Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Поэтому пространство орбит S[f ]top /hh∗ i по циклической подгруппе hh∗ i, порожденной автоморфизмом h∗ , не являетсяe не является цилиндрическим.утолщенным цилиндром, а потому комплекс KАналогично показывается, что если r − rb ≥ 2 (т.е. хотя бы две критические точки локальe тоже не является цилиндрическим.ных максимумов не пронумерованы), то комплекс KШаг 2. Докажем обратное: предположим, что все точки локальных минимумов и локальных максимумов пронумерованы (т.е.
p − pb ≤ 1 и r − rb ≤ 1). Покажем сначала, что длялюбой функции Морса f ∈ F1 любой диффеоморфизм h ∈ stabD 0 f переводит в себя каждуювершину и каждое ребро графа Gf (см. обозначение 3.1.6). Действительно: из доказательства леммы 3.3.9 (шаг 1) следует, что индуцированный диффеоморфизмом h автоморфизмpf ◦ h ◦ p−1f графа Wf Кронрода-Риба функции f переводит в себя каждую вершину и каждоеребро графа Wf . Отсюда и из формулы Лефшеца (см.
доказательство леммы 3.3.9, шаг 2)следует, что h переводит в себя каждую вершину и каждое ребро графа Gf .ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА178Отсюда следует, что h содержится в подгруппе, порожденной (stabD 0 f )0 и скручиваниями Дэна вдоль окружностей γ` из (3.34). Значит, индуцированный автоморфизм h∗ = h∗1 ∈Aut(Hf1 ) действует тождественно на утолщенном цилиндре S[f ]top = U[f ]top /(D 0 ∩ Θ[f ]top )∗ ≈(Rc × (S 1 )d ) × P . Итак, действие группы Γ[f ]top на утолщенном цилиндре S[f ]top тривиально.Но так как это действие свободно в силу (3.48) и леммы 3.3.10, то группа Γ[f ]top тривиальна.Поэтому любая косая цилиндрическая ручка D[f ]top ≈ (D[f ] × S[f ]top )/Γ[f ]top является цилинe является цилиндрическим.дрической ручкой D[f ]top ≈ D[f ] × S[f ]top . Значит, комплекс Ke гомотопически(B) Шаг 1. Заметим, что косая цилиндрическая ручка D[f ]top комплекса Kэквивалентна некоторому тору в том и только том случае, когда соответствующая конечная группа Γ[f ] автоморфизмов соответствующего тора (S 1 )d([f ]) действует сдвигами на этомторе (так как в противном случае группа Γ[f ] нетривиально действует на гомологиях тора(S 1 )d([f ]) ).
Последнее равносильно тому, что любой диффеоморфизм h ∈ stabD 0 f переводитв себя каждый открытый цилиндр Z` , 1 ≤ ` ≤ n (см. (3.33)), а также равносильно тому, чтоиндуцированный автоморфизм pf ◦ h ◦ p−1графа Wf переводит в себя каждое внутреннееfребро графа Wf (напомним, что ребро графа Wf называется внутренним, если каждая еговершина имеет степень ≥ 2).Шаг 2. Предположим теперь, что число седел q ≥ 3, число непронумерованных седелq − qb ≥ 2, и выполнено хотя бы одно из неравенств p − pb ≥ 2 и r − rb ≥ 4, а также хотя бы одноиз неравенств p − pb ≥ 4 и r − rb ≥ 2 (т.е. существуют 4 непронумерованных точки локальных экстремумов следующего специального вида: либо два непронумерованных локальныхминимума и два непронумерованных локальных максимума, либо 4 непронумерованных локальных минимума, либо 4 непронумерованных локальных максимума). Тогда существуетфункция Морса f ∈ F1 , для которой существует разбивающее открытое ребро e графа Wfтакое, что одна из связных компонент графа Wf \ e является деревом Te , в прообразе каждойвершины которого при проекции pf : M → Wf содержится ровно одна критическая точкафункции f , причем p−1f (T2 ) содержит ровно 3 седловые точки, в том числе две непронумерованные, а также 4 непронумерованные точки локальных экстремумов специального вида,указанного выше.
Более того, можно подобрать функцию f и ребро e так, чтобы существовал диффеоморфизм h ∈ stabD 0 f , тождественный на p−1f (Wf \ (e ∪ Te )) и переставляющий−1между собой пару связных компонент графа Gf в pf (Te ), пару локальных минимумов илилокальных максимумов в p−1f (Te ), а также еще одну пару локальных минимумов или локаль−1ных максимумов в pf (Te ). Так как h ∈ stabD 0 f переставляет местами некоторые связныекомпоненты графа Gf , то индуцированный автоморфизм pf ◦ h ◦ p−1f графа Wf переставляет некоторые внутренние вершины графа Wf , а потому переставляет некоторые внутренниеe гомоторебра графа Wf . Значит, по шагу 1 косая цилиндрическая ручка D[f ]top комплекса Kпически неэквивалентна тору.Шаг 3. Докажем обратное: предположим, что либо число седел q ≤ 2, либо q − qb ≤ 1 (т.е.все седловые критические точки пронумерованы), либо p − pb ≤ 1 и r − rb ≤ 3, либо p − pb ≤ 3и r − rb ≤ 1 (т.е.
все критические точки локальных минимумов и локальных максимумовпронумерованы кроме, быть может, ≤ 3 точек одного индекса). Покажем, что для любойe гомотопическифункции Морса f ∈ F1 косая цилиндрическая ручка D[f ]top комплекса Kэквивалентна тору. Согласно шагу 1 нужно показать, что любой диффеоморфизм h ∈ stabD 0 fпереводит в себя каждый открытый цилиндр Z` , 1 ≤ ` ≤ n = n([f ]), т.е. что индуцированныйграфа Wf переводит в себя каждое внутреннее ребро графа Wf .автоморфизм pf ◦ h ◦ p−1fРассмотрим несколько случаев.Случай 1.
Пусть число седел q ≤ 2. Если M имеет род 0, то количество n = n([f ]) внутренних ребер графа Риба Wf функции f не превосходит q − 1 = 1, поэтому индуцированныйдиффеоморфизмом h ∈ stabD 0 f автоморфизм pf ◦ h ◦ p−1f графа Wf переводит любое внутренниее ребро графа Wf в себя. Если M имеет положительный род, то q = 2 и M имеетГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА179род 1, граф Wf имеет 0 или 2 внутренних ребер, причем указанные 2 ребра имеют общиеконцы, поэтому для любого диффеоморфизма h ∈ stabD 0 f индуцированный автоморфизмpf ◦ h ◦ p−1f графа Wf тоже переводит в себя каждое внутреннее ребро графа Wf (так какиначе h индуцирует нетождественный автоморфизм 1-мерных гомологий поверхности M ,что противоречит условию h ∈ D 0 ).Случай 2.
Пусть q − qb ≤ 1 (т.е. все седловые критические точки пронумерованы). Тогдалюбой диффеоморфизм h ∈ stabD 0 f переводит в себя каждую вершину графа Gf , а потомуиндуцированный автоморфизм pf ◦ h ◦ p−1f графа Wf переводит в себя каждую внутреннюю(т.е. имеющую степень ≥ 2) вершину графа Wf . Если этот автоморфизм переводит какоелибо внутреннее ребро e графа Wf не в себя, то этот автоморфизм циклически переставляетребро e с несколькими другими внутренними ребрами, имеющими те же концы, что и ребро e,а значит диффеоморфизм h индуцирует нетождественный автоморфизм 1-мерных гомологийповерхности M , что противоречит условию h ∈ D 0 .Случай 3. Пусть теперь p− pb ≤ 1 и r −br ≤ 3.
Без ограничения общности считаем, что p = pb(т.е. все критические точки локальных минимумов пронумерованы, т.е. отмечены), поэтомуколичество непронумерованных точек локальных экстремумов меньше четырех. Рассмотримподграф Wf0 графа Wf из доказательства леммы 3.3.9, шаг 1. Согласно шагу 1 доказательствалеммы 3.3.9, подграф Wf0 содержит внутреннюю вершину графа Wf , и при автоморфизмеpf ◦h◦p−1f графа Wf , индуцированном любым диффеоморфизмом h ∈ stabD 0 f , любая вершинаи любое ребро подграфа Wf0 переходят в себя.Предположим, что существует внутреннее ребро e графа Wf , переходящее не в себя приεkε10автоморфизме pf ◦ h ◦ p−1f . Соединим ребро e и подграф Wf простым путем γ = e1 . .
. ekв графе Wf , где eε11 , . . . , eεkk — последовательные ориентированные ребра этого пути, εi ∈{1, −1}, и путь γ ведет из вершиныA = eb1 (1 − ε1) ∈ Wf02в вершину1 + ε1)∈e2(такой путь единствен с точностью до перепараметризации, так как подграф Wf0 связен исодержит все циклы графа Wf ). Здесь через ebi : [0, 1] → Wf обозначена какая-либо параметризация замкнутого ребра ei графа Wf , согласованная с направлением роста функции0(f ◦ p−1f )|ei . Так как A ∈ Wf и B ∈ e, то вершина A является внутренней и неподвижна приавтоморфизме pf ◦ h ◦ p−1f . Поэтому все ребра пути γ являются внутренними, и без ограничения общности мы можем и будем считать, что все ребра пути γ переходят в себя при0автоморфизме pf ◦ h ◦ p−1f .
Так как e 6⊂ Wf , то ребро e разбивает граф Wf на две связ1ные компоненты. Обозначим через Te компоненту связности вершины B 0 := ebk ( 1−ε)∈eв20подграфе Wf \ e. Имеем Wf ∩ Te = ∅, поэтому Te является деревом, и имеет пустое пересе−1чение со своим образом pf ◦ h ◦ p−1f (Te ) при автоморфизме pf ◦ h ◦ pf графа Wf . Поэтомувсе вершины деревьев Te и pf ◦ h ◦ p−1f (Te ) не являются неподвижными при автоморфизме−1pf ◦ h ◦ pf (Te ), поэтому им отвечают (непронумерованные) критические точки функции f ,не являющиеся неподвижными при диффеоморфизме h. Но так как Te содержит не менеедвух концевых (т.е.
имеющих степень 1 в графе Wf ) вершин, то общее число (непронумерованных) точек локальных экстремумов функции f , не являющихся неподвижными при h, неменьше четырех, что противоречит предположению. Полученное противоречие показывает,что любое внутреннее ребро графа Wf переходит в себя при автоморфизме pf ◦ h ◦ p−1f , чтои требовалось.Аналогично показывается, что если p− pb ≤ 3 и r − rb ≤ 1, то любое внутреннее ребро графаWf переходит в себя при автоморфизме pf ◦ h ◦ p−1f .B = ebk (ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА180Итак, из шага 1 получаем, что в каждом случае 1—3 для любой функции Морса f ∈ F1e гомотопически эквивалентна тору.косая цилиндрическая ручка D[f ]top комплекса KПредложение 3.3.15 доказано.Доказательство следствия 3.3.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
