Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Пусть M — ориентируемая или неориентируемая компактная поверхность, (f, ξ, ds2 ) ∈ Ffrnum × µ, w` = w` (f )— критическая точка функции Морса f , 1 ≤ ` ≤ p + q + r. Пусть V̄` ⊂ V̄`0 — круги вкасательной плоскости Tw` M радиусов r0 и r00 (см. (3.11) и (3.14)) с центром в нуле всмысле координат x, y и римановой метрики ds2 |w` соответственно.
Тогда в любой точке (x, y) ∈ V̄` справедливы неравенства (а) a(x, y) 6= 0, a(x, y)c(x, y) − b(x, y)2 6= 0; (б)xu(x, y) + yv(x, y) ≥ 54 (x2 + y 2 ); (в) якобиан отображения h` : (x, y) 7→ (u(x, y), v(x, y)) положителен: ux (x, y)vy (x, y) − vx (x, y)uy (x, y) > 0.Следствие 3.2.17 ([143, следствие 8.3]). В условиях леммы 3.2.16 положим ε2 := ( 45 r0 )2 .Тогда для любой точки (u0 , v0 ) круга V̄ := {u2 + v 2 ≤ ε2 } ⊂ R2 существует ровно однаточка (x0 , y0 ) в круге V̄` ⊂ Tw` M со свойством u(x0 , y0 ) = u0 , v(x0 , y0 ) = v0 . Сопоставление(u0 , v0 ) 7→ (x0 , y0 ) задает гладкое вложение кругов β` : V̄ → V̄` , причем погружениеφ0` := β`0 ◦ β` : V̄ → Mявляется вложением и обладает свойством f ◦ φ0` = f (w` ) + u2 − v 2 в случае седловой точкиw` , и f ◦ φ0` = f (w` ) ± (u2 + v 2 ) в случае точки w` локального минимума или максимума. Вчастности, погружение β`0 |β` (V̄ ) : β` (V̄ ) → M является вложением.Замечание 3.2.18.
При замене базиса (e1 , e2 ) на (θ1 e1 , θ2 e2 ) (для θ1 , θ2 ∈ {1, −1}) вложениекруга φ0` : V̄ → M заменится на φ0` ◦ Jθ1 ,θ2 , где диффеоморфизм Jθ1 ,θ2 : V̄ → V̄ определяетсяформулой Jθ1 ,θ2 (u, v) := (θ1 u, θ2 v), (u, v) ∈ V̄ . Поэтому образ Ū` := φ0` (V̄ ) не изменится, авозникающие на нем координаты (u, v) : Ū` → V̄ заменятся на (θ1 u, θ2 v).Окончание доказательства теоремы 3.2.14 [132]. Определим отображение φ` ∈ C ∞ (D̄, M )формулой φ` ( εu0 , εv0 ) := φ0` (u, v), (u, v) ∈ D̄ε0 , 1 ≤ ` ≤ p + q + r. В силу следствия 3.2.17 иусловия e`,1 ∈ ξ` при w` ∈ Cf,0 ∪ Cf,2 (см. построение базиса e`,1 , e`,2 ∈ Tw` M ) отображение φ`является вложением и удовлетворяет утверждениям (А)–(Г) теоремы 3.2.14.
При построениивложения φ0` имелся произвол в выборе базиса (e`,1 , e`,2 ), а именно этот базис был определенс точностью до замены (e`,1 , e`,2 ) на (θ1 e`,1 , θ2 e`,2 ) для любых θ1 , θ2 ∈ {1, −1}, причем прификсированной ориентации поверхности M было выполнено θ1 = θ2 . Отсюда и из формулдля функций u и v в круге V̄` следует, что при указанной замене эти функции заменятся наθ1 u и θ2 u соответственно. Поэтому вложение φ` заменится на φ` ◦ Jθ1 ,θ2 , где диффеоморфизмJθ1 ,θ2 : D̄ → D̄ определяется формулой Jθ1 ,θ2 (eu, ve) := (θ1 ue, θ2 ve), (eu, ve) ∈ D̄. В частности, приГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА147фиксированной ориентации поверхности M (точнее локальной ориентации касательной плоскости Tw` M ) класс смежности Φ` (f, ds2 ) := φ` {±idM } ∈ Emb(D̄, M )/{±idM } (соответственноΦ` (f, ξ, ds2 ) := φ` {±idM }) корректно определен, то есть зависит лишь от пары (f, ds2 ) (соответственно тройки (f, ξ, ds2 )).
Это дает искомый набор отображений Φ` , 1 ≤ ` ≤ p + q + r.Непрерывность функций r00 , ε0 и отображений Φ` , 1 ≤ ` ≤ p + q + r, доказывается аналогичнодоказательству [143, §10] непрерывности отображения p2 .3.2.5Равномерная лемма Морса для оснащенных функций МорсаВ этом разделе формулируется результат из [143, §11].Леммы 3.2.19 и 3.2.20 (соответственно лемма 3.2.20) данного раздела используются длязадания топологии на пространстве F оснащенных функций Морса в §3.2.10 (т.е. в [143, §4.2])и для построения гомотопической эквивалентности i2 : F1 → F1 ×µ в [143, §12] (соответственf и i3 : D 0 × Mf → F1 в §3.4.3 ино при построении и изучении гомеоморфизмов F1 /D 0 ≈ M§3.4.4, см.
доказательства леммы 3.4.5, шаг 3, и утверждений 3.4.7 и 3.4.10).В этом пункте мы предполагаем, что число p + q + r критических точек функций Морсаположительно, а поверхность M не обязательно ориентируема.Пусть (f, α) ∈ F1 — оснащенная функция Морса, см. определение 3.2.2 и замечание 3.2.7.Рассмотрим на M \ (Cf,0 ∪ Cf,2 ) гладкое поле неотрицательно определенных в каждой точкеквадратичных формdš2 := (df )2 + α2 .На M \ Cf оно является римановой метрикой. Аналогично римановым метрикам, этому полюквадратичных форм отвечает функция длины Ľ(γ) регулярных кусочно-гладких путей γ наM \ (Cf,0 ∪ Cf,2 ).
Определим расстояние ρ(x, y) = ρf,α (x, y) := inf(Ľ(γ)), x, y ∈ M \ (Cf,0 ∪Cf,2 ), где нижняя грань берется по регулярным кусочно-гладким путям γ на поверхностиM \ (Cf,0 ∪ Cf,2 ) из x в y.Пусть xi ∈ Cf,0 — точка локального минимума функции f ∈ F1 , 1 ≤ i ≤ p, пусть cj = f (yj )— седловые критические значения, yj ∈ Cf,1 , 1 ≤ j ≤ q, и пусть 0 < R ≤ R− := min{1 + cj } вслучае q > 0, или 0 < R ≤ R− := 2 в случае q = 0. Открытым (соотв. замкнутым) кругомрадиуса R с центром в точке xi в смысле расстояния ρf,α назовем компоненту связностиDxi ,R точки xi в множестве f −1 [−1; −1 + R) (соответственно компоненту связности D̄xi ,R вмножестве f −1 [−1; −1 + R]).
Аналогично определяется круг радиуса R (при 0 < R ≤ R+ :=min{1 − cj } в случае q > 0, или 0 < R ≤ R+ := 2 в случае q = 0) с центром в точке zk ∈ Cf,2локального максимума в смысле расстояния ρf,α , 1 ≤ k ≤ r.Лемма 3.2.19 ([143, лемма 11.1]). Пусть (f, α) ∈ F1 — оснащенная функция Морса, w` ∈Cf,0 ∪ Cf,2 — критическая точка локального минимума (соотв. максимума) функции f , ипусть R0 = R− := minqj=1 {1 + cj } > 0 (соотв. R0 = R+ := minqj=1 {1 − cj } > 0) в случае q > 0,и R0 = R− = R+ := 2 в случае q = 0. Тогда:(A) В открытом круге Dw` ,R0 радиуса R0 с центром в точке w` в смысле расстоянияρf,α существуют регулярные координаты u, v, принимающие значения в {u2 + v 2 < R0 }, вкоторыхudv − vdu,f |Dw` ,R0 = ±(u2 + v 2 ) + f (w` ), α|Dw` ,R0 = κ` 2u + v2см.
определение 3.2.2. В частности, в этих координатах D̄w` ,R = {u2 + v 2 ≤ R} для любогоR ∈ (0; R0 ).(B) В любом круге Dw` ,R , 0 < R ≤ R0 , координаты u, v с этими свойствами определеныоднозначно, с точностью до преобразований (u, v) 7→ (u cos ϕ0 − v sin ϕ0 , u sin ϕ0 + v cos ϕ0 ),где ϕ0 ∈ [0; 2π) — произвольная константа.Ниже строятся аналогичные регулярные координаты u, v в окрестностях седловых критических точек yj ∈ Cf,1 , принимающие значения в {u2 + v 2 < ε3,j } и непрерывно зависящиеГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА148от пары (f, α), 1 ≤ j ≤ q, где числа ε3,j = ε3,j (f, α) > 0 непрерывно зависят от оснащеннойфункции Морса (f, α) ∈ F1 и строятся так.
Определим вещественное число dj1 ,j2 = dj2 ,j1 равным расстоянию ρf,α (yj1 , yj2 ) между седловыми точками yj1 , yj2 ∈ Cf,1 при 1 ≤ j1 < j2 ≤ q.ej = Lej (f, α) := inf(Ľ(γ)) > 0, где нижняя грань берется по замкнутымОпределим число Lкусочно-гладким нестягиваемым путям γ на поверхности M \ (Cf,0 ∪ Cf,2 ) с началом и концомв точке yj ∈ Cf,1 , 1 ≤ j ≤ q.
Определим числа ε3,j = ε3,j (f, α), 1 ≤ j ≤ q, формулой1e(3.17)ε3,j := min min dj1 ,j , Lj , 1 − cj , 1 + cj ∈ (0; 1] , 1 ≤ j ≤ q, (f, α) ∈ F1 .j1 6=j2Для любого R ∈ (0; ε3,j ] обозначим через Dyj ,R = Dyj ,R (f, α) (соотв. D̄yj ,R = D̄yj ,R (f, α))открытый (соотв. замкнутый) круг радиуса R с центром в седловой критической точке yj всмысле расстояния ρf,α , 1 ≤ j ≤ q. Тогда открытый круг Dyj ,R не содержит других критических точек и точек края ∂M .Лемма 3.2.20 ([143, лемма 11.2]).
Пусть (f, α) ∈ F1 — оснащенная функция Морса, yj ∈ Cf,1— седловая критическая точка функции f , 1 ≤ j ≤ q. Тогда:(А) Для любого R ∈ (0; ε3,j ) замкнутый круг D̄yj ,R с центром в точке yj радиуса Rгомеоморфен стандартному замкнутому кругу.(Б) Более того, в Dyj ,ε3,j существуют положительно ориентированные гладкие координаты u, v, принимающие значения во всем круге {u2 + v 2 < ε3,j }, в которыхf |Dyj ,ε3,j = u2 − v 2 + cj , α|Dyj ,ε3,j = d(2uv), dš2 |Dyj ,ε3,j = 4(u2 + v 2 )(du2 + dv 2 ),(3.18)где cj = f (yj ).(B) Если координаты u, v со свойствами (3.18) существуют в некоторой окрестноститочки yj , то они определены этими свойствами однозначно, с точностью до преобразования (u, v) 7→ (−u, −v).
При этом ρf,α (yj , ·)|Dyj ,ε3,j = u2 + v 2 .3.3e оснащенных функций Морса при χ(M ) <Комплекс K0. Связь с пермутоэдрамиВ этом параграфе излагаются результаты работы автора [134].Все построения и результаты настоящего параграфа относятся к случаю (3.19) и являютсячисто комбинаторными. Точнее, они используют лишь понятия функции Морса и ее малыхдеформаций (см.
критерий топологической эквивалентности возмущенных функций Морсав утверждении 2.5.2), но не используют понятия оснащенных функций Морса (см. определения 3.2.2, 3.5.1(B)). Связь данного параграфа с остальными разделами и с оснащеннымифункциями Морса указана в замечании 3.3.4.Аннотация: Пусть M — гладкая компактная ориентируемая поверхность. Пусть F — пространство функций Морса на M с фиксированным количеством критических точек каждого индекса,причем не менее чем χ(M )+1 критических точек помечены различными метками (пронумерованы).
Введено понятие косого цилиндрически-полиэдрального комплекса, обобщающее понятиеe (“комполиэдрального комплекса. Определен косой цилиндрически-полиэдральный комплекс Kплекс оснащенных функций Морса”), ассоциированный с пространством F. В случае M = S 2e конечен; вычислена его эйлерова характеристика χ(K)e и получены неравенства Морполиэдр Ke Указана связь гомотопических типов полиэдра Ke и пространстваса для его чисел Бетти βj (K).∞F функций Морса, снабженного C -топологией.В предыдущем параграфе §3.2 (т.е. в работе [143]) введено понятие оснащенных функцийМорса на компактной поверхности M и доказана гомотопическая эквивалентность пространства F функций Морса и пространства F оснащенных функций Морса на M .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
