1Z h1dxω(x, f /x)dxT1 (f ) = − √= √,(4.22)xf dx/dtfи аналогичное верно для времени T2 (f ), отвечающему участку γ2 :Z h2Z h2dyω(f /y, y)dyT2 (f ) = √= √.yf dy/dtf(a) Из разложения ω(x, f /x) = ω(0, 0) + (ω(x, 0) − ω(0, 0)) + (ω(x, f /x) − ω(x, 0)), с учетомравенствZ h1ω(0, 0)Λdx=Λlnh−ln f,1√x2fZ h1Z h1pω(x, 0) − ω(0, 0)ω(x, 0) − ω(0, 0)∂ωdx=dx+θf max | |,1√xx∂x0Z hf1Z ∞pω(x, f /x) − ω(x, 0)∂ωf∂ωdx = θ2 max | | √ 2 dx = θ2 f max | |,√x∂y∂yff xпри подходящих значениях θi = θi (f ) ∈ R, −1 ≤ θi ≤ 1, и аналогичных соотношений дляучастка γ2 , получаем первое равенствоT (f ) = T1 (f ) + T2 (f ) = −Λ ln f + a + 2θ3p∂ω∂ωf (max | | + max | |).∂x∂yГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ259(b) Далее частную производную функции f (x, y) по переменной x (y) будем обозначатьчерез fx (x, y) (fy (x, y)).
Дифференцируя дважды функцию T1 (f ) по f , имеем√ √Z h1ω( f , f )ωy (x, f /x)0T1 (f ) = −+ √dx,2fx2f√ √√ √√ √Z h1ωyy (x, f /x)ω( f , f ) ωx ( f , f ) + 3ωy ( f , f )00T1 (f ) =−+ √dx,23/22f4fx3fR∞= √1fа также аналогичные формулы для T20 (f ) и T200 (f ). Отсюда, с учётом тождества √f dxx2Rtи равенства ω(t, t) = ω(0, 0) + 0 (ωx (u, u) + ωy (u, u))du = Λ + θ4 (max |ωx | + max |ωy |)t, имеем√ √pω( f , f )000T (f ) = T1 (f ) + T2 (f ) = −+ θ5 (max |ωx | + max |ωy |)/ f =fp−Λ/f + (θ5 − θ4 ) max(|ωx | + |ωy |)/ f ,что даёт второе требуемое равенство.R∞(c) Далее, с помощью тождества √f dx= 2f1 , получаемx3T 00 (f ) = T100 (f ) + T200 (f ) =√ √√ √√ √ω( f , f ) ωx ( f , f ) + ωy ( f , f )−+ θ6 (max |ωxx | + max |ωyy |)/(2f ).f2f 3/2Так как производная функции f (t) = ω(t, t) − tωx (t, t) − tωy (t, t) равна f 0 (t) = −t(ωxx (t, t) +2ωxy (t, t) + ωyy (t, t)), тоZ tZ t0f (t) = f (0) +f (u)du = ω(0, 0) −u(ωxx (u, u) + 2ωxy (u, u) + ωyy (u, u))du =00t2Λ + θ7 (max |ωxx | + 2 max |ωxy | + max |ωyy |) .2Отсюда получаем третье требуемое равенство:pf 2 T 00 (f ) = f ( f ) + θ6 f (max |ωxx | + max |ωyy |)/2 =Λ + θ8 f (max |ωxx | + max |ωxy | + max |ωyy |).Лемма 4.2.6 доказана.4.2.3Грубые метки Болсинова-Фоменко (грубые Λ– и m–инварианты) систем на седловом атоме.
Кресты и ленточкиСначала напомним понятия (введенные в работе [9] для определения инвариантов C 0 –сопряженности систем на атоме) “крестов” и “ленточек”, из которых можно склеить седловой атом.Следующее определение мотивировано технической леммой 4.2.6 (a).Рис. 4.1. Координатный крест QГЛАВА 4.260ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМОпределение 4.2.7. Пусть v = (ω, F ) ∈ H(M ) — гамильтонова система на компактной поверхности M . Пусть x0 ∈ M — морсовская критическая точка функции F , являющаяся седловой. Для любых вещественных чисел h1 , h2 , h3 , h4 > 0 и ε ∈ (0, min{h1 h2 , h2 h3 , h3 h4 , h4 h1 })рассмотрим подмножество плоскости (имеющее вид креста, см. рис. 4.1)Q := {−h3 ≤ x ≤ h1 , −h4 ≤ y ≤ h2 , |xy| ≤ ε} ⊂ R2 .(4.23)(a) Непрерывное (соотв.
регулярное) погружение u : Q → M назовем морсовским в точке∂∂, ∂y) > 0), u(0, 0) =x0 для системы v, если u сохраняет ориентацию (соотв. Λ := (u∗ ω)(0, 0)( ∂x∗x0 и u F = xy + F (x0 ).(b) Непрерывное погружение u : Q → M назовем почти крестом в точке x0 для системы v(а его образ U := u(Q) — почти крестом), если оно морсовское в точке x0 и время движенияв силу системы u∗ (v) в Q по любой связной компоненте линии уровня функции u∗ F , лежащейв `–ой координатной четверти в Q, имеет видT` (f ) = −Λ ln |f − F (x0 )| + a + o(1),f → F (x0 ),` = 1, 2, 3, 4,(4.24)причем каждое из чисел Λ > 0 и a ∈ R — одно и то же число, не зависящее от номера `.Если a = 0, то u : Q → M назовем крестом в точке x0 для системы v (а его образ U := u(Q)— погруженным крестом или просто крестом).(c) Морсовское регулярное погружение u : Q → M назовем хорошим крестом в точке x0для системы v, еслиZ h1Z h2ω(x, 0) − Λω(0, y) − ΛΛ ln h1 +dx = Λ ln h2 +dy =xy00Z h3Z h4ω(−x, 0) − Λω(0, −y) − Λ= Λ ln h3 +dx = Λ ln h4 +dy = 0,xy00∂∂, ∂y) ∈ R для (x, y) ∈ Q, Λ := ω(0, 0) > 0.где ω(x, y) := (u∗ ω)(x, y)( ∂x(d) Для любого морсовского погружения (например, креста) u : Q → M обозначим отрезки [0, h1 ] и [−h3 , 0] оси абсцисс через Ξ1 и Ξ3 , а отрезки [0, h2 ] и [−h4 , 0] оси ординат через Ξ2и Ξ4 соответственно.
Ограничение u|Ξ` является вложением, поэтому ξ` := u(Ξ` ) — простаядуга в M . Простые дуги ξ1 , . . . , ξ4 ⊂ M с естественной ориентацией (вдоль потока системыv) назовем ветвями погружения u. Очевидно, что любое морсовское погружение (например,крест) имеет ровно четыре попарно различные ветви. Концы ветвей, отличные от точки x0 ,назовем граничными точками ветвей данного погружения (например, креста) u. Ветви ξ1 иξ3 являются входящими в вершину x0 , а ветви ξ2 и ξ4 — исходящими из нее.(e) Если M = P , v = (ω, F ) ∈ H(P, K) — гамильтонова система на седловом атоме (P, K)#и F (P ) = [−ε0 , ε0 ], то морсовское погружение (соотв.
крест) u : Q → P будем называтьморсовским погружением на атоме (P, K)# (соотв. крестом на атоме (P, K)# ), если ε = ε0 в(4.23). Если задан набор вложенных попарно непересекающихся крестов Uj ⊂ P , содержащихвсе вершины атома, то связные компоненты замыкания дополнения к объединению этихкрестов в P назовем ленточками и будем говорить, что атом (P, K)# склеен из крестов иленточек.Поясним: если морсовское погружение u : Q → M является вложением, то его образU := u(Q) гомеоморфен Q, т.е. имеет вид креста (при достаточно малом ε > 0). Далее,допуская некоторую вольность изложения, мы иногда (в доказательствах) будем называтькрестом не погружение u, а его образ U , и будем предполагать (для наглядности), что u —это вложение.Из леммы 4.2.6 (a) мы выведемГЛАВА 4.261ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМСледствие 4.2.8 (описание крестов; операция переклейки ленточек). (a) Для любого седлового атома (P, K)# и любой гамильтоновой системы v = (ω, F ) ∈ H(P, K) на этом атомесуществует набор (возможно, самопересекающихся или попарно пересекающихся) хорошихкрестов uj в вершинах xj этого атома (см.
определение 4.2.7 (c)).(b) Любой хороший крест является крестом (определение 4.2.7 (c, b)).(c) Если uj , u0j — два креста в вершине xj для системы v, то в отвечающих им разложениях (4.24) с a = 0 константа Λj одна и та же, а ветви креста u0j получаются из ветвейкреста uj следующей операцией (называемой операцией “переклейки ленточек” длины d)или ее обратной: выкидывание из обеих входящих ветвей креста дуг фазовых траекторий,выпущенных из концов этих ветвей на время d, и одновременное приклеивание к обеим исходящим ветвям креста дуг фазовых траекторий, выпущенных из концов этих ветвей навремя d, где d > 0 — вещественное число, называемое длиной (переклеиваемых) “ленточек”.Обратно: если uj — крест в вершине xj для системы v, то в результате применения кветвям этого креста операции “переклейки ленточек” длины d или ее обратной (для любого d > 0) получаются ветви некоторого креста u0j в вершине xj для системы v.
См. рис.4.2.Рис. 4.2. Операция переклейки ленточек в крестеДругими словами, операция переклейки ленточек в кресте uj из п.(c) следствия 4.2.8состоит в выкидывании из окрестности каждой входящей ветви этого креста “ленточки”длины d и одновременном приклеивании к окрестности каждой исходящей ветви этого креста“ленточки” длины d.Доказательство. (b) Пусть u : Q → P — морсовское погружение для седловой точки x0системы v ∈ H(P, K) на данном атоме. Согласно лемме 4.2.6 (a), время движения в силусистемы по любой связной компоненте неособой линии уровня функции u∗ F , лежащей в`–ой координатной четверти, имеет видT` (f ) = −Λ ln |f − F (x0 )| + a` + o(1),f → F (x0 ),` = 1, 2, 3, 4,(4.25)где числа a` ∈ R зависят от точки x0 , погружения u, отвечают разным координатным четвертям и имеют вид a1 = b1 + b2 , a2 = b2 + b3 , a3 = b3 + b4 , a4 = b4 + b1 , гдеZ h1Z h2ω(0, y) − ω(0, 0)ω(x, 0) − ω(0, 0)dx, b2 := Λ ln h2 +dy,b1 := Λ ln h1 +xy00Z h3Z h4ω(−x, 0) − ω(0, 0)ω(0, −y) − ω(0, 0)b3 := Λ ln h3 +dx, b4 := Λ ln h4 +dy.xy00Отсюда получаем, что если u : Q → P является хорошим крестом (т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
