Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 55
Текст из файла (страница 55)
. . × Θ∗f,e ,где Θ∗f,0 = hh∗1 , . . . , h∗ν0 i,(3.43)−1 ∗∗−1 ∗∗−1 ∗∗∗Θf,k = h(hνk−1 +1 ) hνk−1 +2 , (hνk−1 +2 ) hνk−1 +3 , . . . , (hνk −1 ) hνk i, 1 ≤ k ≤ e,где целые числа 0 ≤ e ≤ n и 0 = ν−1 ≤ ν0 < ν1 < . . . < νe ≤ n зависят от [f ]. Отсюда следует,что ранг группы (D 0 ∩ Θf )∗ равенrank (D 0 ∩ Θf )∗ = d = νe − e.(3.44)Из (3.44) нетрудно вывести, что он не превосходит числа p − p∗ + r − r∗ “плавающих” точеклокальных минимумов и максимумов, а также получить остальные оценки для d из теоремы 3.3.3(C).Описание построения подгруппы Θf,0 ⊂ D 0 ∩ Θf .
Пусть (после подходящей перенумерации цилиндров Z1 , . . . , Zn в (3.33) и соответствующей перенумерации окружностей γ1 , . . . , γn )окружности γ` ⊂ M \ Cf ⊂ M \ C, 1 ≤ ` ≤ ν0 – это все такие окружности множества{γ1 , . . . , γn }, каждая из которых разбивает поверхность M \ C на две части (см. определение 3.1.3, обозначение 3.1.4, замечание 3.1.7), причем объединение Zb` одной из этих двухчастей с окружностью γ` гомеоморфно либо кругу, либо проколотому кругу (т.е.
кругу безодной внутренней точки), либо цилиндру S 1 × [0; 1] (эти условия однозначно определяютуказанную часть Zb` ⊂ M \ C, ограниченную окружностью γ` в M \ C, в случае положительного рода поверхности M или p∗ + q ∗ + r∗ > χ(M ), а в случае нулевого рода поверхностиM и p∗ + q ∗ + r∗ ≤ χ(M ) ее также можно выбрать однозначно, дополнительно потребовав,чтобы она не содержала первую отмеченную критическую точку). Рассмотрим скручиванияДэна h` ∈ stabD f вокруг этих окружностей, 1 ≤ ` ≤ ν0 .
Каждое такое скручивание Дэнапринадлежит группе D 0 , т.е. компоненте связности тождественного диффеоморфизма idMв Diff(M, C). Значит, все элементы построенного подмножества {h1 , . . . , hν0 } ⊂ {h1 , . . . , hn }принадлежат группе D 0 ∩ Θf . Определим подгруппу Θf,0 ⊂ Θf как порожденную диффеоморфизмами h` , 1 ≤ ` ≤ ν0 .Описание построения подгрупп Θf,1 , . . . , Θf,e ⊂ D 0 ∩ Θf . Рассмотрим объединение всехцилиндров в поверхности M \ C, ограниченных парами различных окружностей из множества {γν0 +1 , .
. . , γn } и не содержащих внутри себя других окружностей этого множества. Этообъединение является либо несвязным объединением e ≥ 0 цилиндров, либо тором (в этомслучае M = T 2 , p∗ = q ∗ = r∗ = 0 и pb+bq +br ≥ 1 ввиду (3.19), т.е. все критические точки “плавают” и по крайней мере одна из них отмечена, а окружности γν0 +1 , . . . , γn попарно изотопныв торе M ); в последнем случае положим e = 1, ν1 = n, и заменим указанное объединение цилиндров на один цилиндр, содержащий все окружности γν0 +1 , . . .
, γn и ограниченныйдвумя из этих окружностей, причем этот цилиндр не содержит первую отмеченную критическую точку (эти условия определяют цилиндр однозначно). Пусть (после подходящейперенумерации цилиндров Zν0 +1 , . . . , Zn в (3.33) и соответствующей перенумерации окружностей γν0 +1 , . . . , γn ) окружности γ` , νk−1 < ` ≤ νk – это все окружности в k-ом из этих eцилиндров, причем можем и будем считать, что нумерация окружностей идет в порядке следования этих окружностей в k-ом цилиндре, 1 ≤ k ≤ e. В частности, k-ый цилиндр являетсяобъединением νk − νk−1 − 1 “подцилиндров”, обозначаемых через Zb` и ограниченных парамисоседних окружностей γ` , γ`+1 в k-ом цилиндре, где νk−1 < ` < νk , 1 ≤ k ≤ e. Композицияbh−1` ◦ h`+1 скручиваний Дэна h` и h`+1 (вокруг граничных окружностей цилиндра Z` ), взятыхв противоположных степенях, принадлежит группе D 0 при νk−1 < ` < νk , 1 ≤ k ≤ e.
При1 ≤ k ≤ e определим подгруппу Θf,k ⊂ Θf как порожденную диффеоморфизмами h−1` ◦ h`+1 ,νk−1 < ` < νk .Покажем, что группа (D 0 ∩ Θf )∗ допускает разложение (3.43). Осталось показать, чтоD 0 ∩ Θf ⊆ Θf,0 × Θf,1 × . . . × Θf,e . Дополним набор диффеоморфизмов h1 , . . . , hν0 ∈ Θf,0 ,ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА162∼ nh−1` ◦ h`+1 ∈ Θf,k , νk−1 < ` < νk , 1 ≤ k ≤ e, до набора образующих группы Θf = Z наборомскручиваний Дэна hi , i ∈ A = A(f ), гдеA = A(f ) := {ν1 , ν2 , . . . , νe , νe + 1, νe + 2, .
. . , n} ⊂ {1, . . . , n},|A| = n − νe + e.(3.45)Пусть некоторая композиция h ∈ Θf целых степеней диффеоморфизмов полученного набораобразующих принадлежит группе D 0 ∩ Θf . Покажем, что показатель степени каждого из|A| = n − νe + e диффеоморфизмов hi , i ∈ A, в этой композиции равен нулю.
Произведениеeh этих n − νe + e диффеоморфизмов в тех степенях, в которых они входят в композициюh, также является элементом группы D 0 ∩ Θf , так как отличается от исходной композицииh домножением на элемент из подгруппы Θf,0 × Θf,1 × . . . × Θf,e , содержащейся в D 0 ∩ Θfпо построению. Значит, eh ∈ D 0 ∩ Θf ⊂ D 0 . Так как окружности γi ⊂ (int M ) \ C, i ∈ A,попарно не пересекаются, никакая из них не ограничивает цилиндр или (проколотый илинепроколотый) круг в M \ C, и никакие две из них не ограничивают цилиндр в M \ C,то скручивания Дэна hi , i ∈ A, вокруг этих окружностей (рассматриваемые с точностьюдо изотопии в пространстве гомеоморфизмов пары (M, C)) порождают подгруппу группыHomeo+ (M, ∂ + M, ∂ − M ; C0 , C1 , C2 )/Homeo0 (M, ∂ + M, ∂ − M ; C0 , C1 , C2 ) ∼= D/D 0 классов отображений, изоморфную свободной абелевой группе ранга |A| = n − νe + e (см., например, [51,лемма 2.1(1)] или [28]).
Поэтому показатели степеней всех диффеоморфизмов hi , i ∈ A, равны0. Это завершает доказательство разложения (3.43).Построим специальные (криволинейные) координаты в Uf ⊂ Uf∞ , в которых свободноедействие цилиндра Rn /Z d ∼= Rn−d × (S 1 )d (см. конец шага 6) “выпрямляется”.
Пусть нумерация цилиндров Z1 , . . . , Zn такая же, как в (3.43). Для любого u0 ∈ Uf0 рассмотрим базисv1 (u0 ), . . . , vn (u0 ) в плоскости Span{[ee1 ]∗ , . . . , [een ]∗ } + u0 ⊂ Uf и новый базисvei (u0 ) := vi (u0 ), i ∈ A ∪ {1, . . . , ν0 },vej (u0 ) := vj (u0 ) − vj+1 (u0 ), j ∈ B \ {1, . .
. , ν0 },(3.46)а также отвечающее этому базису разложениеker Hf1 → H 1 (Gf , Cf,1 ; R) = Span {[ee` ]∗ }n`=1 = Span {evi (u0 )}i∈A ⊕ Span {evj (u0 )}j∈B ,где) := {1, . . . , n} \ A. Тогда для каждого u0 ∈ Uf0 ⊂ (Uf0 )∞ любой коцикл ue =Pn B = B(f∗∗ nue[ee]∈Span{[ee]}имеетвид``=1`=1 j jXXue=xi vei (u0 ) +ϕj vej (u0 ),i∈Aj∈Bгде координаты xi , ϕj (i ∈ A, j ∈ B) в n-мерной плоскости Span{[ee1 ]∗ , .
. . , [een ]∗ } + u0 выражаются через координаты ue1 , . . . , uen , u0n+1 , . . . , u02q , по формуламueνk−1 +1ueνkuei,ν<i≤n,x=+...+, 1 ≤ k ≤ e,(3.47)eνku0 ([γi ])u0 ([γνk−1 +1 ])u0 ([γνk ])ueν +1uejuejϕj = 0, 1 ≤ j ≤ ν0 ,ϕj = 0 k−1+ ... + 0, νk−1 < j < νk .u ([γj ])u ([γνk−1 +1 ])u ([γj ])Знаменатели в выражениях для xi и ϕj положительны, так как u0 ∈ (Uf0 )∞ . Таким образом,на множестве Uf∞ мы ввели гладкие регулярные координаты xi ∈ R, ϕj mod 1 ∈ S 1 = R/Z(i ∈ A, j ∈ B), (u0n+1 , . . . , u02q ) ∈ Uf0 . В этих координатах векторные поля ve1 , . . . , ven имеют видvei = ∂/∂xi , vej = ∂/∂ϕj (i ∈ A, j ∈ B), а множества Uf и Sf имеют видxi =U[f ]top = Uf ≈ (RA × RB ) × Uf0 ≈ (Rn−νe +e × Rνe −e ) × Uf0 = Rn × Uf0 ,S[f ]top = Sf ≈ (RA × (S 1 )B ) × Uf0 ≈ (Rn−νe +e × (S 1 )νe −e ) × Uf0 .Отсюда действие группы Θ∗f ∼= Zn на Uf совпадает с целочисленными сдвигами вдоль координат xi , ϕj (i ∈ A, j ∈ B), действие группы (D 0 ∩Θf )∗ ∼= Zνe −e на Uf совпадает с целочисленными сдвигами вдоль координат ϕj , j ∈ B, а действие цилиндра RA × (S 1 )B ∼= Rn−νe +e × (S 1 )νe −eГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА163на Sf совпадает с естественным действием цилиндра сдвигами по себе.
Итак, мы ввели наSf := Uf /(D 0 ∩ Θf )∗ структуру стандартного утолщенного цилиндра (см. определение 3.3.1).Подмножества Uf ⊂ Uf∞ ⊂ Hf1 инвариантны относительно правого действия группы(stabD 0 f )∗ ⊂ Aut(Hf1 ) на Hf1 , а подгруппа (D 0 ∩ Θf )(stabD 0 f )0 нормальна в stabD 0 f , гдечерез (stabD 0 f )0 обозначена подгруппа группы stabD 0 f , состоящая из всех диффеоморфизмов поверхности M , сохраняющих функцию f и гомотопных idM в классе гомеоморфизмовM , сохраняющих функцию f . Поэтому имеется индуцированное правое действие дискретнойгруппыΓ[f ]top = Γf := (stabD 0 f )/((D 0 ∩ Θf )(stabD 0 f )0 )(3.48)0∗∞∞0∗на пространствах орбит Sf = Uf /(D ∩ Θf ) и Sf = Uf /(D ∩ Θf ) .
Так как действие группыΘf на Hf0 тривиально (поскольку не переставляет седловые критические точки), имеем такжеиндуцированное правое действие группы Γf на многограннике Df (см. шаг 2).Лемма 3.3.8. Если выполнено условие (3.19), то индуцированное покомпонентное правоедействие любого диффеоморфизма h ∈ stabD 0 f на прямом произведении(3.49)Df × Sf = τJ(c(f )) × Uf /(D 0 ∩ Θf )∗ ≈ τJ(c(f )) × RA(f ) × (S 1 )B(f ) × Uf0является допустимым автоморфизмом стандартной цилиндрической ручки (определение3.3.1 (B)).Доказательство. Пусть для определенности каждая окружность γ` ⊂ Z` определена условием f (γ` ) = 21 (sup f |Z` + inf f |Z` ). Тогда любой диффеоморфизм h ∈ stabD 0 f индуцируетперестановку на множестве окружностей γ` , 1 ≤ ` ≤ n = n(f ). При этой перестановкекаждая окружность γν0 +1 , .
. . , γn переходит в себя (см. доказательство леммы 3.3.9, шаг 1).То есть, переставляются только окружности γ` , ` ∈ {1, . . . , ν0 } ⊂ B(f ) (и отвечающие имвекторные поля ve` ), а соответствующая перестановка π ∈ Σ|A(f )| тривиальна (см. определение 3.3.1(A)). Если тривиальны также соответствующие автоморфизмы многогранниковb : Df → Df , a : Uf0 → Uf0 и перестановка ρ ∈ Σ|B(f )| , то h переводит в себя каждое седло,каждое ориентированное ребро графа Gf , и каждую окружность γ` , а потому принадлежит(D 0 ∩ Θf )(stabD 0 f )0 , откуда его действие на Df × Sf совпадает с тождественным отображением. Если автоморфизм многогранника b : Df → Df тривиален (что равносильно тому, чтоh переводит каждое седло в себя), то перестановка ρ ∈ Σ|B(f )| окружностей γ` тоже тривиальна, так как в противном случае h нетривиально действует на H1 (M̄ ); тривиальностьавтоморфизма a2 : Uf0 → Uf0 следует из того, что h2 переводит каждое ребро графа Gf всебя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
