Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 43
Текст из файла (страница 43)
F1 ) введением нумерации у всех непронумерованных критических точек функцийМорса f ∈ F (соотв. f ∈ F1 ). Наделим его C ∞ -топологией как в §3.2.9. Имеем (p − pb)!(q −qb)!(r − rb)!-листные накрытия Fnum → F и F1,num → F1 .В точности как для обычных функций Морса, определяется оснащение (определение 3.2.2)обобщенной функции Морса f ∈ F, а также пространства F = Fp,q,r;bp,bq,br;p∗ ,q∗ ,r∗ (M, ∂ + M, ∂ − M )и F1 ⊂ F оснащенных обобщенных функций Морса.Напомним определение групп диффеоморфизмов D, D ± и D 0 из обозначения 2.2.3.Обозначение 3.1.4 (ср.
обозначение 2.2.3). (A) Обозначим через Cλ множество C∗f,λ закрепленных критических точек индекса λ (совпадающее для разных функций f ∈ F, см.определение 3.1.3 (D)), λ = 0, 1, 2, положим C := C0 ∪ C1 ∪ C2 ⊂ int M . Обозначим черезD ± = Diff(M, ∂ + M, ∂ − M, C0 , C1 , C2 ) группу всех (не обязательно сохраняющих ориентациюи компоненты края) диффеоморфизмов поверхности M , переводящих каждое множество∂ + M, ∂ − M , Cλ в себя, 0 ≤ λ ≤ 2. Если M ориентируема, обозначим через D ⊂ D ± подгруппусохраняющих ориентацию диффеоморфизмов. Пусть D 0 = Diff 0 (M, C) ⊂ D ± — подгруппа,состоящая из всех диффеоморфизмов h ∈ D ± , изотопных idM в классе гомеоморфизмов пары(M, C). Пространства D 0 ⊂ D ⊂ D ± наделим C ∞ -топологией, см.
§3.2.2(б). Другими словами, D 0 совпадает (как множество, но не как топологическое пространство) с пересечениемD ± и компоненты связности idM в пространстве гомеоморфизмов пары (M, C), снабженномC 0 -топологией.(B) Обозначим через M̄ замкнутую поверхность, полученную из поверхности M стягиванием в точку каждой граничной окружности. Обозначим через T ⊂ D группу (называемуюгруппой Торелли), состоящую из всех диффеоморфизмов h ∈ D, переводящих в себя каждуюкомпоненту края M , и таких что индуцированный гомеоморфизм h̄ : M̄ → M̄ индуцируеттождественный автоморфизм группы гомологий H1 (M̄ ). Имеем D 0 ⊂ T .Всюду далее в данной главе мы предполагаем, что поверхность M ориентирована.
Случайнеориентируемой поверхности M рассмотрен в замечании 3.2.7 ниже.Из результатов [69, 70] К.Дж. Эрля и Дж. Иллса (мл.) следует, что имеется гомотопическая эквивалентностьD 0 ∼ RD 0 ,(3.2)ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА126где RD 0 — следующее многообразие, определяемое парой (M, p∗ + q ∗ + r∗ ) = (M, |C|):SO(3) = RP 3 , если M = S 2 , p∗ + q ∗ + r∗ = 0, SO(2) = S 1 ,если 0 ≤ χ(M ) − (p∗ + q ∗ + r∗ ) ≤ 1 и d+ + d− + (p∗ + q ∗ + r∗ ) > 0,RD 0 :=T 2 = S 1 × S 1 , если M = T 2 , p∗ + q ∗ + r∗ = 0,точка,если χ(M ) < p∗ + q ∗ + r∗(см., например, [122, 69]).
В частности, D 0 линейно связно и, следовательно, совпадает скомпонентой связности idM в D ± .Кроме того,D0 = T⇐⇒|C| ≤ χ(M ) + 1.(3.3)Импликация “⇐” в (3.3) следует из [69, 70], а импликация “⇒” следует из того, что в случае|C| ≥ χ(M ) + 2 существует диффеоморфизм h ∈ T (скручивание Дэна [67] вокруг разбивающей окружности), негомотопный idM в пространстве гомеоморфизмов пары (M, C), см. [51,лемма 2.1(1)] или [28]. В частности, D = D 0 тогда и только тогда, когда p∗ +q ∗ +r∗ +d− +d+ ≤ 3и род поверхности M равен нулю.Отметим, что в §3.4 нам понадобятся оба свойства (3.2) и (3.3) группы D 0 .Напомним основные типы эквивалентности функций Морса (определение 2.2.4) и применим их к обобщенному пространству F функций Морса.Определение 3.1.5 (уточнение определения 2.2.4). (А) Две функции Морса f, g ∈ F назовемэквивалентными, если найдутся такие диффеоморфизмы h1 ∈ D ± и h2 ∈ Diff + (R), чтоf = h2 ◦ g ◦ h1 (и h1 сохраняет нумерацию всех отмеченных критических точек), и обозначаемf ∼ g.
Класс эквивалентности функции f обозначим через [f ].(Б) Две функции Морса f и g назовем топологически эквивалентными, если они эквивалентны и h1 ∈ D 0 (т.е. h1 изотопен тождественному), и обозначаем f ∼top g. Множество всехфункций из F1 , топологически эквивалентных функции f , обозначим через [f ]top .Классификации функций Морса из F с точностью до эквивалентности и топологическойэквивалентности легко получаются из следствия 2.4.11 и теоремы 2.3.4 соответственно.Обозначение 3.1.6 (уточнение обозначения 2.3.1 (Б)). Для любой функции Морса f ∈ Fрассмотрим граф Gf в поверхности int (M ), полученный из графа f −1 (Cf,1 ) выкидыванием всех связных компонент, не содержащих седловых критических точек (см. определение3.1.3 (A)). Этот граф имеет q вершин (являющихся седловыми точками y ∈ Cf,1 ), степенивсех вершин равны 4, а значит в графе 2q ребер.
Если поверхность M ориентирована, то наребрах графа Gf имеется естественная ориентация такая, что в любой (внутренней) точкеребра репер, составленный из положительно ориентированного касательного вектора к ребруи вектора grad f (по отношению к какой-нибудь фиксированной римановой метрике), задаетположительную ориентацию поверхности. Аналогично вводится ориентация на любой связной компоненте линии уровня f −1 (a) функции f (необязательно содержащей критическиеточки), a ∈ R. Обозначим черезs(f ) := |f (Cf,1 )|количество седловых критических значений функции f .3.1.2Схема доказательства основных результатовПредположим, что поверхность M ориентируема.
В §§3.2—3.5 мы докажем гомотопическуюe в случае pb + qb + rb > χ(M ), а в §3.7 — гомотопическую эквиваэквивалентность F ∼ RD 0 × Kлентность F ∼ B в общем случае. Мы также исследуем, когда имеет место гомотопическаяe в случае, если pb + qb + rb > χ(M ) и либо p − pb ≤ 1 и r − rb ≤ 1,эквивалентность F ∼ RD 0 × Kлибо q − qb ≤ 1. Опишем схему доказательства этих результатов в случае pb + qb + rb > χ(M ).ГЛАВА 3.127ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСАПредположим, что pb + qb + rb > χ(M ). Согласно результату [143] (см. теорему 3.2.1 или3.2.5), пространство F имеет своим строгим деформационным ретрактом подпространствоF1 ⊂ F, которое состоит из функций Морса, все локальные максимумы которых равны 1,а все локальные минимумы равны −1; кроме того забывающее отображение Forg1 : F1 →F1 является гомотопической эквивалентностью.
Согласно (3.2), многообразие RD 0 можновложить в группу D 0 в виде ее строгого деформационного ретракта. Осталось доказатьгомотопическую эквивалентностьeF1 ∼ D 0 × K.e ∞ и последоваf и D0 × KДля этого мы введем “промежуточные” пространства F0 , D 0 × Mтельно покажем гомотопическую эквивалентность этих топологических пространств.
У насполучится следующая диаграмма топологических пространств и естественных отображений:Foi0F1 op1F1 × µ oi2F1 oi4≈ p3foD ×M0F0≈ p3 |i4e∞ oD ×K0i5eD0 × Kp6/eD 0 × K,e игде i0 , p1 , i2 — гомотопические эквивалентности, построенные в работе [143], а комплекс Kотображение p6 определены, если либо p− pb ≤ 1 и r −br ≤ 1, либо q − qb ≤ 1. Для каждого отображения p3 , i4 , i4 , i5 (а также для p6 в случае (q−1)(p−p∗ +r−r∗ )(p−p∗ +q−q ∗ +r−r∗ −1) = 0)этой диаграммы будет построено его “гомотопически обратное” отображение i3 , p4 , p4 , p5 (соответственно i6 ), т.е. такое отображение, что композиции ik ◦ pk и pk ◦ ik гомотопны тождественным отображениям, k = 3, 4, 5 (соответственно k = 6).Здесь µ — это пространство C ∞ -гладких римановых метрик на M , снабженное C ∞ -топологией (см.
§3.2.2(в)). Пространство F — это пространство C ∞ -гладких оснащенных функцийМорса, т.е. пар (f, α), где f ∈ F, α — замкнутая 1-форма (на поверхности M с выколотымиточками локальных минимумов и максимумов) с некоторыми свойствами (определение 3.2.2),снабженное C ∞ -топологией (см. §3.2.10). Пространство F1 — подпространство в F, состоящееиз пар (f, α) ∈ F, f ∈ F1 . Подпространство F0 ⊂ F1 состоит из специальных оснащенныхf ≈ F1 /D 0 — пространство модулейфункций Морса (определение 3.5.3). Многообразие Me ∞ ≈ F0 /D 0 — пространство модулей специальных оснащеноснащенных функций Морса, Kных функций Морса.Замечание 3.1.7.
(A) Всюду в формулировках утверждений настоящей главы рассматриваются произвольные обобщенные пространстваF = Fp,q,r;bp,bq,br;p∗ ,q∗ ,r∗ (M, ∂ + M, ∂ − M ),F1 ⊂ F(соответственно F = Fp,q,r;bp,bq,br;p∗ ,q∗ ,r∗ (M, ∂ + M, ∂ − M ) и F1 ⊂ F), состоящие из функций Морса(соответственно оснащенных функций Морса), у которых могут быть как пронумерованные,так и непронумерованные критические точки. Однако в доказательствах в §§3.2—3.5 иногдабудем считать, что F = Fnum , F1 = F1,num и F1 = F1,num (см.
определение 3.1.3 (C)), т.е.что все критические точки функций f ∈ F пронумерованы. Это не ограничивает общности,так как все отображения, построенные в настоящей главе, согласованы с перенумерациями тех критических точек, которые изначально не были отмечены и пронумерованы (т.е.Σp−bp × Σq−bq × Σr−br -эквивариантны относительно действия группы Σp−bp × Σq−bq × Σr−br на пространствах Fnum и Fnum перенумерациями изначально неотмеченных критических точек, см.определение 3.2.4).(B) Согласно определению 3.1.3 и обозначению 3.1.4 обозначим черезCf := Cf,0 ∪ Cf,1 ∪ Cf,2 ,bf := Cbf,0 ∪ Cbf,1 ∪ Cbf,2 ,CC := C0 ∪ C1 ∪ C2множество всех (соответственно всех пронумерованных, соответственно всех закрепленных)bf ⊆ Cf (соответственно Cλ ⊆критических точек функции f ∈ F. Имеем включения C ⊆ CГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА128bf,λ ⊆ Cf,λ , λ = 0, 1, 2) множеств фиксированных критических точек, пронумерованных криCтических точек и всех критических точек (соответственно фиксированных, отмеченных ивсех критических точек индекса λ) функции f .(C) Обозначим множество всех критических точек функции f ∈ F через {w1 , .
. . , wp+q+r } :={x1 (f ), . . . , xp (f ), y1 (f ), . . . , yq (f ), z1 (f ), . . . , zr (f )}, а множества критических точек локальных минимумов, седловых критических точек и точек локальных максимумов функции f ∈ Fчерез{x1 (f ), . . . , xp (f )} := Cf,0 ,{y1 (f ), . . . , yq (f )} := Cf,1 ,{z1 (f ), . . . , zr (f )} := Cf,2соответственно.
Незакрепленные критические точки w` ∈ Cf \C будем называть плавающими.3.2Теорема Кудрявцевой-Пермякова о гомотопической эквивалентности F ∼ F1 ∼ F1 пространств функций Морса и оснащенных функций МорсаВ этом параграфе излагаются результаты работы Е.А. Кудрявцевой и Д.А. Пермякова [143].Аннотация: Пусть M — гладкая, компактная (ориентируемая или неориентируемая) поверхность с пустым или непустым краем. Пусть F — пространство функций Морса на M , постоянных на каждой компоненте края и не имеющих критических точек на крае. Вводится понятиеоснащения для функции Морса f ∈ F. В случае ориентированной поверхности M это — замкнутая 1-форма α на поверхности M с выколотыми критическими точками локальных минимумови локальных максимумов функции f , такая что вблизи любой критической точки пара (f, α)имеет канонический вид в подходящих локальных координатах, и 2-форма df ∧ α отлична отнуля всюду на M с выколотыми критическими точками и задает там положительную ориентацию.
Доказывается, что любая функция Морса на M имеет оснащение и что пространство F,снабженное C ∞ -топологией, гомотопически эквивалентно пространству F оснащенных функцийМорса. В качестве приложения формулируются результаты о гомотопическом типе пространствF и F.В данном параграфе рассматривается любое обобщенное пространствоF = Fp,q,r;bp,bq,br;p∗ ,q∗ ,r∗ (M, ∂ + M, ∂ − M )функций Морса на компактной поверхности M , см. определение 3.1.3, и исследуется болееобщая задача — описание гомотопического типа пространства F, а не только его компонентсвязности (как в теоремах 2.1.1 и 2.7.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
