Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 74
Текст из файла (страница 74)
все критические точки локальных экстремумов пронумерованы), либоq − qb ≤ 1 (т.е. все седловые критические точки пронумерованы). Условие (3.95) является неe →Ke из следствиятолько необходимым, но и достаточным для того, чтобы проекция K3.3.5(C) являлась гомотопической эквивалентностью. Таким образом, в указанном случаеe →Ke является гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когдапроекция Kвыполнено условие (3.95).Доказательство. (A) Шаг 1. Фиксируем косую цилиндрическую ручку D[f ]top ≈ (D[f ]top ×e Фиксируем “базисные” точe[f ]top косого цилиндрически-полиэдрального комплекса K.U[f ]top )/Γe[f ]top (c0 , u0 ) ∈ D[f ]top .
В силу (3.53) и леммы 3.3.10 группаки (c0 , u0 ) ∈ D[f ]top × U[f ]top и x0 := Γe[f ]top := (stabD 0 f )/(stabD 0 f )0Γдействует свободно на замкнутой выпуклой области U[f ]top векторного пространства Hf1 (см.e[f ]top является регулярным на(3.29), (3.30), (3.31)). Поэтому отображение U[f ]top → U[f ]top /Γкрытием. Из свойств регулярных накрытий получаем, чтоe[f ]top , Γe[f ]top (u0 )) ∼e[f ]top .π1 (D[f ]top , x0 ) ∼= π1 (U[f ]top /Γ=Γe Фиксируем любой нетриШаг 2.
Докажем несжимаемость ручки D[f ]top в полиэдре K.e[f ]top , где h0 ∈ stabD 0 f . Этому элементу отвечаетвиальный элемент h0 mod (stabD 0 f )0 ∈ Γпрямолинейный путь γ из точки (c0 , u0 ) в точку (h∗0 (c0 ), h∗0 (u0 )) в D[f ]top × U[f ]top . Здесь мывоспользовались выпуклостью многогранников D[f ]top и U[f ]top . Пусть γe — поднятие пути γ наручку D[f ]top . Путь γe замкнут, т.е. является петлей. Надо показать, что петля γe нестягиваемаeв K. Применим к гомотопическому классу [eγ ] ∈ π1 (D[f ]top , x0 ) петли γe следующую цепочкугомоморфизмов (a)—(d).e явля(a) По теореме 3.5.6 существует гомотопическая эквивалентность a : F → D 0 × K,1ющаяся композицией гомотопических эквивалентностей и гомеоморфизма F ∼ F ∼ F1 ∼e ∞ ∼ D 0 × K.e Рассмотрим гомотопически обратное отображение b : D 0 × Ke →FF0 ≈ D 0 × Kи его ограничениеb[f ]top : D[f ]top → F, x 7→ b(idM , x), x ∈ D[f ]top ,на ручку {idM }×D[f ]top .
Рассмотрим индуцированный гомоморфизм фундаментальных групп:(b[f ]top )# : π1 (D[f ]top , x0 ) → π1 (F, f0 ),ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА216где f0 := b(idM , x0 ) — “базисная” функция Морса, [f0 ]top [f ]top . Без ограничения общностисчитаем, что Cf0 ,λ = Cf,λ при любом λ = 0, 1, 2.(b) Сопоставляя каждой функции Морса множество Cf,λ ее критических точек каждогоиндекса λ = 0, 1, 2, получаем отображение)( C , C , C ⊂ int M, |C | = p, |C | = q,01 0 1 2,π : F → Qp,q,r (int M ) := (C0 , C1 , C2 ) |C2 | = r, |C0 ∪ C1 ∪ C2 | = p + q + rf 7→ (Cf,0 , Cf,1 , Cf,2 ),пространства F функций Морса в конфигурационное пространство Qp,q,r (int M ).
Возьмемнабор c0 := (Cf0 ,0 , Cf0 ,1 , Cf0 ,2 ) ∈ Qp,q,r (int M ) в качестве “базисной” конфигурации точек. Проекция π индуцирует гомоморфизмπ# : π1 (F, f0 ) → π1 (Qp,q,r (int M ), c0 )фундаментальных групп.(c) Согласно [50], проекцияρ : D → Qp,q,r (int M ),h 7→ (h(Cf0 ,0 ), h(Cf0 ,1 ), h(Cf0 ,2 )),является локально-тривиальным расслоением со слоемD ∗ (c0 ) := {h ∈ D | h(Cf0 ,λ ) = Cf0 ,λ , λ ∈ {0, 1, 2}}над точкой c0 . Для локально-тривиального расслоения ρ рассмотрим естественный гомоморфизм монодромииµρ : π1 (Qp,q,r (int M ), c0 ) → π0 (D ∗ (c0 ), idM ).(d) Рассмотрим гомоморфизмπ0 (D ∗ (c0 ), idM ) → Aut(Hf10 ),D ∗ (c0 )h 7→ h∗ ,сопоставляющий компоненте D ∗ (c0 )h линейной связности любого диффеоморфизма h ∈ D ∗ (c0 )в D ∗ (c0 ) индуцированный автоморфизм h∗ ∈ Aut(Hf10 ) группы Hf10 относительных 1-мерныхкогомологий пары (M \ (Cf0 ,0 ∪ Cf0 ,2 ), Cf0 ,1 ).Рассмотрим композицию гомоморфизмов из (a)—(d):π1 (D[f ]top , x0 ) → π1 (F, f0 ) → π1 (Qp,q,r (int M ), c0 ) → π0 (D ∗ (c0 ), idM ) → Aut(Hf10 ),(3.96)сопоставляющую любой петле γe в косой ручке D[f ]top с базисной точкой x0 следующие объекты:(a) соответствующая петля b[f ]top ◦ γe в пространстве F функций Морса с базисной точкойf0 ;(b) индуцированная петля γb := π ◦b[f ]top ◦eγ в конфигурационном пространстве Qp,q,r (int M )с базисной точкой c0 ;(c) соответствующий диффеоморфизм монодромии h1 ∈ D ∗ (c0 ) с точностью до изотопиив D ∗ (c0 ), где диффеоморфизм h1 с точностью до изотопии в D ∗ (c0 ) определяется условиемµρ (bγ ) = D ∗ (c0 )h1 ;(d) действие h∗1 ∈ Aut(Hf10 ) диффеоморфизма монодромии h1 на группе Hf10 относительных1-мерных когомологий пары (M \ (Cf0 ,0 ∪ Cf0 ,2 ), Cf0 ,1 ).В пункте (a) нетрудно добиться того, чтобы все гомотопические эквивалентности F ∼ F1 ∼F1 ∼ F0 и соответствующие гомотопии были согласованы с проекциями π : F → Qp,q,r (int M )и π ◦ Forg : F → Qp,q,r (int M ).
Действительно: это выполнено по построению для всех отображений кроме F1 → F1 (которое можно подправить подходящим образом), а именно: согласнотеореме 3.2.5 (т.е. [143, теорема 2.5]) забывающее отображение и отображение включенияF1 → F1 ,→ F являются гомотопическими эквивалентностями; по теореме 3.5.4 имеем гомотопическую эквивалентность F1 ∼ F0 , согласованную с проекцией π ◦ Forg.
Кроме того,ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА217e ∞ является D 0 -эквивариантным исогласно §3.4.3 (т.е. [135, §4]) гомеоморфизм F0 ≈ D 0 × Ke ∞ . Отсюда следует, что диффеоморфизм h1 ∈ D ∗ (c0 ) изсогласован с проекцией Ev : F0 → Kпункта (c) имеет вид h1 = h0 с точностью до изотопии в D ∗ (c0 ). Но для диффеоморфизма h0индуцированный автоморфизм h∗0 ∈ Aut(Hf1 ) не имеет неподвижных точек в подмножествеe[f ]top на подмножестве U[f ]top ⊂ H 1 согласно шагуU[f ]top ввиду свободности действия группы Γf0e1 и ввиду нетривиальности элемента h0 mod (stabD 0 f ) ∈ Γ[f ]top . В частности, автоморфизмh∗0 ∈ Aut(Hf1 ) отличен от тождественного.Итак, сквозной гомоморфизм (3.96) переводит гомотопический класс [eγ ] ∈ π1 (D[f ]top , x0 )1∗петли γe в автоморфизм h0 ∈ Aut(Hf ), отличный от тождественного. Поэтому гомотопическийкласс [b[f ]top ◦ γe] = (b[f ]top )# ([eγ ]) из пункта (a) нетривиален, т.е.
петля b[f ]top ◦ γe нестягиваема в0e поэтому гомотопная ей петля (idM , γF. Значит, петля a ◦ b[f ]top ◦ γe нестягиваема в D × K,e)e а потому и в {idM } × K.e Итак, петля γe атоже нестягиваема в D 0 × K,e нестягиваема в K,eпотому косая ручка D[f ]top несжимаема в K.e[f ]top тривиШаг 3. Предположим, что выполнено (3.95). Покажем, что каждая группа Γальна.В силу леммы 3.3.10 группаe[f ]top := (stabD 0 f )/(stabD 0 f )0Γдействует свободно на замкнутой выпуклой области U[f ]top векторного пространства Hf1 , апотому действует эффективно на пространстве Hf1 . Поэтому гомоморфизм1e[f ]top → Γe∗Γ[f ]top ⊂ Aut(Hf ),h mod (stabD 0 f )0 7→ h∗ ,является мономорфизмом, т.е. имеет тривиальное ядро. Значит, достаточно доказать триви1e∗альность каждой индуцированной группы Γ[f ]top ⊂ Aut(Hf ).1e∗Покажем сначала тривиальность подгруппы (D 0 ∩ Θf )∗ ⊆ Γ[f ]top ⊂ Aut(Hf ).
Действительно: в случае q = 1 группа Θ∗f тривиальна, так как n(f ) = 0 в (3.33). В случае (p − p∗ + r −r∗ )(p − p∗ + q − q ∗ + r − r∗ − 1) = 0 воспользуемся явным описанием (3.43) набора образующихгруппы (D 0 ∩ Θf )∗ . В случае p − p∗ + r − r∗ = 0 все точки локальных экстремумов закреплены, поэтому никакая окружность Z` из (3.33) не может ограничивать диск, содержащийне более одной закрепленной критической точки и не менее одного седла, а также не можетограничивать цилиндр, содержащий одну граничную окружность и не менее одного седла ине содержащий закрепленных критических точек, кроме того никакая пара окружностей из(3.33) не может ограничивать цилиндр, не содержащий ни одной закрепленной критическойточки.
В случае p − p∗ + q − q ∗ + r − r∗ = 1 все кроме одной критической точки закреплены,поэтому любая разбивающая окружность Z` из (3.33) и любая пара окружностей из (3.33)обладают такими же свойствами как выше. Итак, подгруппа (D 0 ∩ Θf )∗ тривиальна.1e∗Отсюда и из леммы 3.3.10 следует, что группа Γ[f ]top ⊂ Aut(Hf ) конечна и свободно дейe∗ствует на области U[f ]top . Поэтому группа Γтривиальна ввиду выпуклости области U[f ]top .[f ]tope∗Шаг 4. Предположим, что невыполнено (3.95). Покажем, что хотя бы одна из групп Γ[f ]topнетривиальна.
Имеем q ≥ 2, p − p∗ + r − r∗ > 0 и p − p∗ + q − q ∗ + r − r∗ ≥ 2. Возьмемтакую функцию f ∈ F1 , что существует окружность Z` из (3.33), которая ограничиваетдиск, содержащий не более одной закрепленной критической точки и содержащий ровноe∗одно седло. Тогда подгруппа (D 0 ∩ Θf )∗ ⊆ Γ[f ]top нетривиальна согласно описанию (3.43) еенабора образующих.(B) Предположим, что либо p − pb ≤ 1 и r − rb ≤ 1, т.е. все критические точки локальныхэкстремумов пронумерованы, либо q − qb ≤ 1, т.е. все седловые критические точки пронумеe и проекциярованы. Согласно следствию 3.3.5(C) существуют полиэдральный комплекс Ke →Ke со свойствами из этого следствия.KГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА218e → Ke является гомотопической эквивалентностью.
ТоПредположим, что проекция Ke односвязны, так как их образы суть замкнутые клеткигда все ручки D[f ]top комплекса Ke а потому стягиваемы в K.e Но в силу (A) из односвязности всех ручекмногогранники в K,следует равенство (3.95).Докажем обратное. Предположим, что выполнено равенство (3.95).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
