Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Напомним, что в доказательстве предложения 1.6.5 (см. §1.6)мы рассматривали граф W num для простых функций Морса и назвали его нумерованнымграфом Кронрода-Риба.Пусть M — связная компактная двумерная поверхность, с краем или без края, и F ∈Fnum,fr — функция Морса с оснащенно-нумерованными критическими точками (определение2.2.2 (В)). Напомним, что F ∈ C ∞ (M, ∂M ) (см.
определение 2.2.1), т.е. на каждой граничнойокружности поверхности M функция F постоянна и не имеет критических точек на крае.Напомним понятие (неориентированного оснащенного) седлового атома [9], естественновозникающее при классификации невырожденных гамильтоновых систем с 1 или 2 степенямисвободы.
Пусть c — критическое значение функции F , и пусть критический уровень K =F −1 (c) связен и содержит лишь седловые критические точки F . Выберем столь малое ε > 0,что в отрезке [c − ε, c + ε] число c является единственным критическим значением для F .Определение 2.4.2 (см. [53, definition 2.9]). Предположим, что на поверхности M не фиксирована ориентация (например, поверхность M или P может быть неориентируемой).(A) На графе K = F −1 (c) и его малой (инвариантной) окрестности P = F −1 [c − ε, c + ε] вM введем и фиксируем следующие дополнительные структуры:(i) разбиение края ∂P = ∂ + P t ∂ − P на “положительные” и “отрицательные” граничныеокружности, ∂ + P := F −1 (c + ε) и ∂ − P := F −1 (c − ε), и соответствующее разбиение дополнения к графу K в P на “положительные” и “отрицательные” кольца (∂ + P ) × (0; 1] и(∂ − P ) × [−1; 0), каждое из которых содержит ровно одну — положительную или отрицательную — граничную окружность (так что для любого ребра графа K существуетровно одно положительное и ровно одно отрицательное кольцо, инцидентное этому ребру);(ii) нумерацию вершин графа K, отвечающую нумерации критических точек x1 , .
. . , xnфункции F ;(iii) так называемые оснащения вершин графа K, отвечающие оснащениям (определение2.2.2 (В)) критических точек функции F , где под оснащением вершины xi графа K понимается выбор той связной компоненты открытого конуса {ξ ∈ Txi P | d2 F (xi )ξ < 0},которая содержит ориентированный касательный вектор ориентированной сепаратрисной дуги, задающей оснащение критической точки xi функции F (см. определение 2.2.2(В)).Пару (P, K) с указанными структурами (i)—(iii) обозначим через (P, K)#u . Под топологиче#ской эквивалентностью двух пар вида (P, K)u будем понимать существование гомеоморфизма между этими парами, сохраняющего указанные структуры: разбиение связных компоненткрая ∂P на положительные и отрицательные граничные окружности (или соответствующееГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ81разбиение связных компонент множества P \ K на положительные и отрицательные кольца),нумерацию и оснащения вершин графа K.(B) Пару (P, K)#u , рассматриваемую с точностью до топологической эквивалентности, будем называть оснащенно-нумерованным неориентированным седловым атомом (для краткости неориентированным седловым атомом), отвечающим функции F на поверхности P .Критические точки x1 , .
. . , xn функции F на P называются вершинами атома, а их число n —сложностью атома. Связные компоненты границы ∂P поверхности P будем называть концами атома, а число d этих связных компонент — валентностью атома. Связные компонентыграницы ∂P , лежащие на докритическом уровне F −1 (c − ε) (соответственно F −1 (c + ε)), назовем отрицательными (соответственно положительными) концами атома и обозначим ихчисло через d− (соответственно d+ ).
Атом назовем ориентируемым (соответственно неориентируемым), если поверхность P ориентируема (соответственно неориентируема). Род поверхности P (равный роду замкнутой поверхности, полученной приклеиванием дисков к каждойграничной окружности), назовем родом атома. Атом будем называть плоским, если его родравен нулю.(C) Аналогично определяются неориентированный атом локального минимума (соответственно атом локального максимума). При этом граф K совпадает со своей вершиной xi , P— с её регулярной окрестностью; край ∂P является положительной окружностью ∂ + P (соответственно отрицательной окружностью ∂ − P ). Такой (“минимаксный”) неориентированныйатом (P, K)#u — это плоский ориентируемый атом сложности 1, валентности 1 и рода 0. Атомлокального минимума имеет положительный конец и; атом локального максимума имеетотрицательный конец.(D) Определим тривиальный неориентированный атом (P, K)# , где K ⊂ F −1 (c) есть регулярная (т.е.
некритическая) связная компонента линии уровня функции F , P — замкнутаясвязная регулярная окрестность окружности K вида P = F −1 [c − ε, c + ε] в M , не содержащая критических точек функции F . Тривиальный атом не имеет вершин, имеет два конца— положительный и отрицательный (в случае K 6⊂ ∂P ) или один конец (в случае K ⊂ ∂P ).Если K ⊂ ∂P , то тривиальный атом назовем граничным.Седловые неориентированные атомы, атомы локальных минимумов и атомы локальныхмаксимумов, а также тривиальные атомы будем называть также просто неориентированными атомами.(E) Функция Морса F ∈ C ∞ (M, ∂M ) называется правильной, если ее значение в любойкритической точке равно индексу этой точки (т.е.
индексу квадратичной формы, задаваемойматрицей Гесса функции F в этой критической точке), а значение F на любой компонентекрая M равно 0 или dim M , если на этой компоненте F достигает локального минимума илимаксимума соответственно.Напомним теперь понятие ориентированного седлового атома [9], тоже естественно возникающее при классификации невырожденных гамильтоновых систем с 1 или 2 степенямисвободы.Определение 2.4.3 (см. [9, 27]).
Предположим, что на поверхности M фиксирована ориентация при помощи некоторой симплектической 2-формы.(A) На графе K = F −1 (c) и его малой (инвариантной) окрестности P = F −1 [c − ε, c + ε] вM введем и фиксируем следующие дополнительные структуры:(i) ориентацию поверхности P , отвечающую симплектической структуре;(ii) ориентацию графа K, определяемую ограничением на него фазового потока системы;(iii) нумерацию вершин графа K, отвечающую нумерации критических точек x1 , . . .
, xnфункции F ;ГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ82(iv) так называемые оснащения вершин графа K, отвечающие оснащениям (определение2.2.2 (В)) критических точек функции F , а именно для каждой вершины xi графа Kфиксируем одно из двух входящих в нее ребер — то ребро, которое втыкается в точкуxi слева от ориентированной сепаратрисной дуги, задающей оснащение седловой точкиxi функции F (см. определение 2.2.2 (В)).Пару (P, K) с указанными структурами (i)—(iv) обозначим через (P, K)# .
Под топологической эквивалентностью двух пар вида (P, K)# будем понимать существование гомеоморфизма между этими парами, сохраняющего указанные структуры: ориентации поверхностиP и графа K, а также нумерацию и оснащения вершин графа K.(B) Пару (P, K)# , рассматриваемую с точностью до топологической эквивалентности,будем называть оснащенно-нумерованным ориентированным седловым атомом (для краткости седловым атомом), отвечающим функции F на поверхности P . Критические точкиx1 , .
. . , xn функции F на P называются вершинами атома, а их число n — сложностьюатома. Связные компоненты границы ∂P поверхности P будем называть концами атома, ачисло d этих связных компонент — валентностью атома. Связные компоненты границы ∂P ,лежащие на докритическом уровне F −1 (c − ε) (соответственно F −1 (c + ε)), назовем отрицательными (соответственно положительными) концами атома и обозначим их число черезd− (соответственно d+ ). Род поверхности P (равный роду замкнутой поверхности, полученной приклеиванием дисков к каждой граничной окружности), назовем родом атома. Атомбудем называть плоским, если его род равен нулю.(C) Аналогично определяются атом локального минимума и атом локального максимума. При этом граф K совпадает со своей вершиной xi , P – с её регулярной окрестностью;в P фиксирована ориентация, отвечающая симплектической структуре, а на крае ∂P фиксирована ориентация, согласованная с направлением движения в силу системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
