Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 32
Текст из файла (страница 32)
При этом системауравнений и неравенств в RN , определяющих страт Максвелла функции Fe, примыкающийк страту Максвелла функции F , определяется отношением частичного полупорядка, отвечающим графу возмущения W num (Fe) функции Fe, см. определения 2.4.1, 2.5.1, 2.5.3.(2’) Если функция Fe принадлежит указанной малой окрестности функции F (т.е. Fe близка к F ), то страт Максвелла функции Fe примыкает к страту Максвелла функции F , и существует естественное сюръективное клеточное отображение графов W num (Fe) → W num (F ),ГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ95индуцированное некоторым непрерывным отображением M → M (которое можно построить аналогично отображению (3.51)), близким к idM и переводящим множество критическихточек функции Fe в множество критических точек функции F с сохранением их нумерации.Полным прообразом любого открытого ребра e графа W num (F ) при указанном клеточномотображении графов является некоторое открытое ребро ee графа W num (Fe), и ограничениеотображения графов на данное ребро является сохраняющим ориентацию гомеоморфизмомe → ee.
Получаем вложение E(W num (F )) → E(W num (Fe)), e 7→ ee, между множествами реберграфов W num (F ) и W num (Fe). Ребра графа W num (Fe), принадлежащие образу этого вложения,будем называть старыми ребрами, а остальные его ребра — новыми ребрами. Например:(i) указанное ребро ee графа W num (Fe) возмущенной функции Fe — это старое ребро, которомуотвечает ребро e графа W num (F ) исходной (невозмущенной) функции F ;(ii) новые ребра для графа возмущения, отвечающего возмущению некоторой функции наседловом атоме (определение 2.5.1 (B)), — это в точности внутренние ребра графа возмущения.(3) Любые две послойно эквивалентные функции Fe1 , Fe2 ∈ Fnum,fr , достаточно близкие кF , послойно топологически эквивалентны, а потому принадлежат одному страту Максвелла в F, т.е. одной связной компоненте в пространстве послойно эквивалентных функций. Вчастности, любая функция Fe, достаточно близкая к F и послойно эквивалентная F , принадлежит страту Максвелла функции F , т.е. связной компоненте F в пространстве функций,послойно эквивалентных F .(4) Открытые страты Максвелла (коразмерности 0) состоят из простых функций МорсаF ∈ F (определение 2.5.1 (C)).Теперь вместо послойной эквивалентности и топологической послойной эквивалентностирассмотрим более тонкие отношения эквивалентности на пространстве F (или Fnum,fr ) — эквивалентность и топологическую эквивалентность функций Морса (см.
определение2.2.4 (B)). Из следствия 2.5.8 получаем, что разбиение пространства на классы эквивалентности определяет аналогичную стратификацию в F (соотв. Fnum,fr ), где каждый страт естькласс топологической эквивалентности и совпадает со связной компонентой класса эквивалентности и выполнены аналоги свойств 1)–4) выше. При этом в п.2) соответствующаястратификация пространства RN имеет более стандартный вид (описанный в определении2.5.6 (A) и замечании 2.5.7).2.6Теорема Матвеева об изотопности функций Морса сзакрепленными точками локальных экстремумов. Обобщение на случай нумерованных и оснащенных седелВ 1997 г. А.Т.
Фоменко поставил вопрос о линейной связности пространств функций Морсас фиксированным числом точек локальных минимумов и максимумов на замкнутой двумерной поверхности M . Положительный ответ был получен автором [129, теорема 4] для случаевM = S 2 , RP 2 (см. теорему 1.6.2), а в общем случае С.В. Матвеевым [129, теоремы 8 и 8’] иХ. Цишангом [38] (см. эквивалентные теоремы 2.1.1, 2.6.1 и 2.6.2). Нам известно несколько разных доказательств этого утверждения в литературе, принадлежащих С.В. Матвееву[129, теоремы 8 и 8’], Х. Цишангу [38, 40] и С.И.
Максименко [96]. С.В. Матвеев доказалэто утверждение в наиболее сильной формулировке [129, теоремы 8 и 8’] — для пространствфункций Морса с фиксированными критическими точками локальных экстремумов. Однакоэто доказательство было недостаточно полным, точнее две леммы [129, леммы 16 и 17] небыли доказаны в полной мере. Мы приведем здесь доказательство этих двух лемм, основанное на понятии оснащенных функций Морса, введенном автором и Д.А.
Пермяковым [143].ГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ96Также мы сформулируем некоторые обобщения теоремы Матвеева (теоремы 2.6.9 и 2.6.11),выведенные автором в [129] из теоремы Матвеева.В данном параграфе изучаются не только малые возмущения заданной функции Морса(изученные в §1.6 и §2.5), но и “большие возмущения”, т.е. произвольные изотопии (определение 1.6.1) функций Морса на данной поверхности. Поверхность M не предполагаетсяориентируемой.Рассмотрим замкнутую двумерную поверхность M .
Обозначим черезFp,q (M )extr := {f ∈ Fp,q (M ) | Cf,0 = Cf∗ ,0 , Cf,2 = Cf∗ ,2 }совокупность всех функций Морса на этой поверхности, имеющих фиксированное число pточек локальных минимумов и фиксированное число q точек локальных максимумов, причемвсе эти точки предполагаются фиксированными точками на поверхности M .
В обозначенияхопределения 2.2.2 имеем Fp,q (M )extr := Fp,r,q (M ; Cf∗ ,0 , ∅, Cf∗ ,2 ), где p, q ∈ N, r := p + q − χ(M )и f∗ ∈ Fp,q (M ) — “базисная” функция Морса.Теорема 2.6.1 (С.В. Матвеев [129, теорема 8], 1997 г.). Если M — любая связная замкнутаядвумерная поверхность, то пространство функций Морса Fp,q (M )extr линейно связно, прилюбых значениях p и q. Другими словами, любые две функции Морса f0 и f1 на поверхностиM , у которых все точки минимумов и максимумов совпадают, можно соединить гладкимпутем ft , 0 ≤ t ≤ 1, в том же пространстве Fp,q (M )extr функций с фиксированным расположением минимумов и максимумов, в частности, в пространстве всех функций Морсана поверхности M (без “рождений” и “уничтожений”).Эту теорему полезно переформулировать на языке поверхностей P с краем, снабженныхфункцией Морса, постоянной на граничных окружностях, и имеющей лишь седловые точки.Такие поверхности называются поверхностями–бордизмами (точное определение см.
ниже).Поскольку точки локальных экстремумов предполагаются фиксированными на поверхностиM , то теорему 2.6.9 можно переформулировать на языке поверхностей–бордизмов, выбросивиз поверхности M малые диски, являющиеся окрестностями точек минимумов и максимумов. Продеформируем функцию так, чтобы в процессе деформации функция оставаласьморсовской и ее линии уровня не менялись, а в результате деформации функция принимала значения ±1 на границе P . В результате получится поверхность P с функцией Морсаf на нем, имеющей лишь седловые критические точки.
Имеем f ∈ C ∞ (P, ∂ + P, ∂ − P ) длянекоторого разбиения края ∂P = ∂ + P t ∂ − P на положительные и отрицательные граничные окружности (см. определение 2.2.1 (А)). Полученную тройку (P, ∂ + P, ∂ − P ) называютповерхностью–бордизмом, а полученные функции Морса из пространства C ∞ (P, ∂ + P, ∂ − P )— функциями Морса на данной поверхности–бордизме (точное определение см.
чуть ниже).Поставим задачу более точно.Пусть P — поверхность с краем, граничные компоненты которой разбиты на два класса+∂ P и ∂ − P : положительные и отрицательные окружности. Пусть имеется p > 0 отрицательных окружностей и q > 0 положительных. Обозначим черезF1 (P, ∂ + P, ∂ − P ) ⊂ C ∞ (P, ∂ + P, ∂ − P )пространство всех функций f Морса на поверхности P со следующими свойствами.1) Функция f имеет лишь седловые критические точки на поверхности P .2) Функция f не имеет критических точек на границе поверхности.3) Функция f принимает значение +1 на всех q положительных компонентах границы ипринимает значение −1 на всех p отрицательных компонентах границы.Такую тройку (P, ∂ + P, ∂ − P ) называют поверхностью–бордизмом, а полученные функции Морса из пространства F1 (P, ∂ + P, ∂ − P ) — функциями Морса на данной поверхности–бордизме.ГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ97Теорема 2.6.2 (С.В.
Матвеев [129, теорема 8’]). Пространство F1 (P, ∂ + P, ∂ − P ) функцийМорса указанного вида на поверхности P линейно связно.Комментарий. Другими словами, любые две функции Морса f0 и f1 , имеющие лишь седловые критические точки на поверхности P , и принимающие одинаковые значения: +1 накомпонентах границы ∂ + P и −1 на компонентах границы ∂ − P , можно соединить гладкимпутем ft , 0 ≤ t ≤ 1, в пространстве функций Морса того же типа, т.е. внутри пространства F1 (P, ∂ + P, ∂ − P ). В частности, никаких рождений и уничтожений критических точек впроцессе такой гомотопии не происходит.Как уже отмечалось, теоремы 2.6.1 и 2.6.2 эквивалентны. Поэтому для их доказательствадостаточно доказать теорему 2.6.2 о связности пространства функций Морса на фиксированной поверхности–бордизме (P, ∂ + P, ∂ − P ).
В работе [129, доказательство теоремы 8’] приведено доказательство С.В. Матвеева теоремы 2.6.2, использующее две леммы [129, леммы 16 и17], однако доказательства этих лемм не были достаточно полными. Ниже мы сформулируеми докажем эти две леммы 2.6.6 и 2.6.8.Введем следующееОпределение 2.6.3. Пусть G — замкнутое подмножество поверхности P с краем. Регулярной окрестностью подмножества G в P назовем малую (т.е. содержащуюся в ε–окрестности,где ε достаточно мало) окрестность U подмножества G в P , такую что граница ∂U этойокрестности распадается на гладкие дуги, причем [U ]\G диффеоморфно (∂U ) × (0, 1], где [U ]— замыкание U в P .Рассмотрим поверхность–бордизм (P, ∂ + P, ∂ − P ), т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
