Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Такой путь единствен (для фиксированной пары компонент), а пото00му stabT f -неподвижен (в силу pf ◦ h ◦ p−1f -инвариантности подграфа Wf ). Отсюда следуетstabT f -неподвижность подграфа Wf0 .Шаг 2. Пусть M 0 ⊂ M — прообраз малой связной окрестности вершины v ∈ Wf при00отображении pf : M → Wf , обозначим c := f (p−1f (v)). Пусть h ∈ stabT f , h(M ) = M , исуществует седловая критическая точка в M 0 , не являющаяся неподвижной при h. Пустьзамкнутая поверхность M 0 получена из M 0 стягиванием в точку каждой компоненты краяM 0 , и h̄ : M 0 → M 0 — индуцированный гомеоморфизм. Без ограничения общности будемсчитать, что ограничение h на каждую h-инвариантную компоненту связности M 0 \ f −1 (c),гомеоморфную (S 1 × (c; c + ε])/(S 1 × {c + ε}), является поворотом вокруг точки S 1 × {c + ε}(по отношению к естественным “полярным” координатам в (S 1 × (c; c + ε])/(S 1 × {c + ε})),тогда эта точка является единственной неподвижной точкой в данной компоненте.
Так какh̄ индуцирует тождественный автоморфизм гомологий H1 (M 0 ) (ввиду h ∈ T ), и все егонеподвижные точки имеют индекс +1, то по формуле Лефшеца количество неподвижныхточек равно χ(M 0 ).Шаг 3. Вершину графа Wf назовем сильно stabT f -инвариантной, если ее степень в графе Wf больше 1 и при любом диффеоморфизме h ∈ stabT f каждая вершина и каждое0ребро графа p−1f (v) ⊂ Gf переходят в себя.
Докажем, что в Wf существует сильно stabT f 0инвариантная вершина. Если вершина v ∈ Wf не является сильно stabT f -инвариантной, толибо ее степень в Wf равна 1, либо найдется такой диффеоморфизм h ∈ stabT f , что количество неподвижных точек соответствующего индуцированного гомеоморфизма h̄ : M 0 → M 0(см.
шаг 2 выше) согласно формуле Лефшеца равно χ(M 0 ) и не меньше суммы kv + degWf0 v0числа kv отмеченных критических точек в p−1f (v) и степени degWf0 v вершины v в графе Wf(т.е. χ(M 0 ) ≥ kv + degWf0 v ≥ 0), откуда вершина v является сферической и kv + degWf0 v ≤ 2(так как в противном случае χ(M 0 ) = kv + degWf0 v = 0, откуда Wf0 = {v}, M — тор и всекритические точки неотмечены, что противоречит (3.19)). Если все вершины графа Wf0 неявляются сильно stabT f -инвариантными, то по доказанному выше каждая вершина v ∈ Wf0сферическая и либо имеет степень 1 в Wf , либо имеет степень degWf0 v ≤ 2 − kv ≤ 2 в Wf0 , откуда граф Wf0 является простой ломаной, все его внутренние вершины неотмечены (так какkv = 0 в случае degWf0 v = 2), а сумма значений kv для концевых (т.е. имеющих степень 1 вграфе Wf ) вершин v ∈ ∂Wf0 , не являющихся граничными, не превосходит 2 − d+ − d− = χ(M )(так как kv ≤ 1 при degWf0 v = 1, и kv ≤ 2 при degWf0 v = 0), откуда общее количествоГЛАВА 3.167ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСАотмеченных критических точек ≤ χ(M ), что противоречит (3.19).
Лемма 3.3.9 доказана.Лемма 3.3.10. Пусть выполнено условие (3.19). Пусть функция Морса f ∈ F1 , класс относительных 1-когомологий u ∈ Uf∞ , диффеоморфизм h ∈ stabT f (см. обозначение 3.1.4(B))и мультискручивание Дэна h1 ∈ Θf удовлетворяют условию h∗ (u) = h∗1 (u). Тогда hh−11 ∈(stabD 0 f )0 , см.
(3.48).Доказательство. По лемме 3.3.9 найдется ребро графа Gf , переходящее в себя при отображении h. Пусть Cf — компонента связности графа Gf , содержащая это ребро, и пусть Z` —открытый цилиндр, одна из компонент границы которого (скажем, нижнее основание ∂ − Z` )имеет общее ребро с графом Cf (см. (3.33)). Тогда любое ребро графа Cf ∪∂ − Z` и цилиндр Z`тоже переходят в себя при отображении h. Так как пути ee` , h1 (ee` ) ⊂ Z` выходят из одной и той−же точки (принадлежащей∂ Z` ), то 1-цепь h(ee` ) − h1 (ee` ) гомологична некоторой линейнойPкомбинации 2qλeориентированныхребероснования∂ + Z` с целыми коэффициентами,i=1 i iпричем все коэффициенты λi либо неотрицательны, либо неположительны одновременно. Но2qXe` ]) = 0λi u([ei ]) = u([h(ee` )] − [h1 (ee` )]) = (h∗ (u) − h∗1 (u))([ei=1по предположению. Так как значение 1-коцикла u ∈ Uf∞ на каждом ориентированном ребреe1 , .
. . , e2q ⊂ Gf положительно (см. (3.32)), то линейная комбинация тривиальна. Значит,[h(ee` )] = [h1 (ee` )], откуда hh−11 |Z` гомотопно idZ` в классе гомеоморфизмов, сохраняющихфункцию f |Z` и переводящих вершины графа ∂Z` в себя. Эти рассуждения показывают (с0использованием связности M ), что hh−11 ∈ (stabD 0 f ) . Лемма доказана.В силу (3.48) и леммы 3.3.10 группа Γf действует свободно на утолщенном цилиндреSf = Uf /(D 0 ∩ Θf )∗ , поэтому она действует свободно на стандартной цилиндрической ручкеDf × Sf допустимыми автоморфизмами (см. лемму 3.3.8), а потому конечна (см. определение3.3.1(B)). Значит, пространство орбитsteDst[f ]top = Df := (Df × Sf )/Γf ≈ (τJ(c(f )) × Uf )/Γf(3.54)является стандартной косой цилиндрической ручкой (см. (3.53) и определение 3.3.1 (C)).stШаг 10. Изучим взаимосвязь стандартных косых цилиндрических ручек Dst[f ]top и D[g]topдля примыкающих классов топологической эквивалентности [f ]top ≺ [g]top .
Пусть f ∈ F1— отмеченная функция Морса класса топологической эквивалентности [f ]top . Для любойграни τ 0 ≺ τJ(c(f )) = D[f ]top = Df обозначим через g ∈ F1 отмеченную функцию классатопологической эквивалентности [g]top = δτ 0 [f ]top (см. (3.22)). Рассмотрим погружение∗00∗∗00∗ ∗0 × [h(u),h∗0||]:τ×S#D×S,c,(D∩Θ)(u)→7h(c),(D∩Θ)h0000gτUfggff,τf,τf,τf,τf(3.55)являющееся прямым произведением изометрии (3.25) евклидовых многогранников и допустимого погружения (3.52) утолщенных цилиндров, т.е. допустимым погружением стандартных цилиндрических ручек (см.
определение 3.3.1(D)). Рассмотрим орбиту грани τ 0 ⊂ ∂Dfпри действии группы Γf (см. (3.53)) изометриями многогранника Df , и следующие два объединения его граней:[[(3.56)Γf (τ 0 ) :=h∗0 (τ 0 ) ⊆τ10 =: ∂[g]top D[f ]top = ∂g Df ,h∈stabD 0 fδτ 0 [f ]top =[g]top1см. (3.22). Включение в (3.56) следует из того, что δh∗0 (τ 0 ) [f ]top = [gh]top = [g]top ввиду включения h ∈ D 0 . Итак, (допустимые) погружения, отвечающие этим граням, имеют одну иту же область значений – стандартную цилиндрическую ручку Dg × Sg . Любые две такиеГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА168грани либо совпадают, либо не пересекаются в силу леммы 3.3.7. Рассмотрим погружение,составленное из (допустимых) погружений этих граней:0∗ ∗(∂g Df ) × Sf # Dg × Sg ,c, (D 0 ∩ Θf )∗ (u) 7→ h∗0(c),(D∩Θ)h(u),00gf,τ1f,τ1(c, u) ∈ τ10 × Uf .
Это отображение корректно определено (и является погружением), так какграни τ10 ∈ (δ[f ]top )−1 ([g]top ) попарно не пересекаются (см. выше). Оно переводит любую Γf орбиту в некоторую Γg -орбиту, так как ввиду (3.28) для любого h ∈ stabD 0 f точки (c, u) ∈0∗ ∗τ10 × Uf и (h∗0 (c), h∗ (u)) ∈ (h∗0 (τ10 )) × Uf переходят в элементы (h∗0f,τ10 (c), (D ∩ Θg ) hf,τ10 (u)) и∗00∗ ∗∗∗0 ∗00∗ ∗ ∗(h∗0f,h∗0 (τ10 ) h (c), (D ∩ Θg ) hf,h∗0 (τ10 ) h (u)) = (h1 hf,τ10 (c), (D ∩ Θg ) h1 hf,τ10 (u)) одной и той жеΓg -орбиты, где h1 ∈ stabD 0 g. Поэтому это погружение индуцирует корректно определенноепогружение пространств орбит:χ[f ]top ,[g]top = χf,g : ((∂g Df ) × Sf ) /Γf # (Dg × Sg )/Γg ,0∗ ∗Γf (c, (D ∩ Θf )∗ (u)) 7→ Γg (h∗0(c, u) ∈ τ10 × Uf ,f,τ10 (c), (D ∩ Θg ) hf,τ10 (u)),где [g]top = δτ10 [f ]top (см.
(3.22)). (Оно является погружением, так как группы Γf , Γg конечныи действуют свободно.) Рассмотрим его ограничение:0(∗)χ[f ]top ,τ 0 = χf,τ 0 := χf,g |((Γf (τ 0 ))×Sf )/Γf : ((Γf (τ 0 )) × Sf ) /Γf ≈ (τ 0 × Sf ) /Γf,τ 0 ≈ef,τ 0 # Dst = Dst = (Dg × Sg )/Γg ≈ (Dg × Ug )/Γeg ,≈ (τ 0 × Uf ) /Γ[g]topg∗ef,τ 0 (c, u) 7→ Γeg (h∗0Γ(c, u)∈ τ 0 × Uf ,f,τ 0 (c), hf,τ 0 (u)),ef,τ 0 / ((D 0 ∩ Θf )(stabD 0 f )0 )/(stabD 0 f )0 , Γef,τ 0 := stabe τ 0 ,Γf,τ 0 := ΓΓfгде гомеоморфизм (∗) следует из того, что при h ∈ stabD 0 f грани τ 0 , h∗0 (τ 0 ) либо совпадают,либо не пересекаются (см.
выше). Итак, областью определения погружения χf,τ 0 являетсякосая граньst0∂τ 0 Dst(3.57)[f ]top = ∂τ 0 Df := ((Γf (τ )) × Sf ) /Γfst0стандартной косой цилиндрической ручки Df = (Df × Sf )/Γf , т.е. образ грани τ × Sf стандартной цилиндрической ручки Df ×Sf при проекции Df ×Sf → Dstf . А областью определенияпогружения χf,g является объединение попарно непересекающихся косых граней ручки Dstf:st∂[g]top Dst[f ]top = ∂g Df := ((∂g Df ) × Sf ) /Γf .(3.58)00st000Подчеркнем, что ∂τ 0 Dst[f ]top = ∂τ1 D[f ]top , χf,τ = χf,τ1 для любой грани τ1 ∈ Γf (τ ).Пусть [f ]top ≺ [g]top ≺ [g1 ]top , причем [g]top = δτ 0 [f ]top , [g1 ]top = δτ 00 [f ]top для некоторыхграней τ 00 ≺ τ 0 ≺ τJ(c) , и пусть f, g, g1 — отмеченные функции своих классов топологическойэквивалентности. Из (3.27) и того, что группы Diff 0 (M, Cg1 ) и stabD 0 g1 действуют тривиальнона косой ручке Dstg1 , получаемχg,g1 ◦ χf,g |∂τ 00 Dstf = χg,h∗0 0 (τ 00 ) ◦ χf,τ 0 |∂τ 00 Dstf = χf,τ 00 = χf,g1 |∂τ 00 Dstf .f,τ(3.59)Покажем, что погружение χf,g является вложением (а потому χf,τ 0 является мономорфизмом стандартных косых цилиндрических ручек, см.
определение 3.3.1(D), ввиду допустимости погружения (3.55)). Предположим, чтоu1 , u2 ∈ Uf∞ ,h∗f,τ 0 (u1 ) = h∗ h∗f,τ10 (u2 )для некоторых h ∈ stabD 0 g и τ10 ≺ Df , таких что δτ10 [f ]top = δτ 0 [f ]top = [g]top . Покажем,e∗ (u2 ), где Γe∗ ⊂ Aut(H 1 ) — группа автоморфизмов относительных когомологий,что u1 ∈ Γfffef = (stabD 0 f )/(stabD 0 f )0 классов отображений. Имееминдуцированная группой Γ∗u1 = (h∗f,τ 0 )−1 h∗ h∗f,τ10 (u2 ) = (hf,τ10 hh−1f,τ 0 ) (u2 )ГЛАВА 3.169ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА= (h0;f,fe1 h1;fe1 ,g hh−1h−1 )∗ (u2 ) = (h0;f,fe1 h1;fe1 ,feh−1)∗ (u2 ) = h∗1 (u2 ),1;fe,g 0;f,fe0;f,feгде “возмущенным” функциям fe, fe1 отвечают грани τ 0 , τ10 по правилу (3.22),h1;fe1 ,fe := h1;fe1 ,g hh−1,1;fe,g(3.60)h1 := h0;f,fe1 h1;fe1 ,feh−1.0;f,feТак как диффеоморфизм h1;fe1 ,fe ∈ D 0 переводит линии уровня функции fe в линии уровняфункции fe1 с сохранением направления роста (в силу h ∈ stabD 0 g), то fe = h2 fe1 h e e для1;f1 ,fнекоторого h2 ∈ Diff + [−1; 1], откуда fe = h2 fe1 (h−1h h e), т.е.
диффеоморфизм h1 ∈ D 00;f,fe1 1 0;f,fпереводит линии уровня функции fe∗ := feh−1в линии уровня функции fe1∗ := fe1 h−1с0;f,fe0;f,fe1сохранением направления роста. Отсюда и из того, что обе “возмущенные” функции fe∗ , fe1∗близки к f и имеют те же критические точки, что и “невозмущенная” функция f , следует,что h1 ∈ Diff(M, ∂ + M, ∂ − M ; Cf,0 , Cf,1 , Cf,2 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
