Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 47
Текст из файла (страница 47)
максимума), в множестве f −1 [−1; aw` ] или f −1 [−1; aδ` ]ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА138(соотв. f −1 [aw` ; 1] или f −1 [aδ` ; 1]) не содержит ни одной седловой критической точки функции1с метками назовем мечеными функциями Морса. Снабдимf . Полученные функции g ∈ Flab1пространство Flab меченых функций Морса C ∞ -топологией. Аналогично (3.6) проверяется,что проекция1πlab : Flab→ F1является гомотопической эквивалентностью.1меченых функций действует группа Diff + [−1; 1] × D ± гомеоморфизНа пространстве Flab−1мами g 7→ h2 ◦g ◦h1 , (h2 , h1 ) ∈ Diff + [−1; 1]×D ± , где метки меченой функции h−12 ◦g ◦h1 опре−1−1−1деляются формулами aw` (h−1◦g◦h):=h(a)иa(h◦g◦h):=h(a1δ`1h1 (w` )h1 (δ` ) ). Меченые2222++±функции, принадлежащие одной Diff [−1; 1]×D -орбите (соотв.
Diff [−1; 1]×D 0 -орбите), назовем эквивалентными (соотв. топологически эквивалентными). Как и для обычных (немеченых) функций, отношение эквивалентности (соотв. топологической эквивалентности) на1пространстве Flabобозначим через ∼ (соотв. ∼top ), а класс эквивалентности через [g] (соотв.[g]top ).1(B) Сопоставим любой меченой функции Морса g ∈ Flabфункцию πlab (g) ∈ F1 , снабженную отношением частичного порядка на множестве {δm } ∪ {w` (πlab (g))} согласно значениямфункции πlab (g) в ее седловых критических точках и значениям меток меченой функции gв граничных окружностях и точках локальных экстремумов (ср.
с определением упорядо1ченного критического графа G≤f из теоремы 2.3.4). Обозначим через F≤ множество функцийМорса f = πlab (g) ∈ F1 , снабженных указанным отношением частичного порядка на множе1с отношениями частичного порядкастве {δm } ∪ {w` (πlab (g))}. Полученные функции f ≤ ∈ F≤указанного вида назовем упорядоченными функциями Морса.1На пространстве F≤упорядоченных функций Морса действует та же группа Diff + [−1; 1]×+≤±D ± гомеоморфизмами f ≤ 7→ h−12 ◦f ◦h1 , (h2 , h1 ) ∈ Diff [−1; 1]×D , где отношение частично≤го порядка для упорядоченной функции h−12 ◦ f ◦ h1 получено “перенесением” отношения частичного порядка для упорядоченной функции f ≤ с помощью диффеоморфизма h−11 .
Упорядоченные функции, принадлежащие одной Diff + [−1; 1] × D ± -орбите (соотв. Diff + [−1; 1] × D 0 орбите), назовем эквивалентными (соотв. топологически эквивалентными). Отношение эк1вивалентности (соотв. топологической эквивалентности) на пространстве F≤обозначим через≤≤∼ (соотв. ∼top ), а класс эквивалентности через [f ] (соотв. [f ]top ). Снабдим каждый классэквивалентности [f ≤ ] упорядоченных функций Морса C ∞ -топологией (однако на всем про1упорядоченных функций Морса мы не будем вводить топологию, так как этостранстве F≤пространство нехаусдорфово для “естественной” топологии на нем).
Имеем проекции11πlab,≤ : Flab→ F≤,1π≤ : F≤→ F1 .Снабдим каждую критическую точку w` локального экстремума функции f1 и каждуюграничную окружность δ` поверхности M меткой fe(w` ) (соотв. fe(δ` )). Обозначим полученнуюмеченую функцию Морса f1lab (обозначение 3.2.12(A)) через1,f2 := f1lab ∈ Flabа соответствующую упорядоченную функцию Морса (обозначение 3.2.12(B)) через1f3 := πlab,≤ (f2 ) ∈ F≤.Имеем отображение1eρlabfe 7→ f2 .(3.7)2 : F → Flab ,lab= ρ2 . Аналогично (3.6) показывается, что ρ2 является гомотопическойЯсно, что πlab ◦ ρlab2эквивалентностью.Следующее утверждение является уточнением утверждения [143, утверждение 6.2] в части(Б).
Отметим, что части (Б) и (В) данного утверждения не используются в доказательствеосновных результатов диссертации, а представляют самостоятельный интерес и отвечают навопрос В.И. Арнольда 2007 г.ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА139Утверждение 3.2.13 (см. [143, утверждение 6.2]). (А) Строгая деформационная ретракцияe → F1 , fe 7→ f1 , сильно D ± -эквивариантна (см. обозначение 3.1.4 и определение 3.2.4).ρ2 : FРетракция ρ2 сохраняет отношение топологической эквивалентности функций Морса (т.е.переводит топологически эквивалентные функции Морса в топологически эквивалентные,см.
определение 2.2.4 (B) и обозначение 3.2.12), и индуцирует сюръекции между соответствующими множествами классов топологической эквивалентности функций.(Б) Отображение1eρlabfe 7→ f2 ,2 : F → Flab ,±сюръективно и является сильно D -эквивариантной (см. обозначение 3.1.4 и определе±ние 3.2.4) гомотопической эквивалентностью. Более того, ρlab2 обладает D -эквивариантным гомотопически обратным и соответствующими D ± -эквивариантными гомотопиями,e → F1 → F1 / ∼top и F1 / ∼top .
Далее, ρlab индуцирует биекциюсохраняющими проекции F2lablablabмножеств классов топологической эквивалентности, а потому и биекцию множеств класна класс топологическойсов эквивалентности. В частности, ограничение сюръекции ρlab2e любой функции fe ∈ Fe в Fe (см. обозначение 3.1.4 и определеэквивалентности [fe]top ∩ Fние 3.2.4) является сильно Diff + [−1; 1] × D ± -эквивариантной гомотопической эквивалентностьюe ∼eρlabe : [f ]top ∩ F −→ [f2 ]top2 |[fe]top ∩Fe и в F1 .между классами топологической эквивалентности в Flab+11(В) Проекция πlab,≤ : Flab → F≤ является Diff [−1; 1] × D ± -эквивариантной и индуцирует биекцию между множествами классов топологической эквивалентности. Ограничение11проекции πlab,≤ : Flab→ F≤на класс топологической эквивалентности [f lab ]top любой мечеlab1ной функции f ∈ Flab (см.
обозначения 3.1.4, 3.2.12 и определение 3.2.4) является сильноDiff + [−1; 1]×D 0 -эквивариантной (см. обозначение 3.1.4 и определение 3.2.4) гомотопическойэквивалентностьюπlab,≤ |[f lab ]top : [f lab ]top → [f ≤ ]top11между классами топологической эквивалентности в Flabи в F≤.11Ограничение проекции π≤ : F≤ → F на класс топологической эквивалентности [f ≤ ]top1(см. обозначения 3.1.4, 3.2.12 и определение 3.2.4)любой упорядоченной функции f ≤ ∈ F≤является конечнолистным накрытиемπ≤ |[f ≤ ]top : [f ≤ ]top → [f ]top ∩ F11и в F1 .между классами топологической эквивалентности в F≤Доказательство. (А) Сильная D ± -эквивариантность строгой деформационной ретракцииρ2 очевидно следует из построения ретракции ρ2 и гомотопии между ней и idFe .
При этомиспользуется, что значения функции f1 и гомотопии строятся по значениям функции fe.e топологически эквивалентны, т.е. ge = h2 ◦ fe ◦ h1 для некоторыхПусть функции fe, ge ∈ Fдиффеоморфизмов h2 ∈ Diff + (R) и h1 ∈ D 0 . В силу D 0 ⊂ D ± и D ± -эквивариантности ρ2 ,имеем ρ2 (eg ) = ρ2 (h2 ◦ fe◦ h1 ) = (ρ2 (h2 ◦ fe)) ◦ h1 , а потому достаточно доказать топологическуюэквивалентность функций Морса ρ2 (fe) = f1 и ρ2 (h2 ◦ fe). Мы докажем существование такогодиффеоморфизма h3 ∈ D 0 , что(h2 ◦ f1 ) ◦ h3 = ρ2 (h2 ◦ fe).(3.8)Обозначим Z` = Z` (fe, h2 ) := C` (fe) ∪ C` (h2 ◦ fe) ⊂ M для каждой точки w` ∈ Cfe,0 ∪ Cfe,2 и длякаждой граничной окружности ∂` ⊂ ∂M .Заметим, что у функций Морса f1 и ρ2 (h2 ◦ fe) те же критические точки, что и у функцииfe, причем локально на M функции f1 и ρ2 (h2 ◦ fe) являются функциями от fe.
Кроме того,всюду на множестве[[M 0 := M \ Z` (fe, h2 ) ∪Z` (fe, h2 )w` ∈Cfe,0 ∪Cfe,2δ` ⊂∂MГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА140(и даже в некоторой окрестности множества M 0 в M ) выполнено h2 ◦ f1 = h2 ◦ fe = ρ2 (h2 ◦ fe).Поэтому на M 0 можно положить h3 |M 0 := idM 0 для выполнения (3.8) в M 0 .Осталось определить h3 на подмножествах Z` = Z` (fe, h2 ). Эти подмножества попарно непересекаются и являются открытыми кругами и “полуоткрытыми цилиндрами” (см. выше),а их замыкания Z̄` — замкнутыми кругами и цилиндрами. На каждом Z̄` ⊂ M функцииf2 := h2 ◦ f1 и ρ2 (h2 ◦ fe) являются гладкими возрастающими функциями от fe с всюду положительной производной, имеют один и тот же минимум и один и тот же максимум, исовпадают с h2 ◦ fe в достаточно малой окрестности граничной окружности Z̄` ∩ M 0 в Z̄` .Поэтому имеется диффеоморфизм bh` отрезка [min(f2 |Z̄` ); max(f2 |Z̄` )] в себя, оставляющийнеподвижными концы отрезка и однозначно определяемый условиемbh` ◦ f2 |Z̄ = ρ2 (h2 ◦ fe)|Z̄ ,``причем bh` совпадает с тождественным диффеоморфизмом в достаточно малой окрестностиконца отрезка, отличного от ±1 (обозначим этот конец через b` ).Пусть для определенности Z̄` либо является замкнутым кругом и содержит точку w` ∈{zk } локального максимума, либо является цилиндром и содержит граничную окружностьδ` ⊂ ∂ + M .
Имеем f2 (Z̄` ) = [b` ; 1] и b` = f2 (∂ Z̄` ) ∈ (−1, 1). Отметим, что bh` (1) = 1 и bh0` > 0 на[b` ; 1], поэтому имеется всюду положительная гладкая функция eh` на [0; 1 − b` ], такая чтоbh` (1 − t) = 1 − teh` (t), 0 ≤ t ≤ 2.Отметим, что eh` ≡ 1 в некоторой окрестности точки 1 − b` в отрезке [0; 1 − b` ]. Пусть дляопределенности Z̄` является кругом. Из леммы Морса [104] следует, что имеется координатный диффеоморфизм(u` , v` ) : Z̄` → {u2 + v 2 ≤ 1 − b` } ⊂ R2 круга Z̄` в стандартный круг√22радиуса √ 1 − b` , такой что f2 |Z̄` = 1 − u` − v` .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
