Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Доказательство приведено в [143, §§7—14] и [132]. Вчастности, гомотопические эквивалентности i1 , p1 построены в [143, §7], а p2 , i2 в [143, §9 и§12]. Сформулируем ключевые утверждения, на которых основано доказательство.3.2.4Равномерная D ± -эквивариантная лемма МорсаВ этом разделе излагается результат работ [132, 143], который является ключевым в доказательстве теоремы 3.2.5 (Б) и используется при построении [143, §9] гомотопической эквивалентности p2 : F1 × µ → F1 .
Мы приводим формулировку и основные конструкции доказательства этого результата, так как они используются в доказательстве лемм 2.5.5 и 3.7.2 иутверждения 4.2.12.В этом параграфе мы предполагаем, что число p + q + r критических точек функцийМорса положительно, а поверхность M не обязательно ориентируема. Мы используем обозначение 2.3.1 (А).numПусть Fnum = Fp,q,r(M, ∂ + M, ∂ − M ) — пространство функций Морса с пронумерованными критическими точками, снабженное C ∞ -топологией (см.
определение 2.2.2 (Б)). ПустьP T M — проективизованное касательное расслоение поверхности M . Обозначим через Ffrnum ⊂Fnum × (P T M )p+r подпространство, состоящее из пар (f, ξ), где f ∈ Fnum — функция Морса,ξ — любой набор одномерных подпространств ξ` ⊂ Tw` M касательных пространств Tw` M вкритических точках w` ∈ Cf,0 ∪ Cf,2 локальных минимумов и максимумов функции f . Снабдим пространство Fnum × (P T M )p+r топологией прямого произведения, а подпространствоFfrnum — индуцированной топологией. Обозначим через µ пространство римановых метрик наповерхности M , снабженное C ∞ -топологией.Пусть D̄ — стандартный единичный круг в плоскости R2 .
На круге D̄ рассмотрим естественное (левое) действие группы {±idD̄ } := {idD̄ , −idD̄ } ⊂ SO(2). Пусть Emb+ (D̄, M ) ⊂C ∞ (D̄, M ) — пространство сохраняющих ориентацию гладких вложений D̄ ,→ M , снабженное C ∞ -топологией. На пространстве C ∞ (D̄, M ) рассмотрим естественное (правое) действиегруппы {±idD̄ }, (φ, h) 7→ (φ ◦ h), φ ∈ C ∞ (D̄, M ), h ∈ {±idD̄ }. Рассмотрим индуцированное(правое) действие группы {±idD̄ } на пространстве Emb+ (D̄, M ).
Пусть Emb+ (D̄, M )/{±idD̄ }— пространство орбит этого действия, снабженное фактортопологией.Теорема 3.2.14 (о “равномерных” D ± -эквивариантных локальных координатах в леммеМорса [132]). Пусть p + q + r > 0 и поверхность M ориентирована. Существуют двеГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА144непрерывные положительные функции ε0 , r00 : F × µ → R и набор p + q + r непрерывныхотображенийw` ∈ Cf,1 ,Φ` : Fnum × µ → Emb+ (D̄, M )/{±idD̄ }, (f, ds2 ) 7→ φ` {±idD̄ },+num2Φ` : Ffr × µ → Emb (D̄, M )/{±idD̄ }, (f, ξ, ds ) 7→ φ` {±idD̄ },w` ∈ Cf,0 ∪ Cf,2 ,2num1 ≤ ` ≤ p+q+r, такие, что для любой тройки (f, ξ, ds ) ∈ Ffr ×µ и любого набора представителей φ` ∈ Φ` (f, ds2 ) ⊂ Emb+ (D̄, M ) (соответственно φ` ∈ Φ` (f, ξ, ds2 ) ⊂ Emb+ (D̄, M ))смежных классов, 1 ≤ ` ≤ p + q + r, имеют место следующие утверждения:(А) образы φ` (D̄) вложений φ` : D̄ ,→ M , 1 ≤ ` ≤ p + q + r, попарно не пересекаютсяи отстоят друг от друга и от ∂M на расстоянии ≥ r00 (f, ds2 ) (в смысле метрики ds2 ), апотому содержатся в int M и попарно не пересекаются;uv22(Б) φ` (0, 0) = w` (f ) и f ◦ φ` ( ε0 (f,ds+ f (w` (f )) для любой пары2 ) , ε (f,ds2 ) ) = ±u ± v0uv( ε0 (f,ds2 ) , ε0 (f,ds2 ) ) ∈ D̄, 1 ≤ ` ≤ p + q + r, причем каждой седловой критической точке w` (f )отвечает пара знаков (+, −), а каждой критической точке w` (f ) локального минимума∂) ∈ ξ` ;(максимума) — пара знаков (+, +) (соответственно (−, −)), причем dφ` |(0,0) ( ∂u±0±(В) (D -инвариантность функций ε0 , r0 , D -эквивариантность отображений Φ1 , .
. . , Φp+q+r )для любого диффеоморфизма h ∈ D ± поверхности M выполнено ε0 (f ◦h, h∗ (ds2 )) = ε0 (f, ds2 ),r00 (f ◦ h, h∗ (ds2 )) = r00 (f, ds2 ), а смежный класс Φ` (f ◦ h, h∗ (ds2 )) (соответственно Φ` (f ◦h, dh−1 (ξ), h∗ (ds2 ))) равен либо h−1 ◦ φ` {±idD̄ }, если h сохраняет ориентацию, либо h−1 ◦ φ` ◦J0 {±idD̄ }, если h меняет ориентацию, 1 ≤ ` ≤ p + q + r, где J0 : D̄ → D̄ — отражение вкруге относительно первой координатной оси;(Г) для любой функции Морса g ∈ Fnum , полученной из f перенумерацией критических точек, набор смежных классов Φ` (g, ds2 ) (соответственно Φ` (g, ξ, ds2 )), 1 ≤ ` ≤p+q+r, получается перенумерацией из набора смежных классов Φ` (f, ds2 ) (соответственноΦ` (f, ξ, ds2 )), 1 ≤ ` ≤ p + q + r.Таким образом, в каждой замкнутой координатной окрестности Ū` := φ` (D̄) с координатами u, v (см.
выше) выполнено утверждение классической леммы Морса [104]:f |Ū` = ±u2 ± v 2 + f (w` (f )),1 ≤ ` ≤ p + q + r.(3.10)Доказательство. Пусть f ∈ Fnum — функция Морса и ds2 ∈ µ — риманова метрика наповерхности M . Определим q вещественных чисел: пусть Lj = Lj (f, ds2 ) > 0 — нижняягрань длин замкнутых нестягиваемых кривых в метрике ds2 на проколотой поверхностиM \ (Cf,0 ∪ Cf,2 ) с началом и концом в седловой критической точке yj = yj (f ) ∈ Cf,1 , 1 ≤ j ≤ q.Положим H = H(ds2 ) := max{0, max K} ≥ 0, где K : M → R — гауссова кривизна в метрикеds2 . Положим111 p+q+rπ002√ , min Lj , min ρ(w`1 , w`2 ),min ρ(w` , ∂M ) > 0, (3.11)r0 = r0 (f, ds ) := min3 `1 6=`22 `=12 H 3 jгде ρ(X, Y ) — длина кратчайшего пути между подмножествами X, Y ⊂ M в метрике ds2 .Определим число r00 = r00 (f, ds2 ) > 0 формулой (3.11).В касательной плоскости Tw` M каждой критической точки w` = w` (f ) (1 ≤ ` ≤ p + q + r)рассмотрим открытый круг V`0 ⊂ Tw` M радиуса r00 в смысле метрики ds2 |w` .
На замыканииэтого круга определено экспоненциальное отображениеβ`0 : V̄`0 → M,(3.12)т.е. отображение, переводящее каждый вектор круга в конец геодезической, выпущенной изw` с начальным вектором скорости, равным исходному вектору. Это отображение являетсярегулярным погружением, так как 2√πH — радиус инъективности M , см. [52, §11.8, теорема 11].Образы β`0 (V̄`0 ) этих погружений отстоят друг от друга и от ∂M на расстоянии ≥ r00 , а потомусодержатся в int M и попарно не пересекаются.ГЛАВА 3.145ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСАРассмотрим любой набор ξ одномерных подпространств ξ` ⊂ Tw` M касательных пространств Tw` M в критических точках w` = w` (f ) ∈ Cf,0 ∪ Cf,2 локальных минимумов имаксимумов функции f . Для каждой критической точки w` = w` (f ) ∈ Cf функции f ,1 ≤ ` ≤ p + q + r, выполним следующие построения.(а) Пусть (e1 , e2 ) = (e`,1 , e`,2 ) — положительно ориентированный базис в Tw` M (относительно какой-либо локальной ориентации поверхности M в точке w` ), обладающий следующими свойствами.
Если w` — седловая точка, то базис ортогонален в метрике ds2 |w` наTw` M , а матрица квадратичной формы 12 d2 f |w` в этом базисе является диагональной матрицей diag(1, −1). Если w` — точка локального минимума (максимума), то e1 ∈ ξ` и базис является ортонормированным в метрике, задаваемой положительно определенной квадратичнойформой 21 d2 f |w` (соответственно − 21 d2 f |w` ) на Tw` M . При фиксированном наборе прямых ξэти условия определяют базис с точностью до замены (e1 , e2 ) на (−e1 , −e2 ), а при сменелокальной ориентации эта пара базисов заменяется на (e1 , −e2 ) и (−e1 , e2 ).
Ниже (см. замечания 3.2.15, 3.2.18) и в [143, замечания 9.5, 9.7 и 9.8] показано, что такой произвол в выборебазиса несуществен для однозначного построения замкнутой 1-формы α = α(f, ds2 , ξ) —“оснащения” функции Морса f ∈ F1 , и для однозначного построения оснащенной функцииМорса (fe, αe) ∈ F1 , где fe = fe(f, ds2 ), αe=αe(f, ds2 ).(б) Обозначим через x, y координаты в Tw` M по отношению к базису (e1 , e2 ).
В этих координатах круг V̄`0 является эллипсом {he1 , e1 ix2 + 2he1 , e2 ixy + he2 , e2 iy 2 ≤ r00 2 }, где h, i обознаr0чает скалярное произведение в метрике ds2 |w` на Tw` M . Полуоси этого эллипса равны √ 0λ`,+r00и √λ`,−, гдеq122λ`,± :=a11 + a22 ± (a11 + a22 ) − 4(a11 a22 − a12 ) ,2a11 = he1 , e1 i, a12 = he1 , e2 i, a22 = he2 , e2 i.(в) Рассмотрим в эллипсе V̄`0 ⊂ Tw` M с координатами x, y гладкую функциюfb := f ◦ β`0 .(3.13)ПоложимC :=`, ξ` , ∂ 3 fb(x, y) max0 k 3−k ≥ 0,∂x∂y(x,y)∈V̄` , 0≤k≤3(r0 := min1r0√ , min p 02C `, ξ` λ`,+)> 0,(3.14)где в определении числа C (соответственно r0 ) максимум (соответственно минимум) беретсяпо всем четверкам (`, ξ` , (x, y), k) (соответственно парам (`, ξ` )), где 0 ≤ k ≤ 3, 1 ≤ ` ≤ p+q+r,w` = w` (f ) — критическая точка функции f , ξ` ⊂ Tw` M — любое одномерное подпространствокасательного пространства в этой точке, которое в случае седловой критической точки w`однозначно определим условием e1 ∈ ξ` , и (x, y) — координаты любой точки круга V̄`0 ⊂Tw` M в базисе e1 , e2 ∈ Tw` M (отвечающем прямой ξ` в случае критической точки локальногоминимума или максимума).(г) Следуя доказательству леммы Морса, см.
[104], определим в кругеV̄` := {x2 + y 2 ≤ r02 } ⊂ V̄`0 ⊂ Tw` Mс координатами x, y новые локальные координаты u, v следующим образом. Определим вкруге V̄` функцииZ 1Z 1Z 1Z 1ba(x, y) :=tfxx (tux, tuy)dt du, b(x, y) :=tfbxy (tux, tuy)dt du,000Z1Zc(x, y) :=tfbyy (tux, tuy)dt du,0001(x, y) ∈ V̄` ⊂ Tw` M.ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА146Тогда fb(x, y) = a(x, y)x2 + 2b(x, y)xy + c(x, y)y 2 + f (w` ). Поэтому при выполнении неравенстваa(x, y) 6= 0 (которое будет доказано в лемме 3.2.16 ниже) выполнено2 2b(x,y)b(x,y)fb|V̄` (x, y) = a(x, y) x +y + c(x, y) −y 2 + f (w` ).(3.15)a(x, y)a(x, y)Определим в круге V̄` функцииb(x, y)1/2x+y ,u = u(x, y) := |a(x, y)|a(x, y)2 1/2b(x,y) y.v = v(x, y) := c(x, y) −a(x, y) (3.16)Согласно (3.15) и (3.16), имеем fb|V̄` (x, y) = f (w` )±u(x, y)2 ±v(x, y)2 , (x, y) ∈ V̄` , квадратичнаяформа (3.10) от функций u, v.Замечание 3.2.15. Нетрудно видеть, что при замене базиса (e1 , e2 ) на (θ1 e1 , θ2 e2 ) (для θi ∈{1, −1}, i = 1, 2) константы H, r00 , C, r0 и круг V̄` не изменятся, а для любой точки круга V̄`координаты (x, y) этой точки заменятся на (θ1 x, θ2 y), а потому значения функций u(x, y),v(x, y) в этой точке заменятся на θ1 u(x, y), θ2 v(x, y).Лемма 3.2.16 (о локальных координатах в лемме Морса [132, лемма 2]).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
