Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 36
Текст из файла (страница 36)
В частности, |π0 (Ffix )| = ∞, и скручивание Дэна вокруг границы любого диска, содержащего ровнодве критические точки, из которых ровно одна седловая, не сохраняет Fffix . Пусть D ∗ — группа сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов M , оставляющих неподвижными критическиеточки, (D ∗ )0 — компонента связности idM в D ∗ , Df∗ ⊂ D ∗ — множество диффеоморфизмов, сохраняющих Fffix . Пусть Hf — подгруппа Df∗ , порожденная (D ∗ )0 и всеми диффеоморфизмамиh ∈ D ∗ , сохраняющими какие-либо функции f1 ∈ Fffix , и пусть Hfabs — ее подгруппа, порожденная (D ∗ )0 и скручиваниями Дэна вокруг компонент линий уровня функций f1 ∈ Fffix . Возникаетвопрос о том, насколько “отличаются друг от друга” какие-либо две соседние группы в цепочкевложенных групп(D ∗ )0 ⊆ Hfabs ⊆ Hf ⊆ Df∗ ⊆ D ∗ .С помощью числа вращения доказано, что Hfabs ( Df∗ при q ≥ 2, и построен эпиморфизмDf∗ /Hfabs → Zq−12 .
Определен конечный полиэдральный комплекс K = Kp,q,r , ассоциированный с пространством Ffix . Построены эпиморфизм µ : π1 (K) → Df∗ /Hf и конечные множествапорождающих элементов групп Df∗ /(D ∗ )0 и Df∗ /Hf в терминах 2-остова комплекса K. В частности, в случае M = S 2 или q ≤ 3 мы полностью отвечаем на вопрос, какие из групп указаннойцепочки совпадают.2.7.1ВведениеfixПусть M = Mg2 — гладкая замкнутая связная ориентируемая поверхность и Ffix = Fp,q,r— пространство функций Морса на M , имеющих ровно q ≥ 1 седловых критических точекx1 , . .
. , xq , p критических точек xq+1 , . . . , xp+q локальных минимумов и r точек xp+q+1 , . . . , xp+q+rлокальных максимумов, причем эти точки фиксированы. Возникает задача: описать гомотопический тип пространства Ffix (в C ∞ -топологии) и, в частности, множество π0 (Ffix ) егосвязных компонент. С помощью числа вращения, введенного Б. Рейнхартом [118], мы строимсюръекцию π0 (Ffix ) → Zp+r−1 (теорема 2.7.2), аналогичную полному инварианту Ю.М. Бурмана [13, 60] и доказываем равенство |π0 (Ffix )| = ∞.Близкая задача была решена С.В.
Матвеевым [129, теоремы 8 и 8’] (1997), Х. Цишангом [131] (1998), В.В. Шарко [40] (1998) и С.И. Максименко [96] (2005). Матвеев и Цишангfixдоказали разными методами линейную связность пространства Fp,r (M )extr ⊃ Fp,q,rфункцийМорса на M , имеющих фиксированные множества критических точек локальных минимумови максимумов (см. теорему 2.6.2 Матвеева). Другой близкий результат был получен Бурмаe гладких функций без критических точек на некомном [13, 60].
Он изучал пространство Ff с краем, локально постоянных на крае и имеющих заданное поведепактной поверхности Me он построил отображение Bf : Fe → H 1 (Mf, ∂ Mf)ние вблизи края. Для любой функции f ∈ Fe и доказал, что индуцированное отоб(полный изотопический инвариант на пространстве F)e → H 1 (Mf, ∂ Mf) биективно.ражение (Bf )# : π0 (F)Опишем основные результаты настоящего раздела.Обозначение 2.7.1. Пусть D ∗ := Diff + (M ; {x1 , . . . , xp+q+r }) — группа сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов M , оставляющих неподвижными все критические точки, пусть(D ∗ )0 – компонента связности idM в D ∗ , и Df∗ ⊂ D ∗ – множество диффеоморфизмов, сохраняющих компоненту связности Fffix функции f ∈ Ffix в Ffix (в C ∞ -топологиях на D ∗и Ffix , см.
§3.2.2 или [143, §4]). Ниже (определение 2.7.3) вводятся группа Hfabs абсолютно допустимых и группа Hf допустимых диффеоморфизмов для функции f (отличныеГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ106от понятия f -допустимого диффеоморфизма h ∈ Df∗ из [96, §6]). По теореме 2.7.5 ниже,они являются нормальными подгруппами группы Df∗ . Так как группа D ∗ /(D ∗ )0 дискретна, то подгруппы Hfabs /(D ∗ )0 ⊂ Hf /(D ∗ )0 ⊂ Df∗ /(D ∗ )0 и факторгруппы D ∗ /hhDf∗ ii, Df∗ /Hfи Hf /Hfabs ⊂ Df∗ /Hfabs дискретны. Здесь и далее для любых группы G и ее подгруппыH через hhHii обозначено нормальное замыкание подгруппы H в G, т.е.
минимальная (повключению) нормальная подгруппа группы G, содержащая подгруппу H.Возникают следующие задачи:1) Для заданного диффеоморфизма h ∈ D ∗ определить, принадлежат ли функции f и f hодной связной компоненте Fffix пространства Ffix (т.е. принадлежит ли h подгруппе Df∗ ). Вчастности, описать пространство смежных классов D ∗ /Df∗ ≈ π0 (Ffix ) и определить, являетсяли оно конечным.2) Для заданного диффеоморфизма h ∈ D ∗ или Df∗ определить, является ли он допустимым (абсолютно допустимым) для функции f (т.е.
принадлежит ли подгруппам Hf и Hfabs ).В частности, подтвердить или опровергнуть гипотезу М. Басмановой о совпадении подгруппHfabs ⊂ Hf ⊂ Df∗ .3) Описать конечные множества порождающих элементов факторгрупп Df∗ /(D ∗ )0 и Df∗ /Hf .В данном разделе с помощью числа вращения, введенного Б. Рейнхартом [118], полученычастичные решения первых двух задач, а с помощью комплексов функций Морса – решениетретьей задачи:1) Построена сюръекция π0 (Ffix ) ≈ D ∗ /Df∗ → Zp+r−1 (теорема 2.7.2). В частности, |π0 (Ffix )| =∞.∗abs2) Построена сюръекция D ∗ /Hfabs → Zq−1→2 , которая индуцирует эпиморфизм Df /Hfq−1q−12absZ2 , а при M 6= S – эпиморфизм Hf /Hf → Z2 (теорема 2.7.5).
В частности, при q ≥ 2мы получаем опровержение Hfabs ( Df∗ гипотезы Басмановой.3) Определен конечный связный полиэдральный комплекс K = Kp,q,r , ассоциированный спространством Ffix (теорема 2.7.11). Построены эпиморфизмµ : π1 (K) → Df∗ /Hfи конечные множества порождающих элементов групп Df∗ /(D ∗ )0 и Df∗ /Hf в терминах 2остова комплекса K (теоремы 2.7.13, 2.7.14).В данном разделе также исследовано, какие из групп цепочки(D ∗ )0 ⊂ Hfabs ⊂ Hf ⊂ Df∗ ⊂ D ∗совпадают (см. следствие 2.7.6), кроме случая Hf ⊂ Df∗ при M 6= S 2 , q ≥ 4. Доказаны оценкиq − 1 ≤ rank (Df∗ /Hf ) ≤ rank (π1 (K)), rank (D ∗ /hhDf∗ ii) ≥ p + r − 1 при M = S 2 ,rank (Df∗ /Hf ) ≤ rank (π1 (K)),rank (Hf /Hfabs ) ≥ q − 1при M 6= S 2(следствие 2.7.6 и теорема 2.7.13), где ранг группы есть минимальное количество порожда∗2ющих элементов.
Отсюда Hf = Df∗ , если π1 (K) = 1. ПоэтомуW 2Hf = Df в случае M 6= S ,q ≤ 3 (так как комплексы K = K1,2,1 ≈ [0, 1] и K = K1,3,2 ∼ S односвязны).7Всюду в данном разделе под H-инвариантом на группе G, где H ⊆ G — подгруппа, понимается любой функционал на группе G, инвариантный относительно действия подгруппы Hна группе G левыми сдвигами (не следует путать с инвариантом сопряженности на группе, см.
определение 5.2.1). Эквивалентным образом, функционал на группе G называетсяH-инвариантным, если он постоянен на каждом левом смежном классе Hg, g ∈ G.ГЛАВА 2.2.7.2КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ107Изотопический инвариант на пространстве Ffix и Df∗ -инвариантна группе диффеоморфизмов D ∗Обозначим через K подгруппу в D ∗ , порожденную (D ∗ )0 и скручиваниями Дэна [67] вокругразбивающих кривых (“ядро Джонсона” [92]).
Она является нормальной.Теорема 2.7.2 (Df∗ -инвариант Bf на группе D ∗ ). Пусть q ≥ 1 и f ∈ Ffix . Имеется сюръекция Bf : D ∗ → Zp+r−1 , ограничение которой на любой смежный класс Df∗ h, h ∈ D ∗ , постоянно. Ограничение Bf |K : K → Zp+r−1 не зависит от функции f и является эпиморфизмом. Скручивание Дэна вокруг границы любого диска, содержащего ровно k ≥ 0 седловыхкритических точек и ` 6∈ {0, k + 1, p + r} критических точек локальных минимумов имаксимумов, не принадлежит подгруппе Df∗ ∩ K ⊂ ker (Bf |K ) (т.е.
не сохраняет компоненту Fffix функции f в Ffix ). В частности, |π0 (Ffix )| = [D ∗ : Df∗ ] = ∞ и имеется сюръекцияπ0 (Ffix ) ≈ D ∗ /Df∗ → Zp+r−1 . Если M = S 2 , то K = D ∗ , и Bf определяет эпиморфизмD ∗ /hhDf∗ ii → Zp+r−1 , не зависящий от f .2.7.3Допустимые диффеоморфизмы и Hfabs -инвариант на группеD∗Определение 2.7.3. Диффеоморфизм h ∈ D ∗ назовем допустимым для функции f ∈ Ffix ,если имеются такие функции f1 , . . .
, fN ∈ Fffix и диффеоморфизмы h1 , . . . , hN ∈ D ∗ , что fi =fi hi и h ∈ h1 . . . hN (D ∗ )0 . Если каждый hi – скручивание Дэна вокруг связной компонентыкривой fi−1 (ai ), где ai – некритическое значение функции fi , то диффеоморфизм h назовемабсолютно допустимым для f . Абсолютно допустимые и допустимые диффеоморфизмы дляфункции f ∈ Ffix образуют подгруппы Hfabs и Hf группы D ∗ (см. обозначение 2.7.1).
Ясно,что (D ∗ )0 ⊂ Hfabs ⊂ Hf ⊂ Df∗ ⊂ D ∗ .Примеры 2.7.4. (А) Простая замкнутая кривая на M называется допустимой [96, §6] дляфункции Морса f ∈ Ffix , если она является компонентой связности линии уровня g −1 (a) некоторой функции g ∈ Fffix . Скручивание Дэна вокруг такой кривой – это абсолютно допустимыйдиффеоморфизм для f .(Б) Другой пример допустимого диффеоморфизма показан на рис. 2.4.
Как и в примере (А), этот диффеоморфизм h = hij сохраняет функцию g ∈ Fffix , однако он совпадает стождественным в окрестностях всех критических точек x1 , . . . , xp+q+r кроме двух седловыхточек xi и xj , в которых dh(xi ) = −id и dh(xj ) = −id. Такой диффеоморфизм существуетдля любой поверхности M 6= S 2 , а при M = S 2 – нет. Он не является абсолютно допустимымдля f , согласно теореме 2.7.5(Б) ниже.6g −1 (b)xjxi••hij−→xjxi••g−→•g −1 (a)b•g(xj )g(xi )•a•Рис.
2.4. Допустимый, но не абсолютно допустимый диффеоморфизм hijдля a = g(xi ) − ε, b = g(xj ) + ε, 0 < ε 1.Группа Hf допустимых диффеоморфизмов порождена диффеоморфизмами из примеров2.7.4.ГЛАВА 2.108КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙТеорема 2.7.5 (Hfabs -инвариант Bfabs на группе D ∗ ). Пусть q ≥ 1 и f ∈ Ffix . Имеетсяabsсюръекция Bfabs : D ∗ → Zq−1h, h ∈ D ∗ ,2 , ограничение которой на любой смежный класс Hfпостоянно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
