Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Отсюдаe → hm при m∗2222∗2222eeи из равенств hm (df2 + α2 ) = df + α , hme2 ) = df + αe следует, что hme → hm всюду наe (df2 + αM при me → m. Поэтому диффеоморфизм hm непрерывно зависит от m ∈ S k−1 , т.е. сфероидH непрерывен.Так как D 0 = Diff 0 (M, C) и количество фиксированных точек |C| = p∗ + q ∗ + r∗ > χ(M ),то топологическая группа D 0 стягиваема (см. (3.2)), откуда сфероид H непрерывно продолe : σ k → D 0 , m 7→ eжается на всю замкнутую клетку σ k . Пусть Hhm – такое продолжение.(k)1fОпределим отображение ρk : M → F формулойρk |σk : σ k → F1 ,m 7→ eh∗m (esf ◦ `σ (m)).Оно однозначно и является продолжением отображения ρk−1 , так какρk |∂σk : m 7→ h∗m (esf ◦ `σ (m)) = h∗m (S2 (m)) = S1 (m) = ρk−1 |∂σk (m),m ∈ ∂σ k .h∗m (esf ◦ `σ (m))) = Ev(esf ◦ `σ (m)) = m, m ∈ σ k , ввиду (3.86),При этом Ev ◦ ρk |σk (m) = Ev(eоткуда Ev ◦ ρk = idMf(k) .
Итак, существование непрерывного отображения ρ, являющегосяправым обратным Ev, доказано в случае χ(M ) < p∗ + q ∗ + r∗ .Случай 2. Предположим теперь, что p∗ + q ∗ + r∗ ≤ χ(M ). В силу условия (3.19) количествоbf \ C| = pb + qb + rb − (p∗ + q ∗ + r∗ ) отмеченных, но не фиксированных, критических точек|Cлюбой функции f ∈ F превосходит χ(M ) − (p∗ + q ∗ + r∗ ) ≥ 0. Поэтому имеется непустоеef ⊆ Cbf \ C, состоящее из χ(M ) − (p∗ + q ∗ + r∗ ) + 1 > 0 точек. Рассмотримподмножество C∗∗соответствующие подпространства F∗ ⊂ F и (F∗ )1 ⊂ F1 , подгруппы D ∗ ⊂ D и (D ∗ )0 ⊂ D 0 , иf∗ ≈ (F∗ )1 /(D ∗ )0 , см. обозначение 3.4.8.3q-мерное многообразие Mef | = χ(M )+1 > χ(M ), то согласноТак как количество фиксированных точек |C∗ | = |C|+|C∗∗∗fслучаю 1 существует непрерывное отображение ρ : M → (F1 )∗ , такое что Ev∗ ◦ ρ∗ = idMf∗ .∗eТак как количество фиксированных критических точек |C | = |C| + |Cf∗ | ≤ χ(M ) + 1, то по≈лемме 3.4.9 имеется гомеоморфизм i : (F∗ )1 /(D ∗ )0 = (F∗ )1 /(D ∗ ∩ D 0 ) −→ F1 /D 0 .
Положимρ := i ◦ ρ∗ ◦ Ev∗ ◦ (i)−1 ◦ Ev−1f → F1 .: MИз определения отображений Ev, Ev∗ следует, что Ev|Im i = Ev ◦ i ◦ Ev∗−1Ev ◦ ρ = Ev ◦ i ◦ ρ∗ ◦ Ev∗ ◦ (i)−1 ◦ Ev = idMf.−1◦ Ev∗ ◦ i−1 . ПоэтомуГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА202f → F1 , такое что Ev ◦ ρ =Шаг 3. На шаге 2 построено непрерывное отображение ρ : M001fidMf. Определим непрерывное D -эквивариантное отображение i3 : D × M → F формулой∗01i3 (h, m) := h (ρ(m)).
Оно биективно в силу Ev ◦ ρ = idMf, свободности действия D на F и1биективности Ev (см. утверждение 3.4.7). Обратное отображение имеет вид p3 = i−13 : F →f (f, α) 7→ (δ(f, α), Ev(f, α)), где отображение δ : F1 → D 0 определяется условиемD 0 × M,(δ(f, α))∗ (ρ ◦ Ev(f, α)) = (f, α). Его непрерывность доказывается аналогично доказательствунепрерывности сфероида H (см. шаг 2, случай 1).
Так как отображения i3 , p3 непрерывны ивзаимно обратны, они являются взаимно обратными гомеоморфизмами. Утверждение 3.4.10доказано.Доказательство теоремы 3.4.1. Утверждение 3.4.10 доказывает гомеоморфизмы F1 ≈ D 0 ×01f и Forg−1fM1 ([f ]top ) ≈ D × M[f ]top . С учетом (3.2) и того, что отображения включения F ,→ F,−1111F ,→ F и забывающие отображения F → F, F → F и Forg1 ([f ]top ) → [f ]top являютсягомотопическими эквивалентностями согласно теореме 3.2.5 (т.е. [143, теорема 2.5]), получаемтеорему 3.4.1.3.5Специальные оснащенные функции Морса.
Гомотоe при χ(M ) <f∼Kпические эквивалентности F1 ∼ F0, M0В этом параграфе излагаются результаты работы автора [136].В отличие от предыдущих параграфов настоящей главы, в данном параграфе мы в основном предполагаем (для упрощения обозначений), что поверхность M не имеет края иу рассматриваемых функций Морса на M нет фиксированных критических точек. Однакоиз наших результатов (с учетом того, что гомотопическая эквивалентность F0 ,→ F1 в теореме 3.5.4 является D ± -эквивариантной и сохраняющей отображение F1 → M p+q+r /Σp+q+r ,(f, α) 7→ Cf ) непосредственно следуют аналогичные результаты для пространств функцийМорса, у которых некоторые критические точки фиксированы.
Кроме того, результаты идоказательства данного параграфа дословно переносятся на случай поверхностей с краем(по аналогии с предыдущими параграфами), так как граничные окружности играют фактически ту же роль, что и фиксированные критические точки локальных экстремумов.
Поэтомуверна общая теорема 3.5.10.Аннотация: Пусть M — гладкая компактная ориентируемая поверхность. Пусть F — пространство функций Морса на M и F1 — пространство оснащенных функций Морса, снабженные C ∞ топологией. Определено пространство F0 специальных оснащенных функций Морса и доказано,что отображение включения F0 ,→ F1 является гомотопической эквивалентностью. В случае,когда у любой функции из F отмечено не менее чем χ(M ) + 1 критических точек, доказаныe ∼Me где Ke — комплекс оснащенныхf и F ∼ F0 ∼ D 0 × K,гомотопические эквивалентности Kf ≈ F1 /D 0 — универсальное пространство модулей оснащенных функцийфункций Морса, M0Морса, D — группа диффеоморфизмов M , гомотопных тождественному.В данном параграфе продолжается изучение топологии обобщенного пространстваF = Fp,q,r;bp,bq,br;p∗ ,q∗ ,r∗ (M, ∂ + M, ∂ − M )функций Морса на компактной гладкой ориентируемой двумерной поверхности M .
По-прежнему предполагается, что у каждой функции f ∈ F по меньшей мере χ(M ) + 1 критическихточек помечены различными метками (пронумерованы).В §3.2 (т.е. в работе [143]) мы ввели понятие оснащенной функции Морса (определение3.2.2) и доказали гомотопическую эквивалентность F ∼ F1 пространства F функций Морса иГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА203пространства F1 оснащенных функций Морса (теоремы 3.2.1 и 3.2.5 или [143, 132]).
В §3.3 (т.е.e оснащенных функций Морса и содержащего егов [134]) мы описали построение комплекса Kf (см. теоремы 3.3.3, 3.3.13 и 3.3.14, а такжегладкого стратифицированного многообразия Mутверждение 3.4.4). В §3.4 мы доказали (теорема 3.4.1), что в большинстве случаев (см.f где R = R(M ) —(3.19) или (3.94)) имеется гомотопическая эквивалентность F1 ∼ R × M,3111f = M(Mf ) — многообразие,одно из многообразий RP , S , S × S и точка (см. (3.2)), а M10гомеоморфное универсальному пространству модулей F /D оснащенных функций Морса.В данном параграфе определено пространство F0 = F0 (M ) специальных оснащенныхфункций Морса (определение 3.5.3) и доказано, что отображение включения F0 ,→ F1 является гомотопической эквивалентностью (теорема 3.5.4).
Отсюда мы выводим, что комплексe оснащенных функций Морса является строгим деформационным ретрактом многообразияKef (лемма 3.5.8). Тем самым мы доказываем гомотопическую эквивалентность F ∼ R × KM(теоремы 3.5.6 и 3.5.10). То есть, мы сводим задачу об изучении топологии пространства Feфункций Морса к комбинаторной задаче — к изучению топологии полиэдра K.В конце параграфа мы подводим итоги: из основных результатов главы (точнее, из теоe и следствия 3.3.5) мы выворемы 3.5.6, предложения 3.3.15 о строении ручек комплекса K,дим следствие 3.5.9 о топологии пространств F = Fp,q,r (M ) функций Морса (т.е.
в наиболееинтересном для приложений случае — когда поверхность M замкнута и нет отмеченныхкритических точек).3.5.1Ключевые понятия и формулировка основного результатаНапомним некоторые обозначения и определения.Определение 3.5.1 (ср. определения 2.2.1 (Б) и 3.1.3 (D)). Пусть M — гладкая (т.е. классаC ∞ ) замкнутая связная поверхность. Пусть F := Fp,q,r (M ) — пространство функций Морсана M , имеющих ровно p критических точек локальных минимумов, q седловых точек и rточек локальных максимумов. Для каждой функции f ∈ F обозначим через Cf,λ множествоее критических точек индекса λ ∈ {0, 1, 2}; Cf := Cf,0 ∪ Cf,1 ∪ Cf,2 .
Обозначим через F1 подпространство в F, состоящее из функций Морса f ∈ F, у которых все локальные минимумыравны −1, а все локальные максимумы равны 1.Из теоремы С.В. Матвеева (см. теорему 2.1.1 или теоремы 2.6.1 и 2.6.2, т.е. [129, теоремы8 и 8’]) следует, что π0 (F) = 0.Обозначение 3.5.2 (пермутоэдр и его грани, см. доказательство теоремы 2.7.11, шаг 1,или §3.3.2, шаг 1). Пермутоэдр порядка q ∈ N — это вложенный в q-мерное пространствовыпуклый (q − 1)-мерный многогранник, вершины которого получены перестановками коqординат вектора (1, .
. . , q). Опишем его подробнее: пусть e1 , . . . , eqP— стандартный базис R ,qq+1q−1qи пусть P⊂ R — выпуклая оболочка множества точек Pρ = k=1 k − 2 eρk , ρ ∈ Σq .Пермутоэдр Pq−1 имеет ровно q! вершин Pρ , ρ ∈ Σq , а его (q − s)-мерные грани находятся во взаимно однозначном соответствии с упорядоченными разбиениями J = (J1 , . . . , Js )множества {1, . .
. , q} на s непустых подмножеств J1 , . . . , Js . А именно грань τJ , отвечающаяразбиению J, — это выпуклая оболочка множества точек (Σr1 × Σr2 −r1 × . . . × Σrs −rs−1 )(Pρ ),где числа 0 = r0 < r1 < . . . < rs−1 < rs = q и перестановка ρ ∈ Σq однозначно определяютсяусловиями (2.21). Здесь Σr1 × Σr2 −r1 × . . .
× Σrs −rs−1 есть подгруппа группы Σq , отвечающаяразбиению {1, . . . , q} = {1, . . . , r1 } t {r1 + 1, . . . , r2 } t . . . t {rs−1 + 1, . . . , rs }, и действие перестановки σ ∈ Σq на точку Pρ дает точку Pσρ , где (σρ)i := ρσi , 1 ≤ i ≤ q. Из описанияграней многогранника Pq−1 следует, что условие τJb ⊂ ∂τJ равносильно тому, что разбиениеJb получается из разбиения J путем измельчения.ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА204Для каждой функции f ∈ F рассмотрим множество Cf,1 =: {yj }qj=1 ≈ {1, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
