Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Две гладкие функции f, g : M → R называются топологически эквивалентными(см. [45] или определение 2.2.4 (B) выше), если f = h2 ◦ g ◦ h1 для некоторых диффеоморфизмовh1 ∈ D 0 и h2 ∈ Diff + (R). Пусть F — пространство функций Морса на M , постоянных на каждойкомпоненте края и не имеющих критических точек на крае. Доказан критерий топологическойэквивалентности функций Морса из F.Обозначения 2.3.1 (см. также обозначение 3.1.6).
(А) Обозначим через{w` } = {w` (f )}p+q+r:= Cf`=1множество всех критических точек функции f ∈ F.(Б) Для любой функции Морса f ∈ F рассмотрим граф Gf на поверхности int (M ), полученный из графа f −1 (Cf,1 ) выкидыванием всех связных компонент, не содержащих седловыхкритических точек. Этот граф имеет q вершин (являющихся седловыми точками yj ∈ Cf,1 ),степени всех вершин равны 4, а значит, в графе 2q ребер.Лемма 2.3.2 ([132, лемма 1]). Пусть M — (необязательно ориентируемая) компактнаяповерхность и функции Морса f, f1 ∈ F имеют один и тот же набор критических точек,один и тот же граф Gf = Gf1 (см. обозначение 2.3.1 (Б)) и одни и те же значения вкритических точках и точках края поверхности M .
Тогдаf1 = f ◦ h(2.3)для некоторого диффеоморфизма h ∈ D 0 , переводящего каждую вершину и каждое ребрографа Gf в себя, причем ограничение h на любое ребро (как диффеоморфизм одномерногосвязного многообразия в себя) сохраняет локальную ориентацию ребра.Доказательство. Искомый диффеоморфизм h ∈ D 0 построим в три этапа.(а) Сначала в малой окрестности каждой критической точки w` = w` (f ), 1 ≤ ` ≤ p + q + r,вводятся такие локальные координаты u1 , v1 и такие локальные координаты u2 , v2 (осуществляющие диффеоморфизмы некоторых окрестностей критической точки в открытый круг одного и того же радиуса), что f1 = ±u21 ± v12 + f (w` ) и f = ±u22 ± v22 + f (w` ) (это возможно, таккак обе функции f1 , f являются квадратичными формами, согласно лемме Морса, и значения этих функций в каждой критической точке совпадают), причем в случае седловой точкиw` в обоих выражениях выбирается пара знаков (+, −).
Потребуем также, чтобы координатыu1 , v1 и u2 , v2 индуцировали одинаковую локальную ориентацию поверхности M в точке w`и чтобы в случае седловой точки w` касательные векторы ∂u∂ 1 + ∂v∂ 1 и ∂u∂ 2 + ∂v∂ 2 в точке w`были сонаправлены. Рассмотрим диффеоморфизм h0 между координатными окрестностямиодной и той же критической точки, переводящий любую точку (u, v) относительно системыкоординат u1 , v1 в точку (u, v) относительно системы координат u2 , v2 .Отметим, что в случае седловой критической точки линейная часть диффеоморфизма h0в этой точке имеет положительные собственные значения.(б) Фиксируем (произвольным образом) ориентацию каждого открытого ребра e графаGf и каждой граничной окружности поверхности M .Ниже в окрестности каждого открытого ребра e графа Gf вводятся такие локальные координаты f, ge , f ∈ (f (e) − ε; f (e) + ε), ge ∈ (0; 1), что функция ge |e : e → (0; 1) являетсяпараметром на ребре e и в пересечении этой окрестности с (u2 , v2 )-координатной окрестностью начала ребра e функция ge имеет вид ge = |2u2 v2 |, а в пересечении этой окрестности с(u2 , v2 )-координатной окрестностью конца ребра функция ge — вид ge = 1−|2u2 v2 |.
Для этоговведем на M \ {w` } риманову метрику ds2 , которая в проколотой координатной окрестностикаждой седловой точки имеет вид ds2 = (d(2u2 v2 ))2 + (df )2 , а в проколотой координатнойокрестности каждой критической точки локального минимума или максимума выполняетсяКЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ7622 du2ds2 = df 2 + u2 dvu22−v. Пусть ω — симплектическая структура (то есть ориентированная22 +v2форма площадей) в окрестности открытого ребра e, значение которой на любом ортонормированном базисе относительно римановой метрики ds2 равно ±1 и для которой ограничениена ребро e векторного поля sgrad f относительно симплектической структуры ω задает положительную ориентацию ребра e.
Пусть ge0 : e → R — параметр интегральной траекториивекторного поля (sgrad f )|e , совпадающей с открытым ребром e. Продолжим функцию ge0 внекоторую окрестность ребра e так, чтобы линии уровня продолженной функции являлисьинтегральными линиями векторного поля grad f относительно римановой метрики ds2 . Продолженную функцию опять обозначим через ge0 . Положим a := sup(ge0 |e ) и ge := ha,1 ◦ ge0 , гдеha,1 : [0; a] → [0; 1] — диффеоморфизм, совпадающий с id в некоторой окрестности точки 0 ис id + 1 − a в некоторой окрестности точки a.
Легко проверить, что функция ge0 в пересеченииэтой окрестности с координатной окрестностью u2 , v2 начала ребра e имеет вид ge0 = |2u2 v2 |,а в пересечении этой окрестности с координатной окрестностью u2 , v2 конца ребра e — видge0 = a − |2u2 v2 |. Поэтому функция ge имеет требуемые свойства.Аналогичные координаты f1 , g1,e , f1 ∈ (f (e) − ε; f (e) + ε), g1,e ∈ (0; 1), возможно послеуменьшения числа ε, строятся в окрестности открытого ребра e для функции f1 и локальныхкоординат u1 , v1 в окрестностях седловых точек (см. (а)).
Тогда построенный в (а) диффеоморфизм h0 в окрестностях начальной и конечной вершин ребра e переводит любую точку(f 0 , g 0 ) относительно системы координат f1 , g1,e в точку (f 0 , g 0 ) относительно системы координат f, ge . Аналогичные системы координат f1 , g1 mod 2π и f, g mod 2π строятся в окрестностяхкаждой граничной окружности поверхности M , где каждая из координат g1 и g определенапо модулю 2π и индуцирует положительную ориентацию этой окружности.Определим диффеоморфизм h00 между координатными окрестностями одного и того жеребра e (соответственно граничной окружности), переводящий любую точку (f 0 , g 0 ) относительно системы координат f1 , g1,e (соответственно f1 , g1 mod 2π) в точку (f 0 , g 0 ) относительносистемы координат f, ge (соответственно f, g mod 2π).В окрестности каждой точки w` локального минимума (максимума) аналогичные координаты f, g mod 2π и f1 , g1 mod 2π определяются формуламиГЛАВА 2.u2 = |f − f (w` )|1/2 cos g + f (w` ),u1 = |f1 − f (w` )|1/2 cos g1 + f1 (w` ),v2 = |f − f (w` )|1/2 sin g + f (w` ),v1 = |f1 − f (w` )|1/2 sin g1 + f1 (w` ).Тогда построенный в (а) диффеоморфизм h0 в окрестности точки w` переводит любую точку скоординатами (f 0 , g 0 mod 2π) относительно системы координат f1 , g1 mod 2π в точку (f 0 , g 0 mod 2π)относительно системы координат f, g mod 2π.После ограничения диффеоморфизмов h0 и h00 на (быть может, меньшие) координатныеокрестности (если это необходимо) получаем корректно определенный диффеоморфизм h000некоторой окрестности графа Gf ∪ (Cf,0 ∪ Cf,2 ) ∪ ∂M в некоторую (быть может, другую)окрестность этого графа, обладающий свойством (2.3).(в) Рассмотрим связные компоненты дополнения графа Gf ∪Cf,0 ∪Cf,2 ∪∂M в поверхностиM — это открытые цилиндры Z ≈ S 1 ×(0; 1).
Осталось продолжить диффеоморфизм h000 (илихотя бы его ограничение на некоторую меньшую окрестность графа Gf ∪Cf,0 ∪Cf,2 ∪∂M в M ) вкаждый цилиндр Z так, чтобы выполнилось свойство (2.3). На каждой компоненте границыцилиндра Z функции f1 и f совпадают и постоянны по условию. Положим aZ := inf(f |Z ),bZ := sup(f |Z ).В цилиндре Z введем такие координаты f, g + mod 2π, f ∈ (aZ ; bZ ), g + mod 2π ∈ R/2πZ, чтона пересечении цилиндра с некоторой окрестностью его “верхнего основания” выполняютсяследующие условия:1) линии уровня функции g + mod 2π являются интегральными линиями векторного поляgrad f |Z ;ГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ772) если верхняя граничная компонента цилиндра является точкой локального максимумаили компонентой края M , то g + mod 2π = g mod 2π, см.
(б);3) если верхняя граничная компонента цилиндра содержит седловую точку, то в пересечении цилиндра с координатной окрестностью любого ребра e этой граничной компоненты(см. (б)) 1-форма dg + пропорциональна 1-форме dge с некоторым постоянным ненулевымкоэффициентом пропорциональности.Эти условия определяют функцию g + mod 2π в цилиндре Z однозначно, по меньшей мере сточностью до прибавления константы. Введем в цилиндре Z такие координаты f, g − mod 2π,f ∈ (aZ ; bZ ), g − mod 2π ∈ R/2πZ, что на пересечении цилиндра с некоторой окрестностьюего “нижнего основания” выполняются аналогичные свойства. Тогда ограничения функцийg + mod 2π и g − mod 2π на каждую линию уровня функции f |Z являются функциями другот друга с ненулевой производной.
Если эта производная отрицательна, заменим функциюg − mod 2π на −g − mod 2π и будем обозначать через g − mod 2π измененную функцию.Зафиксируем в цилиндре Z регулярную кривую γ : (aZ ; bZ ) → Z, такую, что f ◦ γ =id(aZ ;bZ ) , некоторые начальный и конечный участки кривой γ являются интегральными линиями векторного поля grad f |Z и обе предельные точки limt→aZ γ(t) ∈ ∂Z и limt→bZ γ(t) ∈∂Z кривой γ являются критическими точками функции f .
Определим гладкую функциюge mod 2π в цилиндре Z условиями (eg mod 2π)|γ = 0 mod 2π иd(eg |f =c ) = (1 − IaZ ,bZ (c))d(g − |f =c ) + IaZ ,bZ (c) d(g + |f =c ),c ∈ (aZ ; bZ ),где Ia,b : [a; b] → [0; 1] — монотонная C ∞ -функция, тождественно равная 0 в окрестноститочки a = aZ и равная 1 в окрестности точки b = bZ .Рассмотрим в цилиндре Z аналогичные координаты f1 и g1± mod 2π, где f1 ∈ (aZ ; bZ ),g1± mod 2π ∈ R/2πZ.
Рассмотрим в цилиндре Z регулярную кривуюγ1 : (aZ ; bZ ) → Zтакую, что f1 ◦ γ1 = id(aZ ;bZ ) и в окрестности оснований цилиндра диффеоморфизм h000 из (б)переводит начальный и конечный участки пути γ1 в начальный и конечный участки пути γ,причем пути γ и h000 ◦γ1 гомотопны в цилиндре Z и существует гомотопия, в процессе которойначальный и конечный участки пути остаются неподвижными (последнего всегда можнодобиться, заменив кривую γ1 на ее образ при скручивании Дэна [67] вокруг окружностиZZ ∩ f −1 ( aZ +b) в подходящей степени).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
