Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Напомним,что на неособом изоэнергетическом многообразии QE = H −1 (E) любой гамильтоновой системы (M, Ω, H) есть каноническая 3-форма объема µE такая, чтоiXE µE = Ω|QEГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ233(она существует и единственна, так как iXE (Ω|QE ) = 0 и XE не имеет нулей и касательно кQE ).Пусть Q — компактное ориентированное 3-мерное многообразие и фиксировано числоE ∈ R.
Определим сначала класс H(Q) произвольных (необязательно интегрируемых) гамильтоновых систем на неособых 3-мерных изоэнергетических многообразиях QE ≈ Q:H(Q) := {(M, Ω, H, h) | h ∈ Emb(Q, M ), h(Q) = H −1 (E), условие 1), h∗ µE > 0}/ ∼Q ,(4.1)−1∗где µE — каноническая 3-форма объема системы (M, Ω, H) на QE = H (E), условие h µE > 0означает, что 3-форма объема h∗ µE на Q задает положительную ориентацию, а отношениеэквивалентности ∼Q определяется так: (M1 , Ω1 , H1 , h1 ) ∼Q (M2 , Ω2 , H2 , h2 ), еслиh∗1 (Ω1 |QE,1 ) = h∗2 (Ω2 |QE,2 ),h∗1 (µE,1 ) = h∗2 (µE,2 ).Здесь µE,i — это каноническая форма объема системы (Mi , Ωi , Hi ) на QE,i = Hi−1 (E), i = 1, 2.Заметим, что отношение эквивалентности ∼Q не изменится, если условие h∗1 (µE,1 ) = h∗2 (µE,2 )−1заменить условием (h−11 )∗ (XE,1 |QE,1 ) = (h2 )∗ (XE,2 |QE,2 ), т.е.
условием совпадения индуцированных динамических систем на Q. Фиксируем любое r ∈ N. Снабдим пространства C ∞ (M )и C ∞ (Q, M ) C r -топологией (см. (4.12) и (4.13)), пространство Ω2 (M ) C r−1 -топологией, пространство Ω2 (M ) × C ∞ (M ) × C ∞ (Q, M ) топологией прямого произведения, а пространствоH(Q) фактортопологией.Оказывается (в силу следующей леммы), класс динамических систем H(Q) (т.е.
гамильтоновых систем на неособых 3-мерных изоэнергетических многообразиях) совпадает с классом3-мерных несжимаемых течений без нулей. А именно:Лемма 4.1.3 (о гамильтонизации 3-мерных несжимаемых течений). Пусть Q — трехмерноеориентированное многообразие, снабженное положительной 3-формой объема µ и 2-формойB. Рассмотрим векторное поле B на Q, определенное условием iB µ = B. Тогда следующиедва условия равносильны:(a) векторное поле B сохраняет форму объема µ (т.е. является несжимаемым, илибездивергентным),(b) 2-форма B замкнута.Если выполнено одно из этих условий и 2-форма B не имеет нулей, то векторное поле Bсовпадает с ограничением X0 гамильтонова векторного поля на изоэнергетическое многообразие H −1 (0) некоторой гамильтоновой системы (M, Ω, H) такой, что M = Q × (−ε, ε),функция Гамильтона H совпадает с канонической проекцией H : M → (−ε, ε), Ω|Q×{0} =B, и µ совпадает с канонической формой объема µ0 на изоэнергетическом многообразииH −1 (0) = Q × {0} при отождествлении Q с Q × {0}.
Здесь 0 < ε 1.Доказательство. Условие (a) равносильно равенству нулю производной Ли 3-формы µ вдольвекторного поля B, т.е. условию 0 = LB µ = (iB d + diB )µ = dB, т.е. условию (b).Пусть πQ : M → Q — каноническая проекция. Будем отождествлять Q с Q × {0}. Пусть α— произвольная 1-форма на Q такая, что B ∧ α = µ. Ее можно задать однозначно условиемα|(ker B)⊥ = 0, где ортогональное дополнение понимается в смысле какой-либо (произвольной)∗∗римановой метрики на Q. Положим Ω := πQB + d(HπQα).
Ясно, что Ω|Q×{0} = B, dΩ = 0 иΩ невырождена в малой окрестности гиперповерхности Q × {0} в M . Проверим условие на∗∗форму объема: в любой точке многообразия Q × {0} имеем Ω ∧ Ω = 2(πQB) ∧ d(HπQα) =∗∗2dH ∧ (πQ (B ∧ α)) = 2dH ∧ (πQ µ). Поэтому µ совпадает с канонической формой объема наизоэнергетическом многообразии данной гамильтоновой системы. Лемма доказана.Таким образом, сопоставление (M, Ω, H, h) 7→ (h∗ (Ω|QE ), h∗ µE ) дает биекцию≈H(Q) −→ B(Q) := (B, µ) ∈ Ω2 (Q) × Ω3 (Q) B, µ не имеют нулей, µ > 0, dB = 0 .
(4.2)ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ234Любой элемент пространства B(Q) назовем 3-мерным несжимаемым течением без нулей наQ. Снабдим множество C ∞ (Q) C r -топологией (см. (4.12) и (4.13)), множества Ω2 (Q) и Ω3 (Q)C r−1 -топологией, множество Ω2 (Q) × Ω3 (Q) топологией прямого произведения, а множествоB(Q) фактортопологией.
Нетрудно показать, что биекция (4.2) непрерывна. Поэтому всенепрерывные функционалы на B(Q) индуцируют непрерывные функционалы на H(Q).Определим теперь класс IH(Q) вполне интегрируемых гамильтоновых систем на неособых 3-мерных изоэнергетических многообразиях QE ≈ Q:IH(Q) := {(M, Ω, H, F, h) | [(M, Ω, H, h)] ∈ H(Q), условия 2)—4)}/ ∼Q ,(4.3)где отношение эквивалентности ∼Q определим так: (M1 , Ω1 , H1 , F1 , h1 ) ∼Q (M2 , Ω2 , H2 , F2 , h2 ),еслиh∗1 (Ω1 |QE,1 ) = h∗2 (Ω2 |QE,2 ), h∗1 (µE,1 ) = h∗2 (ΩE,2 ), h∗1 (F1 |QE,1 ) = h∗2 (F2 |QE,2 ).Определим также подкласс IHnondeg (Q) ⊂ IH(Q) невырожденных вполне интегрируемыхсистем:(4.4)IHnondeg (Q) := {[(M, Ω, H, F, h)] ∈ IH(Q) | условия 5) и 6)}.∞∞r2Как выше, снабдим пространства C (M ) и C (Q, M ) C -топологией, пространство Ω (M )C r−1 -топологией, пространство Ω2 (M ) × C ∞ (M ) × C ∞ (M ) × C ∞ (Q, M ) топологией прямогопроизведения, а его подпространства IHnondeg (Q) ⊂ IH(Q) фактортопологией.Замечание 4.1.4.
Расширим теперь указанные классы IH(Q) ⊃ IHnondeg (Q) вполне интегрируемых и невырожденных вполне интегрируемых систем до классов интегрируемых иневырожденных интегрируемых систем, т.е. в условии 2) потребуем интегрируемость системы лишь на отдельном изоэнергетическом 3-мерном многообразии QE = H −1 (E) (а не внекоторой его окрестности в M ) при помощи ограничения F |QE на QE некоторой функцииБотта F .
Полученные расширенные классы систем обозначим через eIH(Q) ⊃ eIHnondeg (Q).Так как любой автономный гамильтонов поток сохраняет уровень энергии и каноническуюформу объема на нем, то класс динамических систем eIH(Q) (т.е. класс интегрируемых гамильтоновых систем на неособых 3-мерных изоэнергетических многообразиях) содержитсяв классе eIB(Q) интегрируемых 3-мерных несжимаемых течений без нулей (точное определение класса eIB(Q) см. чуть ниже).
Более того, в силу леммы 4.1.3 о гамильтонизации этидва класса совпадают:(A) Сопоставление (M, Ω, H, F, h) 7→ (h∗ (Ω|QE ), h∗ (µE ), h∗ (F |QE )) дает биекции классов≈ eeIH(Q) −→IB(Q) := (B, µ, f ) ∈ B(Q) × C ∞ (Q) | условия 2)—4) для f и вект. поля B(4.5)и их подклассовon≈ e nondegeIHnondeg (Q) −→eIB(Q) := (B, µ, f ) ∈ IB(Q) | условия 5) и 6) для f и вект. поля B ,где векторное поле B = B B,µ на Q определяется условием iB µ = B. Обозначим образыподмножеств IHnondeg (Q), IH(Q) при биекции (4.5) через IBnondeg (Q), IB(Q).
Любой элементпространства eIB(Q) (соответственно IB(Q)) назовем интегрируемым (соответственно вполнеинтегрируемым) 3-мерным несжимаемым течением без нулей на Q, а любой элемент подпространства eIBnondeg (Q) (соответственно IBnondeg (Q)) — невырожденным интегрируемым(соответственно вполне интегрируемым) 3-мерным несжимаемым течением без нулей наQ. Пусть r ≥ 2. Как выше, снабдим множество C ∞ (Q) C r -топологией, множества Ω2 (Q)и Ω3 (Q) C r−1 -топологией, множество Ω2 (Q) × Ω3 (Q) × C ∞ (Q) топологией прямого произведения, множество eIB(Q) фактортопологией, а его подмножества IBnondeg (Q) ⊂ IB(Q),eIBnondeg (Q) ⊂ eIB(Q) индуцированной топологией.
Нетрудно показать, что биекция (4.5)непрерывна. Поэтому непрерывные функционалы на eIBnondeg (Q) индуцируют непрерывныефункционалы на eIHnondeg (Q), а потому и на IHnondeg (Q) ⊂ eIHnondeg (Q). Из импликацииГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ235(a)=⇒(b) леммы 4.1.5 ниже и из положительного решения вопроса (Q5) из §4.1.5 при любом r ≥ 5 (теорема 4.2.2) следует, что класс eIBnondeg (Q) открыт и всюду плотен в классеeIB(Q) при любом r ≥ 5, поэтому для изучения непрерывных функционалов (скажем, траекторных инвариантов) на всем пространстве eIB(Q) интегрируемых несжимаемых теченийпредставляется весьма актуальным изучить их сначала на его открытом и всюду плотномподмножестве eIBnondeg (Q) ⊂ eIB(Q) невырожденных течений.(B) Если вместо Q взять 3-мерное компактное многообразие R с краем (например, диффеоморфное многообразию RE,c,ε := QE ∩ Nc,ε , где Nc,ε := F −1 [c − ε, c + ε] и число ε > 0достаточно мало), то аналогично определяются пространства H(R), eIH(R) ⊃ eIHnondeg (R),IH(R) ⊃ IHnondeg (R) и B(R), eIB(R) ⊃ eIBnondeg (R), IB(R) ⊃ IBnondeg (R) и полагаемH∂ (R) := [(N, Ω, H, h)] ∈ H(R) Ω|∂R = 0 ,)( Ω| = 0, dF | = 0,∂R∂ReIH∂ (R) := [(N, Ω, H, F, h)] ∈ eIH(R) , IH∂ (R) := IH(R)∩eIH∂ (R), dF не имеет нулей на ∂RnondegeIHnondeg (R) := eIHnondeg (R) ∩eIH∂ (R), IHnondeg(R) := IH(R) ∩ eIH∂ (R),∂∂=0 ,B∂ (R) := (B, µ) ∈ B(R) B|∂R )( B| = 0, df | = 0∂ReIB∂ (R) := (B, µ, f ) ∈ eIB(R) ∂R, IB∂ (R) := IB(R) ∩ eIB∂ (R), df не имеет нулей на ∂ReIBnondeg (R) := eIBnondeg (R) ∩ eIB∂ (R), IBnondeg (R) := IBnondeg (R) ∩ eIB∂ (R).∂∂Имеем непрерывные биекции≈≈ eeIH∂ (R) −→IB∂ (R),H∂ (R) −→ B∂ (R),≈ e nondegeIHnondeg (R) −→IB∂(R)∂и индуцированные непрерывные биекции≈IH∂ (R) −→ IB∂ (R),≈IHnondeg(R) −→ IBnondeg(R).∂∂Допуская некоторую вольность, всюду далее мы будем опускать индекc ∂ в обозначении пространств H∂ (R), eIH∂ (R) ⊃ eIHnondeg(R), IH∂ (R) ⊃ IHnondeg(R) и B∂ (R), eIB∂ (R) ⊃ eIBnondeg(R),∂∂∂nondegnondegeeIB∂ (R) ⊃ IB∂(R), т.е.
будем их обозначать просто через H(R), IH(R) ⊃ IH(R),nondegnondegnondegeeIH(R) ⊃ IH(R) и B(R), IB(R) ⊃ IB(R), IB(R) ⊃ IB(R) соответственно.Подчеркнем, что если 3-мерное бездивергентное векторное поле X из леммы 4.1.3 имеет первый интеграл f , то соответствующая гамильтонова система имеет, вообще говоря,∗лишь условный дополнительный первый интеграл πQf = f ◦ πQ на нулевом уровне энер−1гии Q0 = H (0), т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
