Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 78
Текст из файла (страница 78)
В остальных случаях определим KfM как указано выше. Тогда:ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА227(A) Существуют (горизонтальные) гомотопические эквивалентности и (вертикальные) гомеоморфизмыF ∼ F1 ∼F1oo∼F0ooe ∞ ∼ RD 0 × K,ef ∼ D0 × KD0 × Mгде RD 0 — либо точка в случае (2d), либо одно из четырех многообразий SO(3) = RP 3 ,SO(2) = S 1 , T 2 = S 1 × S 1 и точка, определяемое парой (M, p∗ + q ∗ + r∗ ) как в (3.2), востальных случаях.(B) Для любой функции Морса f ∈ F1 имеются гомотопические эквивалентности игомеоморфизмf[f ]top ∼ D 0 × D[f ]top ∼ RD 0 × ((S 1 )d /Γ[f ] ),[f ]top ∼ Forg−1 ([f ]top ) ≈ D 0 × M1f[f ]top ⊂ Mf и (S 1 )d = (S 1 )d([f ]) – соответгде Forg1 : F → F – забывающее отображение, Mствующие (s([f ]) + 2q)-мерное подмногообразие и тор.11Доказательство проводится дословным повторением доказательств теорем 3.5.4, 3.5.10 и3.7.6.Тем самым, мы полностью описали (в случаях 1, 2a, 2b, 2c, 2d) топологию всех обобщенных пространств функций Морса F = Fp,q,r;bp,bq,br;p∗ ,q∗ ,r∗ (M, ∂ + M, ∂ − M ) на связных компактных ориентируемых поверхностях M в терминах соответствующих косых цилиндрическиe и гладких стратифицированных многообразий Mf кроме слеполиэдральных комплексов Kдующих случаев:Подслучай 2e: M = S 2 , T 2 и нет отмеченных критических точек, т.е.
pb + qb + rb = 0 (можнотакже считать, что невыполнены предположения подслучая 2a). Этот подслучай изучен (иобобщен на неморсовский случай) в теореме 3.7.1 и утверждении 3.7.5.Подслучай 2f: M = S 2 и число отмеченных критических точек pb + qb + rb ∈ {1, 2} (можнотакже считать, что невыполнены предположения подслучая 2c). Этот подслучай нетрудноизучить теми же методами, что и подслучай 2e.Поясним отличие случаев 1, 2a, 2b, 2c, 2d от менее наглядных случаев 2e, 2f. В случаях1, 2a, 2b, 2c, 2d пространство F имеет гомотопический типef ∼ RD 0 × K,F ∼ RD 0 × Mа в случаях 2e, 2f гомотопический типe s,fs ∼ KF∼Mes ⊂ Mfs — некоторое стратифицированное многообразие и Kfs — некоторый полигде Mэдр, состоящий из блоков — подполиэдров, s = 1 + χ(M ). Отметим, что в последних двухfs уже не будетподслучаях 2e и 2f соответствующее стратифицированное многообразие Meобладать плоской аффинной связностью, а соответствующий комплекс Ks уже не будет явfs похоже на “почти косоеляться косым цилиндрически-полиэдральным.
Дело в том, что M10f где Mf := F /D — стратифицированное орбиобразие, обладающеепроизведение” RD 0 h M,fs → Mf имеет тип расслоенияплоской аффинной связностью, и каноническая проекция MseЗейферта с типичным слоем M \∆ ∼ RD 0 . Аналогичным образом, Ks похоже на “почти косоеe где Ke есть факторпространство некоторого косого цилиндрическипроизведение” RD 0 h K,полиэдрального комплекса по действию конечной группы автоморфизмов, и каноническаяes → Ke имеет тип расслоения Зейферта с тем же типичным слоем. В частнопроекция Ke s состоит из блоков, являющихся “почти косыми произведениями” RD 0 h D[f ]top , гдести, KD[f ]top гомотопически эквивалентно факторпространству тора по (необязательно свободному) действию конечной группы автоморфизмов. Однако в подслучаях 2e и 2f, вообще говоря,e s 6∼ RD 0 × K,e и структура пространства Ke s оказывается гораздо менееfs 6∼ RD 0 × MfиKMe в случаях 1, 2a, 2b, 2c, 2d.наглядной, чем прямое произведение RD 0 × KГлава 4Продолжимые частичные инвариантыC 0–сопряженности гамильтоновыхсистем на поверхностяхВ этой главе излагаются результаты работ автора [137, 145] (а также автора и Ю.А.
Браилова[146]).4.1ВведениеВ работах А. В. Болсинова и А. Т. Фоменко [9, 7] были открыты инварианты непрерывнойи гладкой сопряженности невырожденных (морсовских) гамильтоновых систем с одной степенью свободы, т.е. гамильтоновых систем на двумерных поверхностях. Эта теория оказалась тесно связанной с непрерывной и гладкой траекторной классификацией интегрируемыхневырожденных (боттовских) гамильтоновых систем с двумя степенями свободы (т.е. на четырехмерных симплектических многообразиях). В результате А. В.
Болсинов и А. Т. Фоменкополучили классификацию динамических систем указанного вида, как для одной степени свободы, так и для двух степеней свободы.В частности, А.В. Болсинов и А.Т. Фоменко [9, 10, 54, 11] построили полный инвариант0C -сопряженности (определение 4.1.10) невырожденных гамильтоновых систем на компактной поверхности M (определение 4.2.1 или (4.11)).
Этот инвариант (оснащенная молекулаБолсинова–Фоменко) состоит из “дискретного” и “непрерывного” инвариантов: молекулы и ееоснащения. При этом “дискретный” инвариант сопоставляет любой невырожденной системемолекулу Фоменко ее гамильтониана (определение 2.4.5), которая характеризует класс траекторной эквивалентности системы (т.е. класс послойной эквивалентности ее гамильтониана)согласно предложению 2.4.6. Известно, что разбиение пространства Hnondeg (M ) невырожденных гамильтоновых систем на связные компоненты классов траекторной эквивалентности является стратификацией с понятной локальной структурой (см.
§2.5.2), каждый страт которой(называемый стратом Максвелла) является “гладким подмногообразием конечной коразмерности” (определение 4.1.17 (C)). Поэтому “непрерывный” инвариант Болсинова-Фоменкофактически является совокупностью “частичных” инвариантов C 0 -сопряженности, каждыйиз которых определен и непрерывен (и даже является субмерсией, см. §4.3.2) лишь на некотором классе траекторной эквивалентности в Hnondeg (M ), т.е. на отдельных стратах Максвелла.После этого сразу возник следующий естественный вопрос. Какие из обнаруженных ими“частичных” инвариантов продолжимы в некоторую окрестность соответствующего класса траекторной эквивалентности (до непрерывного инварианта C 0 -сопряженности в смысленекоторой C r –топологии)? Другими словами, что происходит с частичными инвариантамиC 0 -сопряженности гамильтоновых систем при гладком возмущении систем? В каких случа228ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ229ях C 0 -несопряженные системы остаются C 0 -несопряженными после C r -малого возмущения?Или наоборот, когда C 0 -несопряженные системы можно сделать C 0 -сопряженными в результате выбора подходящего C r -малого возмущения? Изучению этой задачи и посвящена настоящая глава.
Оказалось, что в некоторых важных случаях можно доказать относительнуюпродолжимость частичных инвариантов Болсинова-Фоменко по отношению к некоторымклассам возмущений (т.е. по отношению к некоторым стратам Максвелла, примыкающимк данному). Выяснилось далее, что в значительной мере продолжимость (или наоборотнепродолжимость) частичных инвариантов Болсинова-Фоменко зависит от топологии рассматриваемой двумерной поверхности. Если поверхность не является сферой (с выколотымиточками) и обладает определенными свойствами симметрии, то, как выяснилось, некоторые частичные инварианты являются относительно продолжимыми.
Более точные вопросы(Q1)—(Q5), (Q1’) и (Q2’) о продолжимости инвариантов и устойчивой C 0 -несопряженностисистем будут сформулированы ниже в §4.1.5.Основными результатами данной главы являются следующие:• введены бесконечная серия бициклических “атомов” (бифуркаций линий уровня морсовских функций Гамильтона) и ее бесконечная подсерия вполне бициклических атомов(определения 4.5.4 и 4.5.14),• обнаружены относительно-продолжимые m–инварианты (определение 4.1.22 и замечание 4.3.13) гамильтоновых систем на бициклических атомах (точнее, на отвечающихим стратах Максвелла) по отношению к соответствующим открытым классам “бициклических возмущений” (определение 4.5.5 и теорема 4.5.6),• получены эффективные достаточные условия (следствия 4.5.9 и 4.5.10) относительноустойчивой C 0 -несопряженности (определение 4.1.21) пары гамильтоновых систем набициклическом атоме по отношению к классу бициклических возмущений; этим условиям удовлетворяют почти все пары систем на атоме (см.
комментарий 4.5.3);• получены эффективные достаточные условия (следствия 4.5.16 и 4.5.17) устойчивойC 0 -несопряженности (определение 4.1.19) пары гамильтоновых систем на вполне бициклическом атоме; этим условиям удовлетворяют почти все пары систем на атоме.Сформулируем эти результаты в виде двух теорем.Пусть H(M ) — пространство гамильтоновых систем на поверхности M , функции Гамильтона которых являются функциями Морса F1 ∈ Fnum,fr (M ) с оснащенно-нумерованнымикритическими точками (см. (4.10) и определение 2.2.2 (В)).
Пусть F ∈ Fnum,fr (P ) — функцияМорса с ровно одним критическим значением c ∈ R на компактной поверхности P с краем,K = F −1 (c). Пусть H(F ) = H(P, K) ⊆ H(P ) — пространство систем, функции Гамильтонакоторых топологически послойно эквивалентны функции F (определения 2.2.4 (C) и 4.1.18).Пусть n — число критических точек функции F иΛ : H(F ) → C 0 (K; R) ∼v 7→ Λ(v) = (Λ1 (v), . . . , Λn (v)),= Rn ,1n+1∼[m] : H(F ) → H (K; R) = R , v →7 [m(v)],— грубые Λ- и m-инварианты Болсинова-Фоменко (определение 4.2.9) симплектической сопряженности (определение 4.1.8) гамильтоновых систем v ∈ H(F ) на данном атоме.Теорема 4.1.1 (см.
теорему 4.5.6 и следствия 4.5.9, 4.5.10). Предположим, что топологическая пара (P, K) является бициклическим седловым атомом (определение 4.5.4). ПустьZ1 и Z2 — соответствующая пара ориентированных гамильтоновых циклов графа K, иe ⊂ H(P ) — соответствующий класс бициклических возмущений (см. (4.16) и определеHние 4.5.5) гамильтоновых систем на данном атоме. Тогда:ГЛАВА 4.ИНВАРИАНТЫ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ230(A) ИнвариантB(v) = h[m(v)], [Z1 ] − [Z2 ]i, v ∈ H(F ),является инвариантом C –сопряженности и относительно–C r –продолжим (определениеe бициклических возмущений при любом r ≥ 5.4.1.22) по отношению к классу H(B) Если число граничных окружностей поверхности P равно двум, то инвариант B =B(v) является инвариантом C 0 –сопряженности гамильтоновых систем на данном атоме. Если атом (P, K)# является знакоопределенно-бициклическим (определение 4.3.24), тоинвариант B = B(v) не является инвариантом C 0 –сопряженности.(C) Если пара гамильтоновых систем v1 , v2 ∈ H(F ) на этом атоме удовлетворяет условиям (Λ1 (v1 ) : · · · : Λn (v1 )) 6= (Λ1 (v2 ) : · · · : Λn (v2 )) и B(v1 ) 6= B(v2 ), то системы v1 и v2eотносительно-устойчиво C 0 -несопряжены (определение 4.1.21) по отношению к классу H00бициклических возмущений, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
