Топология пространств функций Морса и инварианты бездивергентных полей (1097915), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Рассмотрим кривые Kjи γk на поверхности M . Изменим погружение α0 ∈ Immf,+ (M, R3 ) вне малых окрестностейкритических точек функции f и кривых γk , добавив к каждой неособой линии уровня Kj ⊂K = σ −1 (vi ), погруженной в горизонтальную плоскость, несколько петель, алгебраическоечисло которых равно βj .
Такое погружение α1 существует в силу теоремы Уитни, так какчисла βj на соседних “атомах” согласованы, а на каждом цилиндре V = Vk лежит лишь однакривая γk , которая пересекает каждую неособую линию уровня σ −1 (a) цилиндра V лишь водной точке.Шаг 2. Далее, рассмотрим коцикл µ ∈ H 1 (W, Z) графа W .
Изменим построенное на предыдущем шаге погружение α1 ∈ Immf,+ (M, R3 ) в соответствии с коциклом µ ∈ H 1 (W, Z). Болееточно, в каждом цилиндре V = Vk рассмотрим гладкую функцию φ = φk (a), тождественноравную нулю вблизи нижнего основания цилиндра и тождественно равную 2πµj вблизи верхнего основания цилиндра. Для каждого цилиндра V = Vk рассмотрим композицию Rφ ◦ α1погружения α1 и поворотов Rφ горизонтальных плоскостей Πa на угол φ = φk (a).
В результате получим некоторое новое погружение α2 ∈ Immf,+ (M, R3 ).Окончание доказательства теоремы 1.7.4. Итак, мы определили коциклы β ∈ H 1 (K, Z) награфах K = σ −1 (vi ) и коцикл µ ∈ H 1 (W, Z) на графе Кронрода–Риба W функции f , отвечающие коциклу ∆ на поверхности M . Мы показали, как по этим коциклам и погружениюα0 построить новое погружение α = α2 ∈ Immf,+ (M, R3 ). Легко видеть, что построенноепогружение α является искомым, т.е. различающий коцикл ∆α,α0 для погружений α и α0 вточности равен ∆.
Теорема 1.7.4 полностью доказана.Замечание. Простая модификация доказательства показывает, что теорема 1.7.4 верна идля поверхностей P с краем. При этом предполагается, что на каждой граничной окружностиповерхности P функция f постоянна и не имеет критических точек.Замечание. Рассмотрим подмножество Immf,+,∂ (P, R3 ) в нашем пространстве Immf,+ (P, R3 ),состоящее из всех погружений, для которых фиксированы также индексы всех граничныхокружностей, погруженных в горизонтальные плоскости. Пусть Pe — замкнутая поверхность,полученная из поверхности P с краем заклеиванием каждой граничной окружности диском.Тогда аналогичное доказательство дает естественное взаимно-однозначное соответствие между множеством связных компонент пространства Immf,+,∂ (P, R3 ) и группой H 1 (Pe, Z) одномерных когомологий замкнутой поверхности Pe.
В частности, если поверхность Pe являетсясферой, то каждое пространство Immf,+,∂ (P, R3 ) связно.Замечание. Рассмотрим произвольную связную компоненту Imm0f,+ (M, R3 ) пространстваImmf,+ (M, R3 ), а значит, и всего пространства Immf (M, R3 ) погружений поверхности M вR3 с фиксированной функцией высоты f . Из приведенного выше утверждения, аналогичнодоказательству теорем 1.3.1, 1.3.2 и 1.7.4, легко выводится следующее утверждение.Теорема 1.7.9.
Пусть αt ∈ Immf (M, R3 ), t ∈ S 1 , — любой замкнутый путь в пространствеImmf (M, R3 ). Выберем любую точку x ∈ M , не являющуюся критической точкой функцииf . Рассмотрим соответствующий путь νt = π(ναt (x)), t ∈ S 1 , проходимый проекцией наГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ62горизонтальную плоскость вектора нормали к погруженной поверхности в точке x, гдеπ : R3 → R2 — проекция на горизонтальную плоскость. Тогда путь αt , t ∈ S 1 , стягиваемв пространстве Immf (M, R3 ) тогда и только тогда, когда число оборотов пути νt , t ∈ S 1 ,вокруг начала координат равно нулю.В частности, согласно теореме 1.7.9, фундаментальная группа каждой связной компоненты пространства Immf,+ (M, R3 ) изоморфна группе Z целых чисел.
Можно показать, чтокаждая такая связная компонента в действительности гомотопически эквивалентна окружности.Доказательство теоремы 1.7.5. Пусть t1 , . . . , tN — моменты перестроек функций Морса,0 = t0 < t1 < · · · < tN < tN +1 = 1. То есть, при любом k, 0 ≤ k ≤ N , все функцииМорса ft , tk < t < tk+1 , имеют один и тот же граф Кронрода–Риба Wk , причем для каждойвершины vi этого графа число критических точек, принадлежащих соответствующей особойлинии уровня K = σ −1 (vi ) функции ft , постоянно при tk < t < tk+1 . Ясно, что теорема будетдоказана, если мы проверим его для N = 0 и N = 1.1) Пусть N = 0, т.е. все функции Морса ft имеют один и тот же граф Кронрода–Риба W ,причем для каждой вершины vi ∈ W число критических точек на соответствующей особойлинии уровня K = σ −1 (vi ) не меняется.
Рассмотрим клеточное разбиение поверхности M ,отвечающее функции f0 , см. доказательство теоремы 1.7.4. Нетрудно построить гладкую деформацию одномерного остова этого разбиения, являющуюся одномерным остовом функцииft . С помощью этой деформации одномерного остова легко построить гладкую деформациюдиффеоморфизмов φt : M → M , 0 ≤ t ≤ 1, φ0 = id, поверхности M на себя, переводящихсвязные компоненты линий уровня функции f0 в связные компоненты линий уровня функции ft , 0 ≤ t ≤ 1.
Тогда в качестве искомого погружения αt : M → R3 , реализующего ftкак функцию высоты, можно взять композицию погружения α0 ◦ φ−1t и сдвига каждой точкиx ∈ M по вертикали на величину ft ◦ φt − f0 , постоянную на каждой связной компонентелинии уровня функции f0 .
Итак, при N = 0 теорема доказана.2) Пусть N = 1. Не ограничивая общности, мы будем предполагать, что перестройка графаКронрода–Риба происходит в момент t1 = 1/2. Рассмотрим пространство Immf0 ,+ (M, R3 ),содержащее данное погружение α0 . Так как при изотопии функции Морса не происходитрождений и уничтожений критических точек, то пространство Immf0 ,+ (M, R3 ) однозначноопределяет пространства Immft ,+ (P, R3 ), 0 ≤ t ≤ 1, для которых направление нормали вкаждой критической точке не меняется.0Положим f = f1/2 . По критерию из теоремы 1.3.1 имеется погружение α1/2∈ Immf,+ (P, R3 ).Рассмотрим малую деформацию αt0 : M → R3 , 1/2 − ε ≤ t ≤ 1/2 + ε, этого погруже0ния, где αt0 получается из α1/2сдвигом каждого уровня f −1 (a) по вертикали на величинуft − f .
Ясно, что при достаточно малом ε > 0 отображение αt0 является погружением, иαt0 ∈ Immft ,+ (P, R3 ). Построим в соответствии с рассмотренным случаем N = 0 любое продолжение αt0 ∈ Immft ,+ (M, R3 ) этой деформации на весь отрезок 0 ≤ t ≤ 1.Теперь рассмотрим различающий коцикл ∆α0 ,α00 ∈ H 1 (M, Z) для исходного погружения α0и построенного погружения α00 ∈ Immf0 ,+ (P, R3 ). Тогда, согласно теореме 1.7.4, существует00погружениеα1/2∈ Immf,+ (P, R3 ), для которого ∆α0 ,α00 = ∆α001/2 ,α01/2 . Заменим теперь погру000жение α1/2на погружение α1/2и рассмотрим для него аналогичный путь αt00 ∈ Immft ,+ (M, R3 ),0 ≤ t ≤ 1.Осталось заметить, что для любого пути ft , 0 ≤ t ≤ 1, в пространстве гладких функцийс конечным числом критических точек верно следующее.
Для любой пары путей αt0 , αt00 ∈Immft ,+ (M, R3 ), 0 ≤ t ≤ 1, различающий коцикл ∆α00t ,α0t ∈ H 1 (M, Z) постоянен. Тем самым,∆α0 ,α00 = ∆α000 ,α00 , а значит, ∆α0 ,α000 = 0. Снова применяя теорему 1.7.4, получаем путь αt ∈Immf0 ,+ (M, R3 ), 0 ≤ t ≤ 1, α1 = α000 . Немного пошевелив этот путь, легко построить искомуюдеформацию αt ∈ Immft ,+ (M, R3 ), 0 ≤ t ≤ 1, совпадающую с построенным путем αt00 ∈ГЛАВА 1.РЕАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ В ВИДЕ ФУНКЦИЙ ВЫСОТЫ63Immft ,+ (M, R3 ) при ε ≤ t ≤ 1. Аналогично доказывается, что пространство всех путей видаαt ∈ Immft ,+ (M, R3 ), 0 ≤ t ≤ 1, связно.
Теорема 1.7.5 полностью доказано.Замечание. Пусть ft , 0 ≤ t ≤ 1, — любой путь в пространстве всех гладких функцийс конечным числом критических точек на замкнутой ориентируемой поверхности M . Тогда аналогичное доказательство показывает, что справедливо следующее обобщение теоремы 1.7.5. Рассмотрим множество C, состоящее из критических точек этих функций. Этомножество является графом в цилиндре M × [0, 1] — прямом произведении поверхности наотрезок. Разобьем множество C на два непересекающихся замкнутых подмножества C+ иC− , и рассмотрим отвечающие этому разбиению пространства Immft ,+ (M, R3 ), 0 ≤ t ≤ 1,погружений, реализующих ft как функцию высоты с заданными направлениями нормалейв критических точках.
В неориентируемом случае построение аналогично, только теперьпространства Immft ,+ (M, R3 ), 0 ≤ t ≤ 1, определяются не разбиением графа C на два подграфа, а заданием некоторой ориентации в окрестности графа C в M × [0, 1]. Справедливоследующее утверждение.Теорема 1.7.10. Пусть ft , 0 ≤ t ≤ 1, — любой путь в пространстве всех гладких функций с конечным числом критических точек на замкнутой поверхности M (ориентируемойили не ориентируемой). Пусть задано погружение α0 ∈ Immf0 ,+ (M, R3 ). Тогда существуетпуть вида αt ∈ Immft ,+ (M, R3 ), 0 ≤ t ≤ 1, в пространстве погружений M в R3 , причеммножество всех таких путей связно.Замечание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
