Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 46
Текст из файла (страница 46)
. . , zr ) 7→ ({x1 , . . . , xp }, {y1 . . . , yq }, {z1 , . . . , zr }),Sгде ∆ij := {(w1 , . . . , wp+q+r ) ∈ (int M )p+q+r | wi = wj }, ∆ := 1≤i<j≤p+q+r ∆ij — “диагональ”пространства (int M )p+q+r . Рассмотрим отображение(bx, yb, zb) : F → Qp,q,r (int M ),сопоставляющее любой функции f ∈ F тройку множеств (bx(f ), yb(f ), zb(f )) ∈ Qp,q,r (int M ) еекритических точек локальных минимумов, седловых точек и точек локальных максимумовсоответственно. Из теоремы о неявных функциях следует, что отображение (bx, yb, zb) непрерывно. Имеем каноническое включениеFnum ⊂ F × (int M )p+q+r \ ∆ ,Fnum = (f, x̄, ȳ, z̄) ∈ F × (int M )p+q+r \ ∆ | (bx(f ), yb(f ), zb(f )) = Pr(x̄, ȳ, z̄) .Снабдим пространство F × ((int M )p+q+r \ ∆) топологией прямого произведения, а его подпространство Fnum — индуцированной топологией.Другими словами, топологическое пространство Fnum вместе с канонической проекцией Pr0 : Fnum → F — это в точности (p!q!r!)-листное накрытие (bx, yb, zb)∗ Pr, индуцированное(p!q!r!)-листным накрытием Pr посредством непрерывного отображения (bx, yb, zb), см.
[34, гл. 1,§9, п. 2] или [58, 9.7.2, с. 368]. Действительно, коммутативная диаграмма/FnumPr0F(bx,by ,bz)(int M )p+q+r \ ∆/PrQp,q,r (int M ).показывает, что пространство Fnum является “обратным образом” (pullback) непрерывногоотображения (bx, yb, zb) и накрытия Pr.Таким образом, для определенной выше топологии на Fnum каноническая проекция Fnum →F является (p!q!r!)-листным накрытием, а каноническое отображение Fnum → (int M )p+q+r \∆непрерывно. Эта топология — слабейшая среди всех топологий на Fnum с этими свойствами.ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА135(б) На пространстве функций Морса Fp,q,r;bp,bq,br;0,0,0 (M, ∂ + M, ∂ − M ), у которых пронумерованы лишь некоторые из критических точек, топология определяется аналогично.(в) На произвольном обобщенном пространстве функций МорсаF := Fp,q,r;bp,bq,br;p∗ ,q∗ ,r∗ (M, ∂ + M, ∂ − M ) ⊂ Fp,q,r;bp,bq,br;0,0,0 (M, ∂ + M, ∂ − M )и на его подпространстве F1 ⊂ F вводится индуцированная топология.
Как в (а) доказывается, что канонические проекции Pr0 : Fnum → F и Pr0 |F1,num : F1,num → F1 являются((p − pb)!(q − qb)!(r − rb)!)-листными накрытиями.3.2.10. Топология на пространствах F и Fnum оснащенных функций Морса.(а) Пусть для определенности поверхность M ориентируема, F := Fp,q,r (M, ∂ + M, ∂ − M ). Изопределения 3.2.2 оснащенной функции Морса следует, что для любой оснащенной функцииМорса (f, α) ∈ F и любой критической точки w ∈ M функции f существуют вещественноечисло r > 0 и гладкое вложение h ∈ Emb(Dr , M ) открытого круга Dr := {u2 + v 2 < r} ⊂ R2радиуса r > 0 в поверхность M , задающее в окрестности h(Dr ) ⊂ M точки w = h(0, 0)регулярные координаты u, v со свойствами из определения 3.2.2.
Согласно §3.2.5 (т.е. [143,§11]), росток [h]{(0,0)} ∈ CEmb(R2 , M ) вложения h в нуле (см. §3.2.2(б,д)) определен либо сточностью до поворотов Rϕ : (u, v) 7→ (u cos ϕ − v sin ϕ, u sin ϕ + v cos ϕ), ϕ ∈ R, если w — критическая точка локального минимума или максимума (см. лемму 3.2.19), либо с точностью доцентральной симметрии Rπ : (u, v) 7→ (−u, −v), если w — седловая критическая точка (см.лемму 3.2.20(Б)). Поэтому множество H(f,α),w ⊂ CEmb(R2 , M ) всех таких ростков [h]{(0,0)}(для данной оснащенной функции Морса (f, α) ∈ F и данной критической точки w = h(0, 0)индекса λ ∈ {0, 1, 2}) гомеоморфно либо окружности (при λ = 0, 2), либо двухточечномумножеству (при λ = 1).Пусть A := CEmb(R2 , M )/S 1 и B := CEmb(R2 , M )/{±id} — факторпространства пространства CEmb(R2 , M ) по действию группы всех поворотов Rϕ и подгруппы {R0 , Rπ } ={±id} соответственно (см.
выше). Пусть PrA : CEmb(R2 , M ) → A и PrB : CEmb(R2 , M ) → B— канонические проекции. Для любого топологического пространства X и любого натурального числа n ∈ N обозначим через Qn (X) := X n /Σn пространство всех n-элементныхподмножеств (т.е. n-точечных конфигураций) пространства X с естественной топологией,где группа перестановок Σn действует на X n перестановками сомножителей. Имеем каноническое включениеF ⊂ F × OΛ1 (M ) × Qp (A) × Qq (B) × Qr (A) =: X,(f, α) 7→ f, α, {PrA (H(f,α),w )}w∈bx(f ) , {PrB (H(f,α),w )}w∈by(f ) , {PrA (H(f,α),w )}w∈bz(f ) ,где F := Fp,q,r (M, ∂ + M, ∂ − M ).
Снабдим пространства F, OΛ1 (M ) и CEmb(R2 , M ) слабойC ∞ -топологией как в §3.2.2(а),(в,г),(б,д) соответственно, пространства A и B — фактортопологией, пространства Qp (A), Qq (B), Qr (A) — топологией конфигурационных пространств,пространство X — топологией прямого произведения, а его подпространство F — индуцированной топологией.+−(б) На пространстве Fnump,q,r (M, ∂ M, ∂ M ) и на любом обобщенном пространстве оснащенных функций Морса F := Fp,q,r;bp,bq,br;p∗ ,q∗ ,r∗ (M, ∂ + M, ∂ − M ) топология определяется аналогично §3.2.9(б,в). Подпространство F1 ⊂ F снабжается индуцированной топологией.
Какв §3.2.9(а) доказывается, что канонические проекции Fnum → F и F1,num → F1 являются((p − pb)!(q − qb)!(r − rb)!)-листными накрытиями.3.2.3Гомотопическая эквивалентность F ∼ F1В этом разделе для полноты изложения строится “строгая деформационная” ретракцияp0 : F → F1 и доказывается теорема 3.2.5(А). Как мы отмечали выше, теорема 3.2.5 является уточнением теоремы [143, теорема 2.5] в части (iii). Отметим, что часть (iii) теоремыГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА1363.2.5 не используется в доказательстве основных результатов диссертации, а представляетсамостоятельный интерес и отвечает на вопрос В.И.
Арнольда 2007 г.Снабдим пространство F обобщенных функций Морса C ∞ -топологией, см. §3.2.9. Введемe F1 ⊂ Fe ⊂ F и покажем, что F1 является строгим деформаципромежуточное пространство F,e аFe — строгим деформационным ретрактом пространстваонным ретрактом пространства F,F.e состоит из функций Морса fe ∈ F, для которых min fe = −1, max fe =Пусть пространство Ff +min f )e Рассмотрением∈ F.1.
По функции Морса f ∈ F построим функцию fe := 2f −(maxmax f −min fотображенияe f 7→ fe = 2f − (max f + min f ) ,(3.4)ρ1 : F → F,max f − min fи гомотопии f 7→ (1 − t)fe + tf , 0 ≤ t ≤ 1, между ним и тождественным отображением idFe является строгим деформационным ретрактом пространства F. При этомполучаем, что Fмы используем, что значения функции fe и гомотопии строятся по значениям функции f , азначит, отображение и гомотопия не выводят из пространства F.С помощью построенной гомотопии легко доказывается следующее утверждение.Утверждение 3.2.11 ([143, утверждение 6.1]).
(А) Строгая деформационная ретракцияe f 7→ fe, является сильно D ± -эквивариантной (см. обозначение 3.1.4 и опреρ1 : F → F,деление 3.2.4) и переводит любую функцию Морса f ∈ F в топологически эквивалентнуюe пересечениеей функцию (см. определение 2.2.4 (B)). В частности, ρ1 ([f ]top ) = [f ]top ∩ F,e линейно связно, и ретракция ρ1 индуцирует биекцию между классами топологи[f ]top ∩ Fe ∈ F/e ∼top .ческой эквивалентности [f ]top ∈ F/ ∼top и [f ]top ∩ F(Б) Ограничение деформационной ретракции ρ1 на класс эквивалентности [f ] любойфункции f ∈ F является сильно D ± -эквивариантной строгой деформационной ретракцией∼eρ1 |[f ] : [f ] −→ [f ] ∩ F,f ∈ F,а потому является сильно D ± -эквивариантной гомотопической эквивалентностью.
В част∼e является сильно D 0 -эквивариантной строности, ограничение ρ1 |[f ]top : [f ]top −→ [f ]top ∩ Fгой деформационной ретракцией, f ∈ F.eПокажем теперь, что F1 является строгим деформационным ретрактом пространства F.1eeЕсли q = 0, то все линии уровня функции f ∈ F связны, а потому F = F и все доказано.e — функция Морса с седловыми критическими значениямиПусть q > 0. Пусть fe ∈ Fc1 , . . . , cq . Будем считать, что все критические точки функций Морса из F пронумерованычислами 1, .
. . , p+q +r (см. замечание 3.1.7), а все граничные компоненты M пронумерованычислами p + q + r + 1, . . . , p + q + r + d+ + d− .Каждой критической точке w` ∈ Cfe,0 ∪ Cfe,2 сопоставим такую седловую точку yb = yb(w` ) ∈Cfe,1 , а каждой компоненте связности δ` края поверхности M — такую седловую точку yb =yb(δ` ) ∈ Cfe,1 , что существует путь в M с началом в точке w` (соотв. на окружности δ` ) иконцом в точке yb, не пересекающий никакую другую компоненту связности линии уровня,содержащую седловую точку. Определим число()ε1 = ε1 (fe) := minmin|fe(w` ) − fe(by (w` ))|, min |fe(δ` ) − fe(by (δ` ))| .w` ∈Cfe,0 ∪Cfe,2δ` ⊂∂MДля каждой точки w` ∈ Cfe,0 ∪ Cfe,2 минимума или максимума обозначим через C` = C` (fe)компоненту связности точки w` в множестве fe−1 (fe(w` ) − ε1 ; fe(w` ) + ε1 ) ⊂ M . Для каждойграничной окружности δ` ⊂ ∂M обозначим через C` = C` (fe) компоненту связности δ` вмножестве fe−1 (fe(δ` ) − ε1 ; fe(δ` ) + ε1 ) ⊂ M .
Тогда открытые множества C` ⊂ M — попарно непересекающиеся открытые диски и “полуоткрытые цилиндры” (гомеоморфные S 1 × [0; 1)).ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСАv = Ia,b (u)13761•0••a•2a+b3•a+2b3-u•bРис. 3.1. График функции Ia,b : R → [0; 1].Se построим функцию f1 ∈ C ∞ (M ), совпадающую с fe на (M \По функции fe ∈ FC` )\w` ∈Cfe,0 ∪Cfe,2SC` , а на каждом C` определим следующим образом.
Пусть для определенности множеδ` ⊂∂Mство C` отвечает либо точке w` ∈ Cfe,2 локального максимума, либо окружности δ` ⊂ ∂ + M (вслучаях локального минимума и δ` ⊂ ∂ − M функция f1 |C` строится аналогично). Обозначимm` = m` (fe) := fe(w` ), соответственно m` = m` (fe) := fe(δ` ). Положим при a < b0,u ≤ 2a+b;3a+2b 1,u≥ 3 ;RuIa,b (u) :=(3.5)332a+b exp( 3t−(a+2b) − 3t−(2a+b) )dt2a+ba+2b3,<u< 3 .a+2b333 R 2a+b3exp( 3t−(a+2b)− 3t−(2a+b))dt3Функция Ia,b : R → [0; 1] является C ∞ -гладкой.
Ее график изображен на рис. 3.1.Зададим функцию f1 |C` формулойf1 |C` (x) := fe(x) + (1 − m` )Im` −ε1 ,m` (fe(x)),x ∈ C` , w` ∈ Cfe,0 ∪ Cfe,2 .Функция Im−ε,m = Im−ε,m (u) принадлежит классу C ∞ (R) при любых m, ε ∈ R, ε > 0. Полуe → C ∞ (M ), fe 7→ f1 . Заметим, что m` ≤ 1, и при m` = 1 получаемчаем отображение ρ2 : Ff1 |C` = fe|C` . Поэтому в случае fe ∈ F1 имеем f1 = fe.Определим гомотопию fe 7→ (1 − t)f1 + tfe, 0 ≤ t ≤ 1. Гладкая функция Im` −ε1 ,m` =0Im` −ε1 ,m` (u) тождественно равна 0 при u < m` − 23 ε1 , и Im(u) ≥ 0 для любого u ∈ R,` −ε1 ,m`поэтому функция f1 локально (т.е.
в достаточно малой окрестности любой точки на M ) является гладкой возрастающей функцией от fe. Следовательно, f1 является функцией Морсас теми же критическими точками, что и fe, и гомотопия также не выводит из пространстваe У функции Морса f1 все локальные минимумы равны −1, локальные максимумы равныF.1, а значит f1 ∈ F1 . Поэтому построена “строгая деформационная” ретракцияe → F1 ,ρ2 : Ffe 7→ f1 .(3.6)Определим отображенияp0 = ρ 2 ◦ ρ 1 : F → F 1 ,f 7→ f1 ,i0 : F1 → F,f1 7→ f1 .По доказанному выше p0 — “строгая деформационная” ретракция и, в частности, p0 ◦i0 = idF1 ,i0 ◦ p0 гомотопно idF .1Обозначение 3.2.12. (A) Обозначим через Flabмножество функций Морса f ∈ F1 , снабженных набором из вещественных меток aδ` , aw` ∈ [−1; 1] в каждой связной компоненте δ` краяповерхности M и в каждой критической точке w` локального экстремума функции f таких,что компонента связности любой точки w` или граничной окружности δ` , в которой f достигает локального минимума (соотв.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
