Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 64
Текст из файла (страница 64)
rb = |π0 (∂ + M )| = 0), то χ(M) =(−1)q−1 εg (q), где g — род поверхности M (т.е. χ(M̄ ) = 2 − 2g) и числоεg (q) := [f ]top ∈ F1 / ∼top | s(f ) = 1 определяется производящей функцией Харера-Загье [78]:1+2Xqεg (q)sq+1 tq+1−2g =(2q − 1)!!1+s1−st.ГЛАВА 3.3.4.2ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА187f согласно §§3.3.2—Комбинаторное построение многообразия M3.3.4Шаг 1. Пусть J = (J1 , . . . , Js ) – упорядоченное разбиение множества {1, . . . , q} на s непустыхподмножеств J1 , . . . , Js (т.е. {1, .
. . , q} = J1 t . . . t Js ), где 1 ≤ s ≤ q. Определим числа0 = r0 < r1 < . . . < rs−1 < rs = q и перестановку π ∈ Σq условиями (2.21). Если разбиениеJb получается из разбиения J = (J1 , . . . , Js ) путем измельчения (т.е. разбиения некоторыхмножеств Jk на несколько подмножеств), будем писать Jb ≺ J.Шаг 2. Для каждой функции Морса f ∈ F рассмотрим множество Cf,1 =: {yj }qj=1 ≈{1, . . .
, q} ее седловых критических точек (см. замечание 3.1.7 (C)) и евклидово векторноепространство 0-коцепей (3.21), т.е. пространствоHf0 := C 0 (Cf,1 ; R) = RCf,1 ∼= Rq(3.68)со стандартной евклидовой метрикой. Рассмотрим в пространстве Hf0 внутренность куба:(−1; 1)Cf,1 ≈ (−1; 1)q ⊂ Rq . Рассмотрим “вычисляющую” 0-коцепьc = c(f ) := f |Cf,1 = (c1 , . . .
, cq ) ∈ (−1; 1)Cf,1 ⊂ Hf0 ,т.е. функцию c : Cf,1 → R, сопоставляющую любой седловой точке yj ∈ Cf,1 значение cj :=f (yj ) функции f в этой точке, 1 ≤ j ≤ q. Сопоставим 0-коцепи c = (c1 , . . . , cq ) числоs(c) := |{c1 , . . . , cq }| различных седловых значений и упорядоченное разбиение J = J(c) =(J1 , . . . , Js ) множества седловых точек Cf,1 ≈ {1, . . . , q}, определяемое свойствами (2.21) иcπ1 = . .
. = cπr1 < cπr1 +1 = . . . = cπr2 < . . . < cπrs−1 +1 = . . . = cπrs . (То есть, J – это отношениечастичного порядка на множестве Cf,1 седловых критических точек функции f значениямифункции f |Cf,1 .)В каждом классе изотопности [f ]top ∈ F1 / ∼top отметим ровно одну функцию Морса fэтого класса. Сопоставим классу топологической эквивалентности [f ]top и любому разбиениюJ соответствующие страт и звездообразную область в кубе (−1; 1)Cf,1 :Sf,J := {c0 ∈ (−1; 1)Cf,1 | J(c0 ) = J},S[f ]top = Sf := Sf,J(c(f )) ,Sf,J := {c0 ∈ (−1; 1)Cf,1 | J(c0 ) J},S[f ]top := Sf,J(c(f )) .Рассмотрим также двойственные друг другу векторные пространства (3.29) относительных1-гомологий и относительных 1-когомологий над полем R:Hf,1 := H1 (M \ (Cf,0 ∪ Cf,2 ), Cf,1 ; R) ∼= R2q ,Hf1 := H 1 (M \ (Cf,0 ∪ Cf,2 ), Cf,1 ; R) ∼= HomR (Hf,1 , R) ∼= R2q .(3.69)Рассмотрим ориентированный граф Gf ⊂ M \ (Cf,0 ∪ Cf,2 ), см.
обозначение 3.1.6. Он имеет2q ребер, которые обозначим e1 , . . . , e2q . Обозначим относительный гомологический классориентированного ребра ei через [ei ] ∈ Hf,1 , 1 ≤ i ≤ 2q. Определим в векторном пространствеHf1 ∼= R2q выпуклое подмножество (3.32), т.е.U[f∞]top = Uf∞ := u ∈ Hf1 | u([ei ]) > 0, 1 ≤ i ≤ 2q .Через stabD 0 g обозначим группу изотропии элемента g ∈ F1 относительно естественногоправого действия группы D 0 на F1 , а через (stabD 0 f )0 обозначим ее подгруппу, состоящуюиз всех диффеоморфизмов поверхности M , сохраняющих функцию f и гомотопных idM вклассе гомеоморфизмов M , сохраняющих функцию f .
Рассмотрим покомпонентное правоедействие дискретной группы (3.53), т.е. группыe[f ]top = Γef := (stabD 0 f )/(stabD 0 f )0 ,Γ(3.70)ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА188на прямом произведении S[f ]top × U[f∞]top индуцированными автоморфизмами пространств(3.68), (3.69). Согласно §3.3.2 (т.е. [134, §3.3]), это действие свободно и дискретно, а пространства орбит∞ efstM[f ]top := (S[f ]top × Uf )/Γf ,∞ efstfstM[f ]top := (S[f ]top × Uf )/Γf ⊂ M[f ]top(3.71)являются 3q-мерным открытым многообразием и его (s(f ) + 2q)-мерным подмногообразиемсоответственно.fstfstШаг 3. Изучим взаимосвязь 3q-мерных многообразий M[f ]top , M[g]top для примыкающихклассов топологической эквивалентности [f ]top ≺ [g]top (см.
определение 3.3.2 (D)). Пусть f ∈F1 — отмеченная функция своего класса топологической эквивалентности, и пусть функцияfe ∈ F1 получена малым возмущением функции f ∈ F1 , причем Cfe = Cf . Обозначим через gотмеченную функцию класса топологической эквивалентности [fe]top , J 0 := J(c(fe)), и черезh[f ]top ,J 0 = hf,J 0 := hfe,g ∈ D 0 диффеоморфизм, переводящий линии уровня функции g в линииуровня функции fe с сохранением направления роста (он существует ввиду топологическойэквивалентности функций fe, g). Согласно следствию 2.5.8 (т.е. [145, утверждение 1.1 и §3]),выполнено J 0 J := J(c(f )) и существует сюръекция δ[f ]top множества всех упорядоченныхразбиений J 0 J на множество всех классов топологической эквивалентности [g]top [f ]top(см. определение 3.3.2 (D)), такая что∗0eδ[f ]top : J 0 = J(c(fe)) = J((h−1f,J 0 ) (c(g))) 7→ δJ 0 [f ]top := [f ]top(3.72)(см.
(3.22)). Хотя сопоставление ([f ]top , J 0 ) 7→ hf,J 0 не является однозначным (т.е. диффеоморфизм hf,J 0 зависит, вообще говоря, от возмущенной функции fe, такой что Cfe = Cf иJ(c(fe)) = J 0 ), но в силу нашего критерия топологической эквивалентности функций Морса (см. лемму 2.3.2 или [132, лемма 1]) смежный класс hf,J 0 stabD 0 g Diff 0 (M, Cg ) в группеDiff + (M, Cg ) (т.е. (stabD 0 g)-орбита компоненты связности диффеоморфизма hf,J 0 в группеDiff + (M, Cg )) определен корректно, где через Diff 0 (M, Cg ) ⊂ D 0 обозначена группа диффеоморфизмов пары (M, Cg ), гомотопных idM в классе гомеоморфизмов пары.Рассмотрим индуцированные изоморфизмы векторных пространств:00h∗0f,J 0 : Hf → Hg ,h∗f,J 0 : Hf1 → Hg1 ,(3.73)ef -инвариантные подмножествасм.
(3.68), (3.69). Рассмотрим в (−1; 1)Cf,1 открытые Γ[∂g S[f ]top = ∂[g]top S[f ]top :=Sf,J 0 ⊂ S[f ]top .J 0 ∈(δ[f ]top )−1 ([g]top )Согласно §3.3.2 (т.е. [134, §3]), прямое произведение изоморфизмов в (3.73) индуцирует корректно определенное вложение 3q-мерных открытых многообразий:fstef ,→ Mfstχ[f ]top ,[g]top = χf,g : ∂[g]top M∂g S[f ]top × Uf∞ /Γ[f ]top :=[g]top ,ef (c, u) 7→ Γeg (h∗0 0 (c), h∗ 0 (u)),(c, u) ∈ Sf,J 0 × Uf∞ ,Γf,Jf,Jгде δJ 0 [f ]top = [g]top (см. (3.71), (3.72)).Шаг 4. Предположим, что отмеченные функции f всех классов топологической эквивалентности [f ]top имеют одно и то же множество критических точек Cf,λ = Cf∗ ,λ с учетомметок, λ = 0, 1, 2 (см.
определение 3.1.3 (D) и шаг 2). Рассмотрим топологическое пространство(F1 / ∼top )discr × (−1; 1)Cf∗ ,1 × Hf1∗ ≈ (F1 / ∼top )discr × (−1; 1)q × R2q ,где (F1 / ∼top )discr := F1 / ∼top с дискретной топологией, и его подпространства[[e :=e :=e .X{[f ]top } × S[f ]top × U[f∞]top , X{[f ]top } × S[f ]top × U[f∞]top ⊂ X[f ]top ∈F1 /∼top[f ]top ∈F1 /∼topГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА189e / ∼)/ ∼glue – пространство с факf Пусть Mf := (XОпределение 3.4.3 (многообразие M).e , Ye := Xe / ∼тортопологией, где отношения эквивалентности ∼, ∼glue на множествах Xпорождены следующими отношениями:e ) для каждого класса топологической эквивалентности [f ]top рассмот(отношение ∼ на Xfstрим проекцию {[f ]top } × S[f ]top × U[f∞]top → {[f ]top } × M[f ]top =: υ [f ]top (см.
(3.71)); точки∞множества {[f ]top } × S[f ]top × U[f ]top назовем ∼-эквивалентными, если их образы при этойe ;fst ⊂ υ [f ]top ⊂ Yпроекции совпадают; обозначим υ [f ]top := {[f ]top } × M[f ]tope ; отображения инцидентности) для каждой пары примыкающих(отношение ∼glue на Yклассов [f ]top ≺ [g]top (определение 3.3.2 (D)) рассмотрим вложение соответствующих 3qмерных открытых многообразий, называемое отображением инцидентности этой пары:fstfstχ[f ]top ,[g]top : ∂[g]top M[f ]top ,→ M[g]top ; рассмотрим индуцированное вложение ∂[g]top υ [f ]top :=fst{[f ]top } × (∂[g]top M) ,→ υ [g]top (которое тоже обозначим χ[f ]top ,[g]top ); назовем любую точ[f ]tope и ее образ в υ [g]top ⊂ Ye при данном вложении ∼glue ку множества ∂[g]top υ [f ]top ⊂ Yэквивалентными.e → M,e → Me := X/e ∼⊂ Ye ,f pY : Yf – канонические проекции.
Положим YПусть pX : Xf[f ]top := pY (υ [f ]top ), назовем Mf[f ]top := pY (υ [f ]top ) стратом в M.fMe – гладкое открытое 3q-мерное многообразие с естественной плоской аффиннойТак как Xe тоже являетсяe[f ]top действуют на нем с сохранением связности, то Yсвязностью, и группы Γгладким открытым 3q-мерным многообразием с плоской аффинной связностью, причем пеe ⊂Ye является плоскимресечение любой его связной компоненты υ [f ]top с подмножеством Y(s([f ]) + 2q)-мерным подмногообразием.Пусть D ± = Diff(M, ∂ + M, ∂ − M, C0 , C1 , C2 ) — группа диффеоморфизмов поверхности M ,переводящих каждое множество ∂ + M, ∂ − M , Cλ в себя, λ = 0, 1, 2 (ср. обозначение 3.1.4).Утверждение 3.4.4 ([135, утверждение 3.3] или [134, теорема 4.3], см.
теорему 3.3.14). Вe / ∼glue обладает структурой гладкого 3q-мерного мноf := Yслучае (3.19) пространство Mгообразия, а также плоской аффинной связностью, гладкой относительно этой структуры. Для каждого класса топологической эквивалентности [f ]top отображениеfpY |υ: υ [f ]top → M[f ]topявляется гладким регулярным вложением гладких 3q-мерных многообразий, сохраняющимаффинную связность, а потому подмножествоf[f ]top = pY (υ [f ]top ) ⊂ MfMe→Mf Отображение pY | e : Yf биективно. В частности, страты Mf[f ]top ⊂ Mfоткрыто в M.Yпопарно не пересекаются, являются плоскими (s([f ]) + 2q)-мерными подмногообразиямиf Дискретная группа D ± /D 0 и группа Diff + [−1; 1] действуют на Mfи покрывают все M.справа и слева (соответственно) диффеоморфизмами, сохраняющими аффинную связность,f[f ]top ⊂ Mf (называемых специальстратификацию и систему открытых подмножеств Mными окрестностями стратов), причем индуцированные действия на множестве стратовсогласованы с естественными действиями на множестве F1 / ∼top классов топологическойэквивалентности.3.4.3Гомеоморфизм между универсальным пространством модулейfF1 /D 0 оснащенных функций Морса и многообразием MВ определении 3.2.2 мы ввели понятие оснащенной функции Морса и определили пространства F1 ⊂ F оснащенных функций Морса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
