Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Если M = M 0 и указанныйгомеоморфизм изотопен тождественному, то системы назовем топологически траекторноэквивалентными.Подчеркнем, что, говоря о каком-либо типе эквивалентности почти невырожденных гамильтоновых систем с одной степенью свободы (определения 4.1.8—4.1.11), мы всегда будемпредполагать, что гомеоморфизм (диффеоморфизм), осуществляющий эту эквивалентность,сохраняет не только ориентацию поверхности, но и нумерацию и оснащения критических точек функции Гамильтона F .
Ясно, что для почти невырожденных гамильтоновых систем содной степенью свободы послойная эквивалентность функций Гамильтона (определение 2.2.4(C)) равносильна траекторной эквивалентности систем. Следовательно, C 0 -сопряженностьтаких систем влечет послойную эквивалентность их гамильтонианов.Определенные только что типы эквивалентности систем мы будем использовать в даннойработе по отношению к системам, обладающим дополнительными свойствами.
А именно,далее мы будем рассматривать лишь системы v ∈ H(M ), для которых функции периодаτ = τ (f ) замкнутых траекторий являются морсовскими и не имеют граничных критическихточек (подробнее см. в определении 4.2.1). Такие системы называются невырожденнымигамильтоновыми системами с одной степенью свободы; согласно теореме 4.2.2 они образуютоткрытое и всюду плотное подмножествоHnondeg (M ) = Hnondegn0 ,n1 ,n2 (M )(4.11)в пространстве H(M ) всех почти невырожденных гамильтоновых систем на M .Далее, допуская некоторую вольность изложения, мы иногда будем называть пространство H(M ) пространством всех гамильтоновых систем на M , опуская термин “почти невырожденные”.4.1.3C r –топологии в пространстве гамильтоновых систем, r ≥ 5.Возмущенные системыФиксируем многообразие M и рассмотрим пространство H(M ) всех почти невырожденныхгладких (т.е.
класса C ∞ ) гамильтоновых систем v = (ω, F ) на этом многообразии (см. (4.10)).Фиксируем любое число r ∈ N такое, что5 ≤ r ≤ +∞.Определим C r –топологию на пространстве Ω2 (M )×C ∞ (M ) как топологию прямого произведения пространства Ω2 (M ), снабженного C r−3 –топологией, и пространства C ∞ (M ), снабженного C r –топологией (см. (2.5) и (2.6)). Как в §3.2.2, вводится C r –топология на пространствеFnum,fr морсовских функций с оснащенно-нумерованными критическими точками. Снабдимподмножество H(M ) ⊂ Ω2 (M ) × Fnum,fr индуцированной топологией.Согласно с этим определением, под ε–малым возмущением (или просто возмущением)гамильтоновой системы v в смысле C r –топологии будем понимать гамильтонову системуve = (eω , Fe) ∈ H(M ), отвечающую ε–малому по C r –норме возмущению функции Гамильтонаи ε–малому по C r−3 –норме возмущению симплектической структуры:kFe − F kC r + keω − ωkC r−3 < ε(4.12)и удовлетворяющую дополнительному условиюkFekC r+1 + keω kC r−2 < C.(4.13)ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ244Здесь C > 0 — произвольная наперед заданная константа, ε > 0 — достаточно малое число,характеризующее “величину возмущения” и зависящее от констант r и C, системы v и способапостроения C r –нормы.В частности, если v ∈ H(P, K) — гамильтонова система на “седловом атоме” (P, K)#(т.е.
соответствующая функция Гамильтона имеет лишь одно критическое значение, и всекритические точки являются седловыми, см. определение 2.4.3), то возмущенную систему veбудем называть возмущением гамильтоновой системы на атоме (P, K)# .Множество возмущённых гамильтоновых систем ve, удовлетворяющих условиям (4.12) и(4.13) для некоторого фиксированного ε > 0, назовём ε–окрестностью системы v.Согласно с этим, записьve → v(4.14)будет означать выполнение двух условий: (4.13) иkFe − F kC r + keω − ωkC r−3 → 0.При любом r ∈ [5, ∞] базой определенной выше C r –топологии в пространстве H(M ) служатε–окрестности систем v ∈ H(M ) для всевозможных ε > 0 и v ∈ H(M ). Определение C ∞ –топологии см.
также в §3.2 (или в [143, §4]).Замечание 4.1.12. Все утверждения настоящей главы, верны и доказаны нами для любойC r –топологии в пространствах Hnondeg (M ) ⊂ H(M ) гамильтоновых систем, где r ∈ [5, ∞](т.е. для “C ≥5 –топологий”). Некоторые утверждения настоящей главы (о непрерывности техили иных инвариантов на Hnondeg (M )) в действительности верны даже для более широкогокласса топологий на пространстве H(M ) гамильтоновых систем.
Например:• Λ–инварианты Болсинова-Фоменко C 0 –сопряженности (т.е. Λ–метки на седловых атомах молекулы Фоменко, см. (4.39) и утверждение 4.2.12) гамильтоновых систем непрерывны даже относительно C 3 –топологии на Hnondeg (M ) (но не непрерывны относительно C 2 –топологии на Hnondeg (M ));• для всех утверждений из §2.5, где симплектическая структура не рассматривается (т.е.изучается лишь возмущение функции Морса), верны аналоги этих утверждений при2 ≤ r ≤ ∞.Однако мы не изучаем вопрос о нахождении наименьшего r, для которого верен аналог тогоили иного из доказываемых нами (при любом r ∈ [5, +∞]) утверждений.
Аналогичным образом, результат параграфа §5.2 описывает все инварианты сопряженности на пространствесимплектоморфизмов, производная которых существует всюду и обладает C 1 –непрерывнойфункцией плотности; однако мы не изучаем вопрос о нахождении наибольшего r, для которого верен аналог этого результата для C r –непрерывной функции плотности (отметим лишь,что при r ≥ 3 наш метод доказательства не работает ввиду результатов теории КАМ).4.1.4Инварианты гамильтоновых систем.
Гладкие функционалы напространстве системПусть D = D(M ) — группа сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов поверхности M .Рассмотрим действие группы D на пространстве H(M ) гамильтоновых систем на M .Отображение I : H1 → Rm , заданное на некотором подмножестве H1 ⊆ H(M ), будемназывать векторнозначным функционалом на пространстве H1 .Определение 4.1.13. Векторнозначный функционал I = I(ω, F ), заданный на некоторомD–инвариантном подмножестве Hinv в пространстве H(M ) всех гамильтоновых систем, будем называть симплектическим инвариантом (или инвариантом симплектической сопряженности), если этот функционал постоянен на орбитах действия группы D и не меняетсяГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ245при прибавлении любой константы к функции Гамильтона.
То есть, если для любых симплектически сопряженных (определение 4.1.8) гамильтоновых систем (ω, F ), (ω 0 , F 0 ) ∈ Hinvзначения I(ω, F ) и I(ω 0 , F 0 ) функционала I на этих системах совпадают.Определение 4.1.14. Векторнозначный функционал I = (ω, F ), заданный на некоторомD–инвариантном подмножестве Hinv в пространстве H(M ), будем называть инвариантомC 1 –сопряженности, или просто C 1 –инвариантом, если для любых C 1 –сопряженных гамильтоновых систем (определение 4.1.9) из Hinv значения функционала I на этих системах совпадают.Определение 4.1.15. Векторнозначный функционал I = I(ω, F ), заданный на некоторомD–инвариантном подмножестве Hinv пространства H(M ), будем называть инвариантом C 0 –сопряженности, или просто C 0 –инвариантом, если для любых C 0 -сопряженных (определение 4.1.10) гамильтоновых систем (ω, F ), (ω 0 , F 0 ) ∈ Hinv выполнено I(ω, F ) = I(ω 0 , F 0 ).Определение 4.1.16.
Векторнозначный функционал I = I(ω, F ), заданный на некотором D–инвариантном подмножестве Hinv в пространстве H(M ), будем называть траекторным инвариантом (или инвариантом послойной эквивалентности гамильтонианов), еслиI(ω, F ) = I(ω 0 , F 0 ) для траекторно эквивалентных (определение 4.1.11) гамильтоновых систем (ω, F ), (ω 0 , F 0 ) ∈ Hinv (т.е. для послойно эквивалентных гамильтонианов F и F 0 ).Ясно, что все траекторные инварианты являются C 0 -инвариантами, все C 0 –инварианты— C 1 –инвариантами, а все C 1 –инварианты — симплектическими инвариантами.Далее, говоря о непрерывности инвариантов и об открытых подмножествах в пространстве H(M ), мы всегда будем подразумевать C r –топологию в пространстве H(M ), т.е.
топологию из §4.1.3 (отвечающую C r –норме в пространстве гамильтонианов и C r−3 –норме в пространстве симплектических структур, где r — любое наперед заданное число из промежутка5 ≤ r ≤ ∞). В некоторых случаях можно ослабить предположение на r, т.е. рассмотретьболее сильную топологию на H(M ), отвечающую какому-либо r ∈ {2, 3, 4} (см. замечание4.1.12).Все обсуждаемые в данной главе инварианты являются инвариантами симплектическойсопряженности, определены на D–инвариантных “гладких поверхностях” H1 конечной коразмерности в H(M ), и гладкие в следующем смысле.Определение 4.1.17.
Рассмотрим конечный набор J = (J1 , . . . , Js ) : H1 → Rs вещественнозначных функционалов, определенных на некотором подпространстве H1 в пространствеH(M ) всех гамильтоновых систем на M (например, H1 = H(P, K) — множество гамильтоновых систем на данном атоме (P, K)# , где M = P ).(A) Предположим, что H1 открыто в H(M ). Будем говорить, что функционалы набораJ и сам набор являются гладкими, если для любого гладкого параметрического семействагамильтоновых систем vθ1 ,...,θu ∈ H1 с параметрами θ1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
