Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 45
Текст из файла (страница 45)
(3.2)) на некоторый счетный (или конечный) полиэдр(3q − 2, q ≥ 2,e =Ke p+d− ,q,r+d+ ;bp+d− ,bq,br+d+ ;p∗ +d− ,q∗ ,r∗ +d+ ,e=Kdim K0,q = 1,e Более того, пространт.е. имеет место гомотопическая эквивалентность F1 ∼ D 0 × K.ство F1 гомеоморфно прямому произведению группы D 0 на некоторое 3q-мерное многообраe в виде своего строгого деформационного ретракта:f содержащее комплекс Kзие M,ef ∼ D0 × KF1 ≈ D 0 × Me(∼ RD 0 × K).ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА132e является объединением подполиэдров D[f ]top ⊂ Ke (называемых “косыми ци(Б) Полиэдр Kлиндрическими ручками”), находящихся во взаимно-однозначном соответствии с классамитопологической эквивалентности [f ]top функций Морса f ∈ F1 .
Каждая косая цилиндрическая ручка D[f ]top гомеоморфна прямому произведениюD[f ]top ≈ (D[f ] × (P[f ] × C[f ] ))/Γ[f ] ∼ (S 1 )d([f ]) /Γ[f ] ,где D[f ] — некоторый выпуклый k([f ])-мерный многогранник, P[f ] — выпуклый многогранник,C[f ] = Rc([f ]) × (S 1 )d([f ]) — цилиндр, k([f ]), c([f ]), d([f ]) ∈ Z+ , [f ] — класс эквивалентностифункции f ∈ F1 , Γ[f ] — конечная группа, действующая свободно на прямом произведенииD[f ] × (P[f ] × (Rc([f ]) × (S 1 )d([f ]) )) автоморфизмами и на торе (S 1 )d([f ]) композициями сдвигови перестановок прямых сомножителей S 1 , см. определение 3.3.1(В). При этом число k =k([f ]) (называемое “индексом” ручки D[f ]top ) имеет вид k = q − s, где s = s([f ]) — количествоседловых значений функции f , а подмножество (∂D[f ] ) × (P[f ] × C[f ] ) ⊂ D[f ]top (называемое“подошвой” ручки D[f ]top ) содержится в объединении конечного числа ручек индексов < k.Для размерности d = d([f ]) тора (S 1 )d верны равенство d = rank ((stabD 0 f )/(stabD 0 f )0 ) иоценка d ≤ min{p − p∗ + r − r∗ , t − 1}, где t = t([f ]) ≤ q — количество связных компонентграфа Gf , см.
обозначение 3.1.6. Если число закрепленных критических точек p∗ + q ∗ + r∗ ≤χ(M ) + 1, то d = t − 1, а при t = q выполнено d ≤ p − p∗ + r − r∗ − q ∗ .(В) Прообраз Forg−1 ([f ]top ∩ F1 ) класса топологической эквивалентности [f ]top ∩ F1 любойфункции Морса f ∈ F1 при проекции Forg1 : F1 → F1 гомотопически эквивалентен прямомупроизведению группы D 0 на соответствующую ручку D[f ]top , а также прямому произведению группы D 0 на соответствующее факторпространство (S 1 )d /Γ[f ] тора:Forg−1 ([f ]top ∩ F1 ) ∼ D 0 × D[f ]top ∼ D 0 × ((S 1 )d /Γ[f ] )(∼ RD 0 × ((S 1 )d /Γ[f ] )).e обладает конечнолистным накрытием, которое является накрытием(Г) Полиэдр Kнекоторого конечного полиэдра K∗ , допускающего разбиение на “косые торические ручки”,e конечен, если p∗ + q ∗ + r∗ + d− + d+ ≤ 3 и χ(M ) +аналогичное разбиению в (Б).
Полиэдр Kd− + d+ = 2 (т.е. когда D = D 0 ).(Д) Предположим дополнительно, что либо p − pb = r − rb = 0 (т.е. все критическиеточки локальных минимумов и локальных максимумов пронумерованы), либо q−bq = 0 (т.е.e является “утолщением”все седловые критические точки пронумерованы). Тогда полиэдр Kнекоторого полиэдраe =Ke p+d− ,q,r+d+ ;bp+d− ,bq,br+d+ ;p∗ +d− ,q∗ ,r∗ +d+Ke → K,e = q − 1, т.е.
имеется эпиморфизм полиэдров Ke при которомразмерности dim Keкаждая косая цилиндрическая ручка D[f ]top ⊂ K индекса k является полным прообразомe Любая косая цилиндрическаяk([f ])-мерной замкнутой клетки-многогранника D[f ]top ⊂ K.ручка D[f ]top ∼ (S 1 )d([f ]) /Γ[f ] гомотопически эквивалентна тору (S 1 )d([f ]) , т.е. группа Γ[f ]e →Ke является гомотопической экдействует на торе (S 1 )d([f ]) сдвигами. Эпиморфизм K∗вивалентностью тогда и только тогда, когда (q−1)(p−p +r−r∗ )(p−p∗ +q−q ∗ +r−r∗ −1) = 0(последнее условие выполнено, например, когда все критические точки локальных минимумов и максимумов закреплены).e вместе с его разбиением на клетки-многогранники DkПолиэдр K[f ]top назовем комплексомe вместе с его разбиением на косые цилиндрические ручки D[f ]topфункций Морса, а полиэдр K— утолщенным комплексом функций Морса или комплексом оснащенных функций Морса.
Вe может быть построен вручную. Свойства инекоторых случаях комплекс функций Морса Keeпримеры комплексов K и K будут приведены в §3.6 и §3.7.6.ГЛАВА 3.3.2.2ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА133Введение C ∞ -топологии на пространствах F, Fnum , D ± , µ, F иFnumВ этом разделе формулируются определения из [143, §4].Напомним определение слабой C ∞ -топологии Уитни на пространстве C ∞ (M, N ), где M, N— гладкие многообразия [86, гл. 2, §4], [100]. Эта топология обладает счетной базой и совпадает с топологией равномерной сходимости со всеми частными производными (струями) накомпактных подмножествах многообразия M .(а) Определим C ∞ -топологию на пространстве C ∞ (M ). Пусть J n (M ) — многообразие nструй на многообразии M , n ∈ Z, n ≥ 0.
Рассмотрим каноническое включениеpn : C ∞ (M ) ,→ C(M, J n (M )).Рассмотрим компактно-открытую топологию на пространстве C(M, J n (M )). Напомним,что предбазой компактно-открытой топологии на C(X, Y ) для топологических пространствX и Y являются множества вида CK,U ⊂ C(X, Y ), где K ⊂ X — компактное подпространство, U ⊂ Y — открытое подпространство, и CK,U ⊂ C(X, Y ) состоит из всех отображений,переводящих K в U . Рассмотрим топологию на C ∞ (M ), базой которой являются прообразыnp−1n (C) открытых подмножеств C ⊂ C(M, J (M )), где n ∈ Z, n ≥ 0.∞(б) Аналогично определяется C -топология на пространстве C ∞ (M, N ), где M, N — многообразия. Для этого рассматривается каноническое включениеC ∞ (M, N ) ,→ C(M, J n (M, N )),где J n (M, N ) — многообразие, состоящее из n-струй отображений M → N , n ∈ Z, n ≥ 0.(в) Аналогично определяется также C ∞ -топология на пространстве Tpq (M ) тензорных полей типа (p, q) на поверхности M , для любых неотрицательных p, q ∈ Z. Для этого рассматривается каноническое включениеTpq (M ) ,→ C(M, (Jpq )n (M )),где (Jpq )n (M ) — многообразие, состоящее из n-струй тензорных полей типа (p, q) на M , n ∈ Z,n ≥ 0.(г) Если G(M ) — одно из пространств C ∞ (M ), C ∞ (M, N ) или Tpq (M ) из пп.
(а)–(в) выше,определим более общее пространство OG(M ) ⊃ G(M ), состоящее из элементов g ∈ G(Ug ),заданных на некотором непустом открытом подмножестве Ug ⊂ M , зависящем вообще говоря от g. Для любого компакта K ⊂ M обозначим через OGK (M ) ⊂ OG(M ) множествотаких элементов g ∈ OG(M ), что K ⊂ Ug . Определим слабую топологию на OG(M ), базойкоторой являются прообразы p−1K (U) открытых подмножеств U ⊂ G(K), где K ⊂ M — непустое компактное подмногообразие (с краем) максимальной размерности dim K = dim M иpK : OGK (M ) → G(K) — каноническая проекция.
Примеры пространств OG(M ) имеютсяв §3.2.10(а) и [143, §10].(д) Если G(M ) — пространство из в п. (г) выше, определим пространство ростков CG(M ) =tK⊂M G(M, K), состоящее из ростков t = [g]K ∈ G(M, K) элементов g ∈ OGK (M ) ⊂ OG(M )в некотором непустом компакте K = Kt ⊂ Ug ⊂ M , зависящем вообще говоря от росткаt. Напомним, что ростком t ∈ G(M, K) на M в (непустом) компакте K ⊂ M называетсякласс эквивалентности элементов g ∈ OG(M ) со свойством K ⊂ Ug , где два таких элементаg1 , g2 ∈ OG(M ) называются эквивалентными, если существует такая окрестность U компакта K в M , что U ⊂ Ug1 , U ⊂ Ug2 и g1S|U = g2 |U .
Определим слабую топологию на CG(M ),базой которой являются объединения K0 ⊂K pK,K0 (U), где K ⊂ M — непустой компакт в M ,U — открытое подмножество в OGK (M ) ⊂ OG(M ) с индуцированной топологией, K0 ⊂ K— непустой компакт в K, pK,K0 : OGK (M ) → G(M, K0 ) ⊂ CG(M ) — каноническая проекция.Примеры пространств CG(M ) имеются в §3.2.10(а) и [143, §10].ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА134C ∞ -топологией на пространстве Fp,q,r (M, ∂ + M, ∂ − M ) ⊂ C ∞ (M ) функций Морса, на группе D 0 ⊂ D ± ⊂ C ∞ (M, M ) диффеоморфизмов и на пространстве µ ⊂ T02 (M ) римановых метрик назовем индуцированную топологию на подпространствах соответствующих пространствиз (а)—(в).3.2.9.
Топология на пространстве Fnum функций Морса с пронумерованными критическими точками.num(M, ∂ + M, ∂ − M ) функций Морса с пронумерованными кри(а) На пространстве Fnum := Fp,q,r+тическими точками на (M, ∂ M, ∂ − M ) (см. определение 2.2.2 (Б)) мы построим такую топологию, что каноническая проекцияFnum → F := Fp,q,r (M, ∂ + M, ∂ − M )является конечнолистным накрытием (т.е.
локально-тривиальным расслоением с конечнымдискретным слоем), а каноническое отображение Fnum → M p+q+r , сопоставляющее любойфункции Морса f ∈ Fnum ее упорядоченный набор критических точек, непрерывно.Напомним определение пространства Fnum . Обозначим через Qp,q,r (int M ) пространствовсех троек (x, y, z), таких что x, y, z ⊂ int M — попарно непересекающиеся подмножества,состоящие из |x| = p, |y| = q и |z| = r точек соответственно.
Пространство Qp,q,r (int M ) имеетестественную структуру многообразия размерности dim(Qp,q,r (int M )) = (p + q + r) dim M =2(p + q + r). Имеется (p!q!r!)-листное накрытиеPr : (int M )p+q+r \ ∆ → Qp,q,r (int M ),Pr : (x1 , . . . , xp , y1 . . . , yq , z1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
