Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Пусть ft : M → R — путь общего положения в пространстве всех гладкихфункций на M , а не только функций Морса, т.е. допускаются “рождения” и “уничтожения”критических точек. Тогда множество C ⊂ M × [0, 1], состоящее из критических точек этихфункций, является гладким одномерным многообразием в M × [0, 1], т.е. распадается нагладкие окружности и дуги с концами на основаниях M × {0} и M × {1} цилиндра M ×[0, 1]. Разобьем это множество на непересекающиеся замкнутые подмножества C+ и C− , ирассмотрим отвечающие этому разбиению пространства Immft ,+ (M, R3 ), 0 ≤ t ≤ 1.
Пустьзадано погружение α0 ∈ Immf0 ,+ (M, R3 ). Тогда, согласно теореме 1.7.10, путь вида αt ∈Immft ,+ (M, R3 ), 0 ≤ t ≤ 1, в пространстве погружений M в R3 вполне определен путем,проходимым его функцией высоты.Рис. 1.17. Деформация множества критических точек функции высоты привыворачивании сферы наизнанкуЗамечание 1.7.11. Для построенного в §1.7.1 выше выворачивания сферы наизнанку множество C ⊂ S 2 × [0, 1], образуемое критическими точками функции высоты ft , 0 ≤ t ≤ 1,ГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ64состоит из двух дуг C+ и C− , отвечающих точкам сферы, в которых положительная нормаль к погруженной сфере направлена вверх и вниз соответственно.
При этом проекциямножества C на плоскость f, t имеет вид как на рис. 1.17. Из этого рисунка видно, чтоминимальные, седловые и максимальные критические значения функций высоты ft лежат втрех попарно не пересекающихся интервалах оси z. Перестройка 2) → 3) → 4) заключаетсяв том, что оба минимальных значений, оба седловых значений и оба максимальных значенийфункции ft меняются местами.1.8Некоторые обобщенияПусть n — любое четное положительное число. Рассмотрим замкнутое ориентируемое n–мерное многообразие M n , которое можно погрузить в Rn+1 , т.е.
представить в виде погруженной гиперповерхности. Простое обобщение доказательства теоремы 1.3.1 (точнее, доказательство необходимости) показывает, что справедливо следующееУтверждение 1.8.1 (Необходимое условие). Пусть n четно, и пусть функция высотыf при некотором погружении M n в Rn+1 имеет лишь конечное число критических точекx1 , . . . , xN (не обязательно функция Морса). Тогда имеет место равенство:NXεk indxk (grad f ) = 0,k=1где знак εk = ±1 отвечает тому, вверх или вниз направлена положительная нормаль кM n в критической точке xk . В частности, эйлерова характеристика такого многообразияM n всегда четна.Следствие.
Если эйлерова характеристика замкнутого ориентируемого многообразия M nне равна 0, 2 и 4, то при любом погружении M n в Rn+1 функция высоты имеет не менеечетырех критических точек.Можно еще более ослабить требования на функцию f . Некоторые утверждения остаютсясправедливыми и для произвольных гладких функций, отличных от константы. То есть необязательно даже требовать конечности числа критических точек. Критические точки могутздесь заполнять большие, непрерывные подмножества в M n . Например, из утверждения 1.2.1нетрудно вывести следующееУтверждение 1.8.2.
Пусть n четно, и пусть f — функция высоты для некоторого погружения M n в Rn+1 . Тогда имеет место равенство:1indU (grad f ) = χ(M n ),2где U — достаточно малая окрестность множества (не обязательно конечного) критических точек f , в которых положительная нормаль к многообразию M n направлена вверх.Таким образом, если существует погружение M n в Rn+1 , то индексы критических точекфункции высоты делят пополам эйлерову характеристику многообразия M n . Это свойствофункций высоты, оказывается, является характеристическим в случае двумерных поверхностей. Более точно, справедливо следующееУтверждение 1.8.3. а) Пусть f — гладкая функция на связной замкнутой ориентируемой двумерной поверхности Mg , отличная от константы (здесь множество критическихГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ65точек не обязательно конечно).
Рассмотрим открытое множество U в M , на границекоторого нет критических точек функции f . Тогда следующее равенство:1indU (grad f ) = 1 − g = χ(Mg )2является необходимым и достаточным условием того, что функцию f можно реализовать как функцию высоты при некотором погружении α : Mg → R3 таком, что в каждойкритической точке функции f , лежащей в области U , положительная нормаль к поверхности α(Mg ) направлена вверх, а в каждой критической точке функции f , не лежащей вобласти U , эта нормаль направлена вниз.б) Пусть f — гладкая функция на связной замкнутой неориентируемой двумерной поверхности Mµ .
Тогда существование ориентируемой (не обязательно связной) окрестностиU+ множества (не обязательно конечного) критических точек функции f есть необходимое и достаточное условие того, что функцию f можно реализовать как функцию высотыпри некотором погружении α : Mµ → R3 . Причем, это погружение можно выбрать так,чтобы в каждой критической точке x функции f ориентация Tx Mµ , индуцированная касательным изоморфизмом α∗ в горизонтальную плоскость, была согласована с любой напередзаданной ориентацией в U+ .Следствие.
Любую гладкую функцию на двумерном торе, отличную от константы, и спроизвольным множеством критических точек (не обязательно конечным), можно реализовать как функцию высоты при некотором погружении тора в R3 .Доказательство утверждения 1.8.3. Необходимость условия (а) в ориентируемом случаеследует из утверждения 1.6.5. В неориентируемом случае рассмотрим естественную проекцию π : R3 → R2 на горизонтальную плоскость.
Тогда, из компактности множества критических точек следует существование такой ее окрестности U , на которой отображение π ◦ α|Uявляется погружением U в R2 . Это отображение индуцирует ориентацию в U .Докажем достаточность условий (а) и (б). Напомним, что любую связную ориентируемуюдвумерную поверхность с непустым краем можно погрузить в плоскость.Пусть U 6= M — любая ориентируемая окрестность множества C критических точек функции f , и пусть α : U → R3 — некоторое погружение этой окрестности в R3 , реализующее fкак функцию высоты.Нетрудно показать, что тогда существуют числа a1 < b1 < · · · < aN < bN и такое погружениеα0 : f −1 ([a1 , b1 ] ∪ · · · ∪ [aN , bN ]) → R3 ,реализующее функцию f как функцию высоты, чтоC ⊂ f −1 ([a1 , b1 ] ∪ · · · ∪ [aN , bN ]),и погружения α и α0 совпадают на пересечении областей определения.Далее, как в доказательстве теорем 1.3.1 и 1.3.2, построим связный граф Γ, вершинамкоторого отвечают цилиндры V — связные компоненты множеств f −1 [bi , ai+1 ].
Ребра этогографа определим так. В каждой связной компоненте P множества f −1 [ai , bi ] (т.е. в атоме) рассмотрим любой кусочно-гладкий граф K ⊂ P , являющийся ретрактом атома P , например,букет окружностей. Тогда этот граф разбивает атом P на положительные и отрицательныекольца, причем к каждому ребру этого графа примыкает ровно одно положительное и ровноодно отрицательное кольцо.
Определим граф Γ как граф в поверхности M , сопряженный кобъединению всех графов K. В частности, ребрам графа Γ отвечают ребра графов K. Далее рассуждения в точности такие же, как в доказательстве теорем 1.3.1 и 1.3.2, шаг 3 (см.§1.4.2). Утверждение 1.7.2 доказано.Глава 2Топологическая классификация функцийМорса и их возмущений наповерхностях. Инварианты изотопностифункций МорсаВ данной главе излагаются результаты работ автора [132, теорема 1] (в §2.3), [145, §3] (в§2.5), [129, теоремы 4, 9, 9’, 10, 10’] (в §2.6) и [133] (в §2.7), А.Т.
Фоменко [10, гл. 2, определения 4, 6, 9, 10, теоремы 4 и 8], [53, теорема 2.16] (в §2.4) и С.В. Матвеева [129, теоремы 8 и 8’](в §2.6).В первой части данной главы (в §§2.3—2.5) получены классификационные результаты,которые являются вспомогательными и будут использованы в главах 3 и 4. Во второй части главы (в §§2.6 и 2.7) получены “изотопические” результаты, которые представляют самостельный интерес и не будут использованы в других главах (кроме результатов теоремe и K, которые мы2.7.11 и 2.7.13 о конструкции и свойствах комплексов функций Морса Kобобщим в следствии 3.3.5 и используем в примерах 3.6.3, предложениях 3.6.4 и 3.3.17 (d)).Подробнее см.
абзац перед §2.2.2.1ВведениеВ данной главе изучаются следующие естественые вопросы. Какие бывают гладкие функциис невырожденными критическими точками на компактных многообразиях, как классифицировать такие функции с точностью до разных типов (топологической) эквивалентности? Когда две такие функции изотопны, т.е.
их можно продеформировать друг в друга в пространстве таких функций? Более точно, доказываются критерии, дающие ответы на следующиевопросы.(Q1) Когда две функции Морса на двумерной компактной поверхности M топологическиэквивалентны, т.е. получаются друг из друга преобразованиями поверхности M и вещественной прямой R, изотопными тождественным? (Теоремы 2.3.4, 2.3.5 и 2.3.6.)(Q2) Когда две функции Морса на поверхности M эквивалентны, т.е. получаются друг издруга преобразованиями поверхности M и вещественной прямой R? (См. критерий А.Т. Фоменко послойной эквивалентности в предложении 2.4.6 в случае ориентируемой поверхностиM , его следствия 2.4.11 и 2.4.12.)(Q3) Когда две функции на поверхности M , близкие к топологически эквивалентнымфункциям Морса, топологически эквивалентны? (Утверждение 2.5.2 и его следствия 2.5.8 и2.5.9.)66ГЛАВА 2.КЛАССИФИКАЦИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ВОЗМУЩЕНИЙ67(Q4) Когда две функции Морса на поверхности M можно продеформировать друг вдруга, т.е.
соединить изотопией или непрерывным путем, в пространстве функций Морса?Можно усложнить этот вопрос, рассмотрев пространства функций Морса, у которых некоторые критические точки фиксированы на поверхности M . (Теоремы 1.6.2 и 1.6.4 в случаяхсферы и проективной плоскости, общие теоремы 2.6.1 и 2.6.2 С.В. Матвеева об изотопности функций Морса с фиксированными точками локальных экстремумов, теорема 2.7.2 опрепятствии к изотопности функций Морса, все критические точки которых фиксированы.)Кроме (топологической) эквивалентности (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
