Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 40
Текст из файла (страница 40)
. , hn ∈ Df /(D ∗ )0 назовем T дополнительными элементами.Теорема 2.7.14. Пусть q ≥ 1 и f ∈ Ffix . Группа Df∗ /(D ∗ )0 имеет конечную систему образующих A1 ∪ . . . ∪ AV ∪ {h1 , . . . , hn }, где Av — конечная система образующих группы (D ∗ )S(τv ) ,1 ≤ v ≤ V (см. обозначение 2.7.12), h1 , . . . , hn ∈ Df∗ /(D ∗ )0 — T -дополнительные элементы. Для минимального числа образующих верно rank (Df∗ /(D ∗ )0 ) ≤ (q + g − 1)V + n =(q + g − 2)V + E + 1, где V и E — количества вершин и ребер графа K (1) , n = E − V + 1, g— род поверхности M .Доказательство. Пусть h ∈ Df∗ /(D ∗ )0 . Тогда, в обозначениях доказательства теоремы 2.7.13,e такие что γсуществуют петля γ : [0, 1] → K (1) и ее поднятие γe в K,e(0) = τe и γe(1) = τeh.
Пустьε1εNγ = σe1 · . . . · σeN — разложение петли γ в произведение ориентированных ребер комплексаεNK, где εi ∈ {1, −1} и ei ∈ {1, . . . , E}, 1 ≤ i ≤ N , и пусть γe=σe1ε1 · . . . · σeN— соответствующееразложение. Обозначим τei := σeiεi (1) при 1 ≤ i ≤ N ; σbe := S(σe ) и he := 1 ∈ Df∗ /(D ∗ )0 приn < e ≤ E. Имеем σeεii (1) = τvi для некоторого vi ∈ {1, .
. . , V }; σeiεi = σbeεii ehi для некоторого∗∗ 0ehi ∈ D /(D ) (1 ≤ i ≤ N ).ε1 −11−ε1h1 , откуда eh1 ∈ he12 (D ∗ )τe (см. обозначеИз τe = γe(0) = σeε1 (0) = σbε1 (0)eh1 имеем τe = τehe12 e1e1εi +1εi+1εi+1ние 2.7.12). При 1 ≤ i < N из σeiεi (1) = σbeεii (1)ehi и σei+1(0) = σbei+1(0)ehi+1 имеем τei = S(τvi )hei 2 ehi1−εi+1и τei = S(τvi )hei+12εi+1 −1εi +1εNehi+1 , откуда ehi+1eh−1∈ hei+12 (D ∗ )S(τvi ) hei 2 . Из σeN(1) = σbeεNN (1)ehN иiεN +1εN +1εN +1∗ τe2γe(1) = τeh имеем τeN = S(τvN )heN2 ehN = τeheN2 ehN и τeN = τeh, откуда heh−1.N ∈ (D ) heNПоэтому∗ τe εN∗ S(τvN −1 ) εN −1e e −1e e −1 eheN −1 .
. . hεe22 (D ∗ )S(τv1 ) hεe11 (D ∗ )τe,h = (heh−1N ) (hN hN −1 ) . . . (h2 h1 ) h1 ∈ (D ) heN (D )т.е. h есть произведение степеней элементов из A1 ∪. . .∪AV ∪{h1 , . . . , hn }. Оценка rank (Av ) ≤q + g − 1 легко доказывается, см. замечание перед следствием 2.7.6.Глава 3Топология связных компонент Fпространств функций Морса наповерхностяхВ этой главе излагаются результаты работ автора [134, 135, 136] (в §§3.3—3.5), [144, 140, 141](в §3.7), автора и Д.А. Пермякова [143] (в §3.2).3.1ВведениеХорошо известно, что геометрическое строение любого гладкого многообразия определяетсягладкими (точнее, морсовскими) функциями на нем.
В данной главе дается ответ на следующий естественный вопрос. Какие бывают гладкие функции на компактных многообразиях,как описать структуру и топологию пространства таких функций?Уловить структуру пространства F морсовских функций на поверхности казалось задачей очень трудной, ибо это пространство бесконечномерно. Однако автору удалось придумать некий конечномерный геометрический объект с понятной структурой и доказать егогомотопическую эквивалентность пространству F (см. теоремы 3.4.1, 3.5.6, 3.7.1 и 3.7.6).Упомянутым конечномерным геометрическим объектом являются следующие полиэдры: либо прямое произведение соответствующего многообразия R ∈ {SO(3), T 2 , S 1 , точка} и косогоe (см.
теорему 3.3.3) или стратифицированногоцилиндрически-полиэдрального комплекса Kf (теорема 3.3.14, определение 3.4.3 и утверждение 3.4.4), либо стратифицимногообразия Mрованное многообразие B (см. §3.7.2 и утверждения 3.7.4 и 3.7.7).Дадим исторический обзор.
Задача изучения гладких функций с “умеренными” особенностями на гладком многообразии M является классической. Изучение топологии пространстватаких функций как правило состоит из двух частей:1) сведение к комбинаторной задаче, т.е. построение комбинаторного объекта (например,конечномерного полиэдра), гомотопически эквивалентного изучаемому пространствуфункций;2) решение полученной комбинаторной задачи (изучение топологии построенного полиэдра).Одним из таких подходов является (параметрический) h-принцип М. Громова [17], изучаемый, например, в работах [89], [14], [74, теорема 2.3], [81, 64] (см.
также [143]). Если M— открытое многообразие или максимальная коразмерность допускаемых особенностей (всоответствующем многообразии струй на M ) больше размерности многообразия M (например, при допущении не-морсовских особенностей), то верен параметрический h-принцип:117ГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА118пространство таких функций слабо гомотопически эквивалентно пространству сечений соответствующего расслоения допустимых струй (М.
Громов [17], К. Игуза [89], В.А. Васильев [14]). Кольцо когомологий последнего пространства сечений можно вычислять при помощи спектральных последовательностей, построенных В.А. Васильевым [14]. Гомотопическийтип (группы гомологий и гомотопий) пространств функций с умеренными особенностями (сдопущением не-морсовских особенностей) на окружности изучал В.И. Арнольд [1].Для пространства функций Морса на компактном многообразии M выполнен “cкорректированный” h-принцип: в соответствующем расслоении допустимых 2-струй на M рассматриваются лишь такие сечения s : M → J 2 (M ), для которых набор чисел µ0 (s), . .
. , µn (s)реализуется функциями Морса [64], где (−1)λ µλ (s) равно сумме индексов тех нулей 1-формыπ ◦ se, в которых квадратичная форма se имеет индекс λ (здесь π : J 2 (M ) → J 1 (M ) — проекция, а сечение se получено из сечения s малым возмущением, таким что π ◦ se имеет лишьконечное число нулей), 0 ≤ λ ≤ n = dim M . Отметим, что реализуемость набора µ0 , .
. . , µnравносильна выполнению неравенств Морса, если dim M ≥ 6 и π1 (M ) = 0 [74, теорема 2.3]или dim M ≤ 2.Однако 1-параметрический (и тем более параметрический) скорректированный h-принципневерен для пространств функций Морса на некоторых компактных многообразиях M (например, при dim M ≥ 6, π1 (M ) 6= 0 и M = N × [0; 1], см. [64, 81]).
Нам неизвестно, верен липараметрический скорректированный h-принцип для функций Морса на окружности или накомпактной поверхности.Рассмотрим задачу о вычислении гомотопического типа пространства F(M ) функцийМорса на компактном гладком многообразии M , например, на гладкой поверхности.Для пространства F(S 1 ) функций Морса на окружности M = S 1 имеется альтернативный метод решения (вместо параметрического h-принципа) — метод конфигурационных пространств, состоящий в следующем. Сопоставим каждой функции Морса f ∈ Fr (S 1 ), имеющей ровно 2r критических точек, множество ее критических точек локальных минимумов(т.е. некоторую r-точечную конфигурацию на окружности M ).
Нетрудно доказывается, чтопостроенное отображение Fr (S 1 ) → Qr (S 1 ) сюръективно и является гомотопической эквивалентностью. Тем самым, описанный метод сводит задачу к изучению топологии конфигурационного пространства Qr (S 1 ), т.е. пространства r-точечных конфигураций на окружностиS 1 . Гомотопический тип последнего пространства легко находится и равен S 1 .В настоящей главе изучается топология пространстваF = Fp,q,r (M, ∂ + M, ∂ − M )функций Морса, имеющих фиксированное число p, r, q критических точек локальных минимумов, максимумов и седел, на компактной двумерной поверхности M с разбиением края∂M = ∂ + M t ∂ − M на положительные и отрицательные граничные окружности. Предлагаемый нами метод аналогичен методу конфигурационных пространств, описанному выше.
Аименно, мы описываем построение (в большинстве случаев) комбинаторного объектаe =Ke p+d− ,q,r+d+K— комплекса оснащенных функций Морса (определение 3.3.12 и теорема 3.3.13), аналогичe =Ke p+d− ,q,r+d+ из §2.7.5, где d± := |π0 (∂ ± M )|. Наш подходного комплексу функций Морса Kсостоит, грубо говоря, в сопоставлении каждой функции Морса f ∈ F ее множества критических точек, с указанием индекса каждой критической точки и значения функции f вэтой точке, и одного из следующих подмножеств M : либо объединения критических уровнейфункции f (следуя идее А.Т. Фоменко [32], см.
предложение 2.4.6, развитой автором в теореме 2.3.4), либо сепаратрисной диаграммы функции f , состоящей из нижних сепаратрисныхдисков соответствующего градиентного векторного поля относительно фиксированной римановой метрики на M (следуя идее С.В. Матвеева [129, теоремы 8 и 8’], см. доказательствоГЛАВА 3.ТОПОЛОГИЯ ПРОСТРАНСТВ ФУНКЦИЙ МОРСА119теорем 2.6.1 и 2.6.2). Другими словами, в последнем случае каждой “правильной” (определение 2.4.3 (E)) функции Морса на M сопоставляется клеточное разбиение поверхности M̄ ,полученной из M стягиванием каждой граничной окружности в точку, отвечающее этойфункции [104], а другим функциям Морса сопоставляются “параметрические бифуркации”клеточных разбиений.
Рассматривая эти два сопоставления с точностью до гладкой изотопииe =Ke p+d− ,q,r+d+ и топологическое пространствона M , мы получим комбинаторный объект Ke =Ke p+d− ,q,r+d+ с канонической сюръекциейKe →KeK(см. теоремы 2.7.11, 3.2.8 и 3.3.3, следствие 3.3.5, предложение 3.6.4).
Тем самым, наш комe можно рассматривать как “комплекс бифуркаций клеточных разбиений” поверхноплекс Kсти M̄ . С.В. Матвеев [129, теоремы 8 и 8’] рассматривал лишь простейшие — 1-параметрические — бифуркации клеточных разбиений, что приводит к “графу клеточных разбиений”Γ = Γp+d− ,q,r+d+ , являющемуся в некотором смысле графом смежностей максимальных клеeток нашего комплекса K.С помощью наших критериев топологической послойной эквивалентности функций Морса(теорема 2.3.4, т.е.
[132, лемма 1 и теорема 2]) и возмущенных функций Морса (утверждение 2.5.2, т.е. [145, утверждение 1.1 и §3]) мы покажем, что во многих случаях (например,eкогда все критические точки локальных экстремумов у функций f ∈ F пронумерованы) K— это конечномерный клеточный “комплекс функций Морса” на M , являющийся полиэдром и состоящий из клеток — выпуклых многогранников (теорема 2.7.11 и следствие 3.3.5).e тоже конечномерно и является косымВ случае поверхности (dim M = 2) пространство Kцилиндрически-полиэдральным комплексом (определение 3.3.2 и теорема 3.3.3), т.е. допускает разбиение на “косые цилиндрические ручки” (см.
определение 3.3.1), аналогичные круглым ручкам, и приклеенные друг к другу “регулярным” образом. При этом ручки находятсяво взаимно однозначном соответствии с классами топологической эквивалентности функций Морса из F1 ⊂ F (см. определения 2.2.1(Б), 3.1.5), а подошва ручки D[f ]top , отвечающейклассу топологической эквивалентности [f ]top функции f , содержится в объединении ручекD[g]top , отвечающих классам топологической эквивалентности функций, полученных малымиe является то, что в большинвозмущениями функции f . Важным свойством комплекса Kстве случаев (см. (3.19) и теорему 3.5.10) пространство F функций Морса на компактнойeповерхности M гомотопически эквивалентно полиэдру R × K:eF ∼ R × K,(3.1)где R = R(M ) — одно из многообразий RP 3 , S 1 , S 1 × S 1 и точка (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
